第1節(jié)向量及線性運(yùn)算

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; ; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程（組）方程（組）向量代數(shù)與空間解析幾何四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量及其線性運(yùn)算 第八八章 .a或表示法:向量的模 :向量的大小,21mm

2、記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1m2m既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.aea記作或零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 m1 m2 ,或 a ,a或.a或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故

3、兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ab)( ab有時(shí)

4、特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;1aa可見(jiàn);1aa;aa 與 a 的乘積是一個(gè)新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b

5、a ,0)(aaa baab.ab故,0a而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 “ ”則,0 時(shí)當(dāng)例例1. 設(shè) m 為mbacd解解:abcd 對(duì)角線的交點(diǎn),0 時(shí)當(dāng)ba,0 時(shí)當(dāng),aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,mdmcmbmaba表示與試用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn) o

6、,o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo向徑在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) p, q , r ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) a , b , c點(diǎn)點(diǎn) m特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc(稱為點(diǎn) m 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) o(0,0,0) ;rr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 m2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) m , ),(zyxm則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量分

7、向量.kzjyixr),(zyxxoyzmnbcijka,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 om 表示.nmonomocoboa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , ixoa, jyobkzoc坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？點(diǎn)在哪個(gè)卦限？, )3 , 2, 1( a, )4, 3 , 2( b, )4,

8、 3, 2( c. )1 , 3, 2( da:; b:; c:; d:;四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 已知兩點(diǎn)在ab直線上求一點(diǎn) m , 使解解: 設(shè) m 的坐標(biāo)為, ),(zyx如圖所示abmo11mab, ),(111zyxa),(222zyxb及實(shí)數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.mba

9、mammbamoaom mbomob aoom )(omob omoboa(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 由得定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式:,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn) m 為 ab 的中點(diǎn) ,于是得x,221xx y,221yy z221zz abmomab),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得)

10、,(111zyxa因ab得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),(222zyxb, rom作omr oroqopbabaoaobba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm證證:1m2m3m21mm 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即321mmm為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

11、 結(jié)束 例例4. 在 z 軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(a等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zm,bmam因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(b. ),0,0(914m離的點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 已知兩點(diǎn))5,0,4(a和, )3, 1 ,7(b解解:求141)2,1,3(142,141,143.babababaoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) o ,aoa作,boboab稱 =aob (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾

12、角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(ba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 已知兩點(diǎn))2,2,2(1m和, )0,3, 1(2m的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321mm(21mm21mm機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)點(diǎn) a 位于第一卦限,解解: 已知角依次為,43求點(diǎn) a 的坐標(biāo) . ,43則222coscos1cos41因點(diǎn) a 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 oa 與 x 軸 y 軸的夾 ,6ao且oaoaao第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練練 習(xí)習(xí)解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設(shè),853kjim,742kjin求向量pnma34在 x