培優(yōu)專(zhuān)題2_勾股定理及應(yīng)用(含解答)-[1]

1、 勾股定理點(diǎn)擊一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2 = c2 即直角三角形兩直角的平方和等于斜邊的平方因此，在運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，要注意如下三點(diǎn)：（1）注意勾股定理的使用條件：只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；（2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯(cuò)；（3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長(zhǎng) 即c2= a2b2，a2= c2b2，b2= c2a2點(diǎn)擊二：學(xué)會(huì)用拼圖法驗(yàn)證勾股定理拼圖法驗(yàn)證勾股定理的基本思想是：借助于圖形的面積來(lái)驗(yàn)證，依據(jù)是對(duì)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)、拼接后面積不變的原理如圖，

2、利用四個(gè)如圖1所示的直角三角形三角形，拼出如圖2所示的三個(gè)圖形請(qǐng)讀者證明abc（圖1）（1）（2）（3）如上圖示，在圖（1）中，利用圖1邊長(zhǎng)為a，b，c的四個(gè)直角三角形拼成的一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形，則圖2（1）中的小正方形的邊長(zhǎng)為（ba），面積為（ba）2，四個(gè)直角三角形的面積為4×ab = 2ab 由圖（1）可知，大正方形的面積 =四個(gè)直角三角形的面積小正方形的的面積，即c2 =（ba）22ab，則a2b2 = c2問(wèn)題得證請(qǐng)同學(xué)們自己證明圖（2）、（3）點(diǎn)擊三：在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)將在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為化長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段長(zhǎng)問(wèn)題第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長(zhǎng)的平方和

3、等于所畫(huà)線段（斜邊）長(zhǎng)的平方，注意一般其中一條線段的長(zhǎng)是整數(shù)；第二步：以數(shù)軸原點(diǎn)為直角三角形斜邊的頂點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；第三步：以數(shù)軸原點(diǎn)圓心，以斜邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，即可在數(shù)軸上找到表示該無(wú)理數(shù)的點(diǎn)點(diǎn)擊四：直角三角形邊與面積的關(guān)系及應(yīng)用直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關(guān)系外，邊與面積也有內(nèi)的聯(lián)系.設(shè)、為直角三角形的兩條直角邊，為斜邊，為面積，于是有：，所以.即. 也就是說(shuō)，直角三角形的面積等于兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一.利用該公式來(lái)計(jì)算直角三角形的有關(guān)面積、周長(zhǎng)、斜邊上的高等問(wèn)題，顯得十分簡(jiǎn)便.點(diǎn)擊五：熟練掌握勾股定理的各種表達(dá)形式如圖2，在Rt中,0,A、B、C的對(duì)

4、邊分別為a、b、c,則c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,點(diǎn)擊六：勾股定理的應(yīng)用（1）已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；（2）已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關(guān)系；（3）用于推導(dǎo)線段平方關(guān)系的問(wèn)題等（4）用勾股定理，在數(shù)軸上作出表示、的點(diǎn)，即作出長(zhǎng)為的線段針對(duì)練習(xí):1下列說(shuō)法正確的是（）A若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2 ABCB若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2C若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2D若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c22一個(gè)直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，下列說(shuō)法正確的是（ ） A斜邊長(zhǎng)為25

5、 B三角形周長(zhǎng)為25 C斜邊長(zhǎng)為5 D三角形面積為203如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 34如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則x210的立方根為（ ）A-10 B-10 C2 D-25把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（ ）A 2倍B 4倍C 6倍D 8倍6小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m，當(dāng)它把繩子的下端拉開(kāi)5 m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm7ABC中，AB15，AC13，高AD1

6、2，則ABC的周長(zhǎng)為（） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33abcl8如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）559.已知直角三角形的周長(zhǎng)為2，斜邊上的中線為1，求它的面積.10.直角三角形的面積為120，斜邊長(zhǎng)為26，求它的周長(zhǎng).11.如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的長(zhǎng).類(lèi)型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)分別是13cm和5cm，那么這個(gè)直角三角形的面積是 cm2AB圖3解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一

7、條直角邊的長(zhǎng)，則求得另一直角邊的長(zhǎng)即可 根據(jù)勾股定理公式的變形，可求得解：由勾股定理，得13252=144，所以另一條直角邊的長(zhǎng)為12所以這個(gè)直角三角形的面積是×12×5 = 30（cm2）例2： 如圖3(1),一只螞蟻沿棱長(zhǎng)為a的正方體表面從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B,則它走過(guò)的最短路程為( )A B C3a D解析:本題顯然與例2屬同種類(lèi)型,思路相同但正方體的ABC圖3各棱長(zhǎng)相等,因此只有一種展開(kāi)圖解:將正方體側(cè)面展開(kāi)得,如圖3由圖知AC=2a,BC=a根據(jù)勾股定理得故選D 類(lèi)型之二：在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)例3：在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)解析：根據(jù)在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的方法，需先把視為直角三

8、角形斜邊的長(zhǎng)，再確定出兩直角邊的長(zhǎng)度后即可在數(shù)軸上作出解：以為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3和1，所以需在數(shù)軸上找出兩段分別長(zhǎng)為3和1的線段，如圖所示，然后即可確定斜邊長(zhǎng)，再用圓規(guī)在數(shù)軸上作出長(zhǎng)為的線段即可下面的問(wèn)題是關(guān)于數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)與勾股定理知識(shí)的綜合運(yùn)用例5：閱讀材料，第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽它的主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，請(qǐng)你先把圖中其它8條線段的長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線段的長(zhǎng)的乘積OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解

9、：；這8條線段的長(zhǎng)的乘積是例6：2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為（ ）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169解析：由勾股定理，結(jié)合題意得a2+b2=13 . 由題意，得 (b-a)2=1 .由，得 a2+b2-2ab =1 . 把代入，得 13-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，選C.說(shuō)明：2002年8月20

10、日28日，我國(guó)在首都北京成功舉辦了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì). 這是在發(fā)展中國(guó)家舉行的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，也是多年來(lái)在我國(guó)舉行的最重要的一次國(guó)際會(huì)議. 它標(biāo)志著我國(guó)數(shù)學(xué)已度過(guò)了六百多年的低谷，進(jìn)入了數(shù)學(xué)大國(guó)的行列，并向著新世紀(jì)成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)邁開(kāi)了步伐. 這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)如下圖所示：它取材于我國(guó)三國(guó)時(shí)期（公元3世紀(jì)）趙爽所著的勾股圓方圖注. 類(lèi)型之四：勾股定理的應(yīng)用（一）求邊長(zhǎng)例1：已知：如圖，在ABC中，ACB90º，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的長(zhǎng).（二）求面積例2：（1）觀察圖形思考并回答問(wèn)題（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）觀察圖11.正方形A中含有_個(gè)小方格，即A的

11、面積是_個(gè)單位面積；正方形B中含有_個(gè)小方格，即B的面積是_個(gè)單位面積；正方形C中含有_個(gè)小方格，即C的面積是_個(gè)單位面積.在圖12中，正方形A，B，C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你能發(fā)現(xiàn)圖11中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？圖12中的呢？（2）做一做：觀察圖13、圖14，并填寫(xiě)下表：三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？（3）議一議：你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？解析：注意到圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積，通

12、過(guò)觀察圖形不能得到答案：99991818；A中含4個(gè)，B中含4個(gè)，C中含8個(gè)，面積分別為4，4，8；A與B的面積之和等于C，圖12中也是A與B的面積之和等于C.（2）答案：答案：.（3）答案：設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（如圖）；，.成立.（三）作線段例3作長(zhǎng)為、的線段解析：作法：1作直角邊長(zhǎng)為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角三角形ACB（如圖）；2以斜邊AB為一直角邊，作另一直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形ABB1；3順次這樣作下去，最后作到直角三角形AB2B3，這時(shí)斜邊AB、AB1、AB2、AB3的長(zhǎng)度就是、證明：根據(jù)勾股定理，在RtACB中，AB>0，AB=其他同理可證點(diǎn)評(píng)由勾股定理，直角邊長(zhǎng)

13、為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊長(zhǎng)為、1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)就是類(lèi)似地也可作出；將上圖無(wú)限地向兩個(gè)方向畫(huà)下去就可得到“勾股樹(shù)”，請(qǐng)你試試看（四）證明平方關(guān)系例4：已知：如圖，在中，是邊上的中線，于，求證：.解析：根據(jù)勾股定理，在中，在中，在中，.又，.點(diǎn)評(píng)證明線段的平方差或和，常常要考慮到運(yùn)用勾股定理；若無(wú)直角三角形，則可通過(guò)作垂線的方法，構(gòu)成直角三角形，以便為運(yùn)用勾股定理創(chuàng)造必要的條件.（五）實(shí)際應(yīng)用例5：臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12

14、級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30º方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱(chēng)為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？解析（1）由點(diǎn)A作ADBC于D，則AD就為城市A距臺(tái)風(fēng)中心的最短距離在RtABD中，B=30º，AB220，AD=AB=110.由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)（124）20160（千米）時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響故該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響（2）由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)

15、中心不超過(guò)60千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，則AEAF160當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E到F處時(shí)，該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響.由勾股定理得 EF2DE60.因?yàn)檫@次臺(tái)風(fēng)中心以15千米/時(shí)的速度移動(dòng)，所以這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為小時(shí).（3）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A城市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為126.5級(jí) 一、 選擇題1、有六根細(xì)木棒，它們的長(zhǎng)度分別是2、4、6、8、10、12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個(gè)直角三角形，則這三根細(xì)木棒的長(zhǎng)度分別為（ ）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形的工具，那

16、么他要選擇的三根木條的長(zhǎng)度應(yīng)符合下列哪一組數(shù)據(jù)？（ ） A.25，48，80 B15，17，62 C25，59，74 D32，60，683、如果直角三角形的三條邊2，4，a，那么a的取值可以有（ ）（A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)4、已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是2厘米，則斜邊的長(zhǎng)是（ ）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如圖，直角三角形三邊上的半圓的面積依次從小到大記作S、S、S，則S、S、S之間的關(guān)系是（ ）（A）S+S>S （B）S+S<S （C）S+S=S （D）S+S=S二、填空題1、若直角三角形斜邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)三角形

17、斜邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi).2、如果直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是5cm和12cm，那么這個(gè)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于 cm3、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，若CD=4，則AB= 4、在ABC中，A：B：C1：2：3已知BC3cm，則AB cm5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為 . 60120140B60AC第5題圖76、如圖：有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了 米7、如圖，為了求出湖兩岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，觀測(cè)者從測(cè)點(diǎn)A、B分別測(cè)得BAC90&#

18、176;，ABC30°，又量得BC160 m，則A、B兩點(diǎn)之間的距離為 m（結(jié)果保留根號(hào)）8、利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱(chēng)為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積因而c2 化簡(jiǎn)后即為c2 abc9、如圖，是2002年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為 10、2002年8月2028日在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形拼成的（直角邊長(zhǎng)分別為2和3），則大正方形的面積是 11、已知第一個(gè)

19、等腰直角三角形的面積為1，以第一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫(huà)第二個(gè)等腰直角三角形，又以第二個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫(huà)第三個(gè)等腰直角三角形，以此類(lèi)推，第13個(gè)等腰直角三角形的面積是 . 12、如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A，使梯子的底端A 到墻根O的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降至B，那么BB等于1米；大于1米；小于1米.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.13、觀察下面各組數(shù)：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、，可發(fā)現(xiàn)：4，12，24，若設(shè)某組數(shù)的第一個(gè)數(shù)為，則這組

20、數(shù)為（， ， ） 三、解答題1、張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n (n>1)的代數(shù)式表示：a = ，b = ，c = （2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想.2、若正整數(shù)a、b、c滿足方程a2+b2=c2 ，則稱(chēng)這一組正整數(shù)（a、b、c）為“商高數(shù)”，下面列舉五組“商高數(shù)”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意這五組“商高數(shù)”的結(jié)構(gòu)有如

21、下規(guī)律：根據(jù)以上規(guī)律，回答以下問(wèn)題：（1） 商高數(shù)的三個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)偶數(shù)，幾個(gè)奇數(shù)？（2） 寫(xiě)出各數(shù)都大于30的兩組商高數(shù)（3） 用兩個(gè)正整數(shù)m、n（mn）表示一組商高數(shù)，并證明你的結(jié)論3、閱讀并填空：尋求某些勾股數(shù)的規(guī)律：對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)例如：，我們把它擴(kuò)大2倍、3倍，就分別得到和，若把它擴(kuò)大11倍，就得到 ，若把它擴(kuò)大倍，就得到 對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在著下列勾股數(shù)：若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)?，則有；若勾股數(shù)為5，12，13，則有；若勾股數(shù)為7，24，25，則有 ；若勾股數(shù)為(為奇數(shù))， ，則有 ，用來(lái)表示 ；當(dāng)時(shí)，則 ，此時(shí)勾股

22、數(shù)為 對(duì)于大于4的偶數(shù)：若勾股數(shù)為6，8，10，因?yàn)椋瑒t有請(qǐng)找出這些勾股數(shù)之間的關(guān)系，并用適當(dāng)?shù)淖帜副硎境鏊囊?guī)律來(lái)，并求當(dāng)偶數(shù)為24的勾股數(shù)abAADAABCbc第4題圖4、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理：.5、如圖是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE6、仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題. （1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長(zhǎng)；（3）求出的值一、

23、選擇題1、 如圖，字母A所代表的的正方形的面積為（數(shù)字表示該正方形的面積）（ ）A、13B、85C、8D、都不對(duì)2、 在RtABC中，有兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)（ ）A、5B、C、5或D、5或3、 等腰三角形底邊上的高是8，周長(zhǎng)是32，則三角形的面積是（ ）A、56B、48C、40D、324、 若線段a、b、c能構(gòu)成直角三角形，則它們的比為（ ）A、2:3:4B、3:4:6C、5:12:13D、4:6:75、 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，其對(duì)角線的長(zhǎng)是5cm，則長(zhǎng)方形的面積（ ）A、B、C、D、6、 一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1，其相對(duì)應(yīng)三邊之比為（ ）A、1:2:1B、C、1:

24、4:1D、12:1:27、 斜邊長(zhǎng)25，一條直角邊長(zhǎng)為7的直角三角形面積為（ ）A、81B、82C、83D、848、若直角三角形中，有一個(gè)銳角為，且斜邊與較短直角邊之和為18，則斜邊長(zhǎng)為（ ）A、4cmB、6cmC、8cmD、12cm9、如圖ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB于E，下面等式錯(cuò)誤的是（ ）A、AC2+DC2=AD2B、AD2DE2AE2C、AD2=DE2+AC2D、BD2BE2BC210.圖是2002年8 月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4 個(gè)全等的直角三角形拼合而成.若圖中大小正方形面積分別是62和4，則直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為（ ）A、6，4B、

25、62，4C、62，4D、6， 4二、填空：1、在ABC中， C90°，a，b，c分別為A B C的對(duì)邊 （1）若a=6，c=10則b= （2）若a=12，b=5 則c= （3）若c=25，b=15則a= （4）若a16，b=34則b= 2、三邊長(zhǎng)分別為1，1，1的三角形是 角三角形.3、在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，則ABC的面積是 4、如圖要修一個(gè)育苗棚，棚寬a=3m，高b=4m，底d=10m，覆蓋頂上的塑料薄膜的面積為 5、如圖點(diǎn)C是以為AB直徑的半圓上的一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 6、在RtABC中，且BC=136則AC= 7、直角三角形的一直角邊為8cm，斜邊

26、為10cm，則這個(gè)直角三角形的面積是 斜邊上的高為 8、 ABC中， 則a:b:c= 9、 三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3，它的最長(zhǎng)邊為a，那么以其余兩邊為邊所作的正方形面積分別為 10、有兩根木條，長(zhǎng)分別為60cm和80cm，現(xiàn)再截一根木條做一個(gè)鈍角三角形，則第三根木條x長(zhǎng)度的取值范圍 三解答題1、如如圖要建一個(gè)苗圃，它的寬是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃總長(zhǎng)是10米（1）求苗圃的占地面積（2）覆蓋在頂上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如圖在四邊形ABCD中，求正方形DCEF的面積 3、如圖在銳角ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的長(zhǎng) 4、八年級(jí)學(xué)生準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的

27、深度，他們把一根竹竿插到離湖邊1米的水底，只見(jiàn)竹竿高出水面1尺，把竹竿的頂端拉向湖邊（底端不變）竿頂和湖沿的水面剛好平齊，求湖水的深度和竹竿的長(zhǎng)5、如圖己知在ABC中，垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長(zhǎng) 6、某校要把一塊形狀是直角三角形的廢地開(kāi)發(fā)為生物園，如圖米，BC=60米，若線段CD為一條水渠，且D在邊AB上，己知水渠的造價(jià)是10元/米，則點(diǎn)D在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)，水渠的造價(jià)最低，最低價(jià)是多少？ 勾股定理及應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱(chēng)之為“畢達(dá)哥拉斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積 分析 由斜邊長(zhǎng)是2，周

28、長(zhǎng)是2+，易知兩直角邊的和是，又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4，列關(guān)于兩直角邊的方程，只需求出兩直角邊長(zhǎng)的積，即可求得三角形的面積本題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求”的技巧，要熟練掌握 解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，根據(jù)題意列方程得： 即 式兩邊同時(shí)平方再減去式得： 2ab=2， ab= S=因此，這個(gè)三角形的面積為 練習(xí)11已知：如圖2-1，AD=4，CD=3，ADC=90°，AB=13，ACB=90°，求圖形中陰影部分的面積2-12已知：長(zhǎng)方形ABCD，ABCD，ADBC，AB=2，ADDC，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S，沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱(chēng)軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形

29、，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng) 3若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（ ） A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 例2 如圖2-2，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來(lái)，使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合，若其長(zhǎng)BC為a，寬AB為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？ 分析 圖形沿EF折疊后A、C重合，可知四邊形AFED與四邊形CFED全等，則對(duì)應(yīng)邊、角相等，AF=FC，且FC=AE，則ABFADE，由三角形面積公式不難求出不重合部分的面積 解：圖形沿EF折疊后A、C重合， 2-2 四邊形AFED與CFED關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)， 則四邊形AFED四邊形CFED AFE=CFE AF

30、=FC，D=D=B=90° AB=CD=AD ADBC， AEF=EFC AEF=AFE 則AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中，B=90°， AB2+BF2=AF2 設(shè)BF=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 S=2SABF=2×bx=2×·b·= 練習(xí)21如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_(kāi)2如圖2-4，一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜放在墻上，梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m，當(dāng)梯子的頂部A向下滑0.4m到A時(shí)，梯子的底部向外移動(dòng)多

31、少米？2-4 3如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 試判斷，三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先確定最大邊，再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形 解：n為正整數(shù)， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n2+2n+1-2n2-2n=1>0， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0 2n2+2n+1為三角形中的最大邊 又（2n2+2n+

32、1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2這個(gè)三角形是直角三角形 練習(xí)3 1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則ABC是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形2如圖2-6，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由 2-6 3ABC中的三邊分別是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1 BAB

33、C是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m CABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知：如圖2-7所示，ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形 分析 欲證ABC是直角三角形，在已知兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長(zhǎng)，比較困難；但注意到CD是邊AB的中線，我們延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，從而有BDEADC，這樣AC、BC、2CD就作為BCE的三邊，再用勾股定理的逆定理去判定 證明：延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，連結(jié)BE 2-7 AD=BD，CD=ED，ADC=BDE ADCBDE（SAS） BE=AC=12 A=DBE AC

34、BE 在BCE中，BC2+BE2=52+122=169 CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169 BC2+BE2=CE2 EBC=90° 又ACBE， ACB=180°-EBC=90° ABC是直角三角形 練習(xí)4 1已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a2-b2，試判斷ABC的形狀 先閱讀下列解題過(guò)程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 ABC為直角三角形 問(wèn)：（1）上述推理過(guò)程，出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_； （2）本題的正確結(jié)論是_2如圖2-8，ABC的三邊分別為

35、AC=5，BC=12，AB=13，將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求折痕AD的長(zhǎng)3如圖2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù) 例5 如圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng) 分析 若作AEBC于E，如圖2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是RtADC的直角邊 AD=CD-AC，若設(shè)DE=x，借助于AD這個(gè)“橋”可以列出方程 解：作AEBC于E 2-10 AB=AC，AEBC， BE=EC=BC=×32=16 在RtAEC中， AE2=A

36、C2-CE2=202-162=144， AE=12 2-11 設(shè)DE=x， 則在RtADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在RtACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 練習(xí)5 1如圖2-12，ABC中，C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D求證：AD2=AC2+BD22-122如圖2-13，ABAD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四邊形ABCD的面積2-13 3如圖2-14長(zhǎng)方體的高為3cm，底面是正方形，邊長(zhǎng)為2cm，現(xiàn)有繩子從A出發(fā)，沿長(zhǎng)方形表面到達(dá)C處

37、，問(wèn)繩子最短是多少厘米？2-14勾股定理及應(yīng)用答案:練習(xí)1124（提示：利用勾股定理即可求出）2長(zhǎng)方形的對(duì)稱(chēng)軸有2條，要分別討論： （1）以A、B為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖） S=AB×BC，AB=2， BC=AD= 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得DF=AB=1 由于D=90°，據(jù)勾股定理得： AF= （2）以A、D為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖） BF=BC=由B=90°，據(jù)勾股定理得： AF= 3D練習(xí)21（提示：利用RtABE的勾股定理即可求出） 20.8m 3B練習(xí)31B 2AFEF（提示：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則DF=FC=，EC=，在RtADF中，由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=a

38、2+（）2=a2同理：在RtECF中，EF2=（）2+（）2=a2，在RtABE中，BE=a，則AE2=a2+a2=a2 a2+a2=a2， AF2+EF2=AE2 AFE=90° AFEF3A（點(diǎn)撥：利用勾股定理的逆定理來(lái)判定）練習(xí)41（1）、 （2）ABC為直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2， C=90° 將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E（如圖） CD=DE， AC=AE=5 則ACDAED 又BE=AB-AE=8 設(shè)CD為x，則x2+82=（12-x）2 解之得x= AD2=52+（）2 AD=3過(guò)點(diǎn)C作CECP，

39、并截CE=CP=2，連結(jié)PE，BE（如圖） ACB=PCE=90°， ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB（SAS） BE=AP=3 在RtPCE中， PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1，BE2=9， BE2=BP2+PE2 PBE是直角三角形，其中BPE=90° 在RtPCE中，PC=CE， CPE=CEP=45° BPC=CPE+BPE=45°+90°=135° 練習(xí)5 1連結(jié)AM M為CB的中點(diǎn)， CM=MB 又AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2， AC2+BD2=AM2-MD2 又A

40、D2=AM2-DM2， AD2=AC2+BD2 236（提示：連結(jié)BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）35cm（提示：將該長(zhǎng)方體的右面翻折，使它與前面在同一平面，連結(jié)AC（如圖），此時(shí)線段AC的長(zhǎng)度即為最短距離AC=5（cm）勾股定理的逆定理1班級(jí) 姓名 號(hào)次 一選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分）1.在ABC中，的對(duì)邊分別為，且，則（ ）A.為直角 B.為直角 C.為直角 D.不能確定2.如圖，下列三角形中是直角三角形的是( )D51213C467B758A735 3.下列各命題的逆命題不成立的是( )A.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等 B.若,則C.對(duì)頂角相等 D.如果a=b,那么a2=b

41、24.下面四組數(shù)中，其中有一組與其他三組規(guī)律不同，這一組是（ ）A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 8，15，17 D. 9，40，415.如圖有五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7、15、20、24、25，現(xiàn)想把它們擺成兩個(gè)直角三角形，則擺放正確的是（ ） A B C D6.放學(xué)后，斌斌先去同學(xué)小華家玩了一回，再回到家里。已知學(xué)校C、小華家B、斌斌家A的兩兩距離如圖所示，且小華家在學(xué)校的正東方向，則斌斌家在學(xué)校的（ ） (第9題) A.正東方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向ABCC 12 12AB1312 12 125 12 12(第5題) (第8題) 7.已知ABC，在下列條件：

42、ABC；A：B：C=3：4：5； ；（m、n為正整數(shù)，且m>n）中,使ABC成為直角三角形的選法有（ ）A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種8. 如圖，正方形小方格邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格中的ABC是 （ ）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對(duì)9.如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ）CAB(第10題)A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF10.如圖, ABC的三邊BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到ABC

43、，則CC的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. D.二填空題（本題有10小題，每題2分，共20分）11.在ABC中，若，則B+C=_度。12.一個(gè)高1.5米、寬0.8米的長(zhǎng)方形門(mén)框，需要在其相對(duì)的頂點(diǎn)間用一條木條加固，則需木條長(zhǎng)為 。13.有六根細(xì)木棒，它們的長(zhǎng)度分別為2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連接搭成一個(gè)直角三角形，則這三根木棒的長(zhǎng)度分別為 。14已知，則由、為三邊的三角形是 三角形。15. 一個(gè)三角形的三邊的比為5:12:13，它的周長(zhǎng)為60cm，則它的面積是_。16. 傳說(shuō),古埃及人曾用“拉繩”的方法畫(huà)直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)12厘米的繩子,請(qǐng)你利用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為1

44、2厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊長(zhǎng)度分別為_(kāi) _厘米，其中的道理是_。17.已知兩條線段的長(zhǎng)為5cm和2cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為                  cm時(shí),這三條線段能組成一個(gè)直角三角形.(第19題)18.木工周師傅加工一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，測(cè)量得到桌面的長(zhǎng)為60cm，寬為32cm，對(duì)角線為68cm，這個(gè)桌面 (填“合格”或“不合格”)。19.如圖，ABC中，D是BC上的一點(diǎn)， 若AB=10，BD=6，AD=8，

45、AC=17，則ABC的面積為 。20我們知道,以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形,所以稱(chēng)3、4、5為勾股數(shù)組，記為（3、4、5），類(lèi)似地，還可得到下列勾股數(shù)組（8、6、10），（15、8、17），（24、10、26）等，請(qǐng)你寫(xiě)出上述四組勾股數(shù)的規(guī)律： （用含n的式子表示）。三解答題（本題有7小題，第21-26題每題7分，第27題8分）21如圖，供電所張師傅要安裝電線桿，按要求，電線桿要與地面垂直，因此，從離地面8m的處向地面拉一條長(zhǎng)10m的鋼繩，現(xiàn)測(cè)得地面鋼繩固定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離為6m，請(qǐng)問(wèn)：張師傅的安裝方法是否符合要求？請(qǐng)說(shuō)明理由。 BAC 22ABC中，AB=60cm，BC=22cm，BC邊上的中線AD=61cm，試說(shuō)明ABC是等腰三角形。BACD23如圖，三個(gè)村莊A、B、C之間的距離分別為AB=5km,AC=12km,BC=13km,村莊D在CA的延長(zhǎng)線上且A、D之間的距離為AD=6km.現(xiàn)從B修一條公路BA直達(dá)AC.已知這條公路的造價(jià)為50000元，請(qǐng)按上述標(biāo)準(zhǔn)計(jì)