數(shù)字信號處理課件-第二章PPT課件

1、引言 信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算、時域分解、微分方程求解、卷積積分。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算、卷積和、差分方程 的求解。第1頁/共71頁二.變換域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： z變換 序列傅立葉變換（DTFT） 離散傅立葉變換DFT(FFT)。 z域分析、頻域分析。第2頁/共71頁一、z變換定義 2-2-1 1 z變換的定義及收斂域nnznxzX)()( z變換式 記作( ) ( )X zx n Z第3頁/共71頁二.收斂域 1.定義: 使

2、序列 的z變換所定義的冪級數(shù) 收斂的所有z值的集合稱作 的收斂域。2.收斂條件： 收斂的充要條件是絕對可和。Mznxnn)(即：( )x n( )X z( )nnx n z( )X z第4頁/共71頁zz為使上式成立，就須確定 取值的范圍，即收斂域。由于 為復(fù)數(shù)的模，則可以想象出收斂域為一圓環(huán)狀區(qū)域，即RzR圖2.1.1 環(huán)狀收斂域jIm（z）Re（z）RR0RRRRz)(zXz其中， ， 稱為收斂半徑， 可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如圖2.1.1所示。因為 是復(fù)變量的函數(shù)，所以我們用復(fù)數(shù) 平面來表示。第5頁/共71頁常見的一類 變換是有理函數(shù)，即z()()()Bz

3、XzA z0)(zXz)(zX)(zXz)(zXz)(zX使 的那些 值稱為 的零點，而使 的那些 值稱為 的極點。零點、極點也可能包含 處的點。由于 在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)，所以，收斂域內(nèi)不包含極點。第6頁/共71頁(1).有限長序列nnnnnxnx其他, 0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考慮到2、序列形式與其z變換收斂域的關(guān)系第7頁/共71頁01/,00,00,(0,)nnnnnnnzzzznzzzzzzzz 因此，當(dāng)時，只要，則同樣，當(dāng)時，只要，則所以收斂域至少包含，也就是除外的開域，即所謂“有限 平面”。

4、RezImzj12121212(1)00(2)00(3)00(4)00nnznnznnznnz 第8頁/共71頁11, 0),()(nnnnnxnx1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXx(n)n0n11.(3). 右邊序列z 負有限長序列: xzRz 的負冪級數(shù)：xRz 綜合：xRRezImzj收斂域第9頁/共71頁(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾 定理可知收斂域為：0, 00),()(nnnxnxzRx第10頁/共71頁2201( )( )( )( )nnnnnnnnX zx n zx n zx n z(5)左邊序列22, 0),()(nnnnnx

5、nxx(n)02n0 xzR綜合：0z正有限長序列： 0 xzzR的正冪級數(shù)：RezImzjxRz第11頁/共71頁10( )( )( )( )nnnnnnX zx n zx n zx n z(6)雙邊序列0nx(n)0 xzR左邊：xzR右邊：xRRezImzjxRxxRzR綜合：第12頁/共71頁)()(nnx0 ( )( )1nnnn zzZ其收斂域應(yīng)包括即充滿整個z平面。, 0zz,0 z 三、常用序列的z變換 1、單位樣值序列第13頁/共71頁2、階躍序列)()(nunx1)()()(annuanunx111)(1zzzzX1z收斂域為 第14頁/共71頁3、單位斜變序列)()(nn

6、unx2)1()(zzzX1011zznn1z210)1()1(1znznn0)(nnnzzX1z將上式兩邊對 求導(dǎo)得， 兩邊同乘以 得，收斂域 1z1z第15頁/共71頁nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn當(dāng)時，這是無窮遞縮等比級數(shù)。az 11( )1zX zazza此時，4.右邊指數(shù)序列RezImzjza0收斂域：az *收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。第16頁/共71頁5 5、左邊指數(shù)序列nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()() 1()(121111) 1()(nubnxn當(dāng)|b|z|時，這是

7、無窮遞縮等比級數(shù)，收斂RezImzjb收斂域：bz *收斂域一定在模最小的極點所在的圓內(nèi)。11( )1b zzX zb zzb 故第17頁/共71頁6、雙邊指數(shù)序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba該序列的 變換為znnnnnnznubnuaznxzX) 1()()()(00101nnnnnnnnnnnnzbzazbza若 ，則上面的級數(shù)收斂，得到bzaz ,bzzazzbzbazzzX1)(bza第18頁/共71頁 2-3 2-3 z反變換一.定義： 已知 及其收斂域,反過來求序列 的變換稱作z反變換。1( )Z ( )x nX z記作：( )x n( )X z第19頁/共71頁

8、),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正：z變換公式：c為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.ImzjRezxRxR 0c第20頁/共71頁1、部分分式展開法2、冪級數(shù)展開法（自學(xué)P43-45）3、留數(shù)法（自學(xué)P45-47）二.求z反變換的方法第21頁/共71頁 部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項 式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式 部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)

9、的不可約 多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原 分式的“部分分式”。kAxa)( kBAxxbax)(2第22頁/共71頁因此， 可以展成以下部分分式形式其中，MN時，才存在Bn；zk為 的各單極點， 為 的一個s階極點。而系數(shù)Ak，Ck分別為： 通常， 可表成有理分式形式：01( )( )( )1MmmmNkkkb zB zX zA za z( )X z( )X z0z( )X z( )X zskkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)(skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1,

10、2 , 1,)()()(Re第23頁/共71頁解：11/421/2( )(1/ 4)1( )(1/ 2)2zzX zAzzX zAzz 的z反變換。例 利用部分分式法，求2( )(1/ 4)(1/ 2)zX zzz12( )(1/ 4)(1/ 2)1/ 41/ 2AAX zzzzzzz依據(jù)式（2.2.3）得第24頁/共71頁1/ 2,11( )( )2 ( )( )42nnzx nu n 又序列為右邊序列1/41/2,11( )()( )2 ( )(- -1)42nnzx nu nu n 當(dāng)序列為雙邊序列2( )1/ 41/ 2zzX zzz1/ 4,11( )( ) -2 ( )(- -1)

11、42nnzx nu n又序列為左邊序列第25頁/共71頁 2-4 2-4 z變換的基本性質(zhì)和定理Z ( )( ),Z ( )( ),xxyyx nX zRzRy nY zRzR*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.1.線性Z( )( )( )( ),max(,)min(,)xyxyax nby naX zbY zRRzRR如果 ,則有：第26頁/共71頁例2-10 已知 ,求其z變換。)()cos()(0nunnx0001110120111Zcos() ( )2 111cos,112cosjjn u nezezzzzz因此，解：0000000001111cos() ( ) ( )

12、21Z( ),11Z( ),111Z( ),11jnjnnjnjjjnjjn u neeu na u nzaazeu nzeezeu nzeez第27頁/共71頁2. 2. 序列的移位 ()( ) ;mxxx nmzX zRzRZ如果則有： ( )( ),xxx nX zRzRZ例2-11 求序列 的z變換。23222 ( ),11 (3),1111 ( ),011zu nzzzzu nzzzzzzzzx nzzzzZZZ000() ()( )stf tt u tteF sLx(nm)u(n)Z注：( )( )(3)x nu nu n第28頁/共71頁依據(jù)移位性質(zhì)得( )( )(2)x nu

13、nu nZ ( ),11zu nzz12Z (2) ( ),11zu nz Z u nzz11Z ( ),011zzzx nzzzz例2.3.2 求序列解 查表2.1.2可知因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為的z變換。第29頁/共71頁3. 翻褶序列111 ()( ) ;xxxnXzzRRZ如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則證明：11 ()()( )1( )()( )11nnnnnxxnxxxnxn zx n zx n zXRzRzzRRZ，即第30頁/共71頁第31頁/共71頁4 4. .序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（z z域尺度變換）( )( ) ;nxxza x nXa Rza RaZ ( )

14、( ),xxx nX zRzRZ如果，則證明：( )( )( )( )( ) ;nnnnnnxxxxa x na x n zzzx nXaazRRa Rza RaZ即1()( )sf atFaaL第32頁/共71頁5 5. .序列的線性加權(quán)( (z域求導(dǎo)數(shù)) )如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則( )( ),xxdnx nzX zRzRdz Z證明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，對其兩端求導(dǎo)得( )( )dF stf tdsL第33頁/共71頁第34頁/共71

15、頁6 6. . 共軛序列*( )();xxx nXzRzRZ，如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則證明：*( )( ) ( )() ( )() ();nnnnnxxnx nx n zx n zx n zXzRzRZ，第35頁/共71頁。，則對于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值定理初值定理證明：)0()(lim,)2() 1 ()0()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn顯然)(lim)(lim0ssFtfst第36頁/共71頁8. 終值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXn

16、x階極點，則有處有一單位圓上在單位圓內(nèi)，且只允許的極點，且對于因果序列證明： (1)( )(1)( ) (1)( )nnx nx nzX zx nx n zZ)(lim)(lim0ssFtfst1lim (1)( )nmnmx mx m zZ第37頁/共71頁 又由于只允許 在 處可能有一階極點，故因子 將抵消這一極點，因此 在上收斂。所以可取 的極限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0() 1 (0)0(lim1)() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz( )X z(1) ( )zX z1

17、z1z 1z第38頁/共71頁9 9. .序列的卷積和( (時域卷積定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny則有：，而且如果第39頁/共71頁證明： ( )( ) ( )( )() ()()()()( )()( )( )( )max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhx nh nx nh n zx m h nm zx mh nm zx mh l zzx m zH zX z H zRRzRR Z第40頁/共71頁例2.3.5.),()()(),

18、1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知1( ) ( ),;( ) ( ),;( )( )( )zX zZ x nzazazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzbzzazY zX z H zza zbzb解：( )( )( )X zH zY zzb的極點與的零點相消，的收斂域擴大，為。1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第41頁/共71頁1 10 0. .序列相乘( (z域卷積定理) )其中,c是在變量v平面上， ， 公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHv

19、XjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11則有：，且如果( / )X z v( )H v第42頁/共71頁1111. . 有限項累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(則，且對于因果序列證明：，交換求和次序，得的取值范圍分別為可知，令, 0,)()()(, )()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnmZZZ第43頁/共71頁00001201100( )( )( )( )(1)11( )( )11( ),m

20、ax,11nnnnmnmmn mmmmmmmxx mx m zx mzx m zzzx m zx m zzzzX zzRz Z第44頁/共71頁0( )( )1nmzx mX zzZ差分：11 ( )(1)(1)( )( )zx nx nzX zX zzZ累加：第45頁/共71頁 12.12.帕塞瓦爾定理( (parseval)parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線c在公共收斂域內(nèi)。*111( )( )( )()2cnx n h nX v Hv dvjv( ) ( ),;( ) ( ),;1.xxhhxnxnX zx nRzRH zh nRzRR RR R ZZ且如果則有:第46

21、頁/共71頁*幾點說明：111( ) ( )( )( )2cnx n h nX v Hv dvjv1( )( )()()2jjnx n h nX eHed。221( )()2jnx nX ed這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾定理1.當(dāng) 為實序列時( )h n2.當(dāng)圍線取單位圓 時， ，則1v 1/jvve3.當(dāng) 時( )( )h nx n第47頁/共71頁2-5 2-5 z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 2.5.1、z變換與拉氏變換的關(guān)系設(shè) 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號)(txa)( tx根據(jù)z變換的推導(dǎo)過程，可知：當(dāng) 時，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。

22、即：或者：sTez )()()(sXeXzXsTezsTzTssXzXln1)()(第48頁/共71頁 s平面用直角坐標(biāo)表示為： z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ；這就是說， z的模只與s的實部相對應(yīng), z的相角只與s虛部 相對應(yīng)。TerT,jTj TzreeesTez jrez js第49頁/共71頁00(1). 與 的關(guān)系)(Ter ，即s平面的虛軸 ，即z平面單位圓； ，即s的左半平面 ，即z的單位圓內(nèi)； ，即s的右半平面 ，即z的單位圓外 。0001r 1r 1r rjImzRezj第50頁/共71頁0jImzRezT3TTT3(2). 與 的關(guān)系（ ）jT 即s平面的

23、實軸 即z平面正實軸； 即s平行實軸的直線 即z始于原點的射線； 即s寬的水平條帶 即整個z平面。2T0 0 (, ) 00T (,)T T 第51頁/共71頁。所以s平面到z平面是多值映射關(guān)系。如圖2.4.3所示圖 2.4.3 s平面和z平面的多值映射關(guān)系（其中以s平面左半平面為例，s平面右半平面以相同的方式映射到z平面單位圓外）第52頁/共71頁2.5.2 2.5.2 z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的z變換,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。

24、 用數(shù)字頻率作為z平面的單位圓的參數(shù)， 表示z平面的輻角，且 。kTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXTjezTjjez Tsj 第53頁/共71頁，則考慮到T)()()(jXeXzXjezjkTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kjezTkjXTeXzXj所以，序列在單位圓上的z變換為序列的傅氏變換。第54頁/共71頁2.5.3 常用信號的z變換與拉氏變換、傅氏變換222z( )1( )1( )111( )( )( )11( )( )( )( )111( )( )( )( )(1)atatnttnzeu teu ta u njasazazu tu nu tszjzn

25、u ntu ttu tjzs 傅氏變換拉氏變換變換第55頁/共71頁2.5.1 2.5.1 定義DTFT ( )()( )( )jjjnz enx nX eX zx n e11( )DTFT ()()2jjj nx nX eX eed反變換:2-2-6 6 序列的傅立葉變換（DTFT） 及性質(zhì)( )nx n 收斂條件：第56頁/共71頁2.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性質(zhì)（1 1）周期性由序列的傅立葉變換公式：其中的M為整數(shù)。因此序列的傅立葉變換是頻率的周期函數(shù)。(2)(2)()( )()jMjM njnX ex n eX e第57頁/共71頁（2 2）DTFTDTFT的線性設(shè)那么式

26、中a和b為常數(shù)。1212DTFT( )( )()()jjax nbx naX ebXe1122()DTFT( ),()DTFT( )jjX ex nXex n（3）DTFT 的時移和頻移特性0000()DTFT ()()DTFT( )()j njj njx nneX eex nX e 第58頁/共71頁（4 4）時域卷積定理設(shè)則)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY（5）頻域卷積定理設(shè)則)()()(nhnxnydeHeXeHeXeYjjjjj)()(21 )()(21)()(第59頁/共71頁（6 6）帕塞瓦爾定理能量守恒221( )()2jnx nX ed（7）序列的翻褶與共

27、軛DTFT ()()jxnX e*DTFT( )()jx nXe*DTFT()()jxnXe第60頁/共71頁(8) DTFT(8) DTFT的共軛對稱性共軛對稱序列 共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。共軛反對稱序列 共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。序列可以分成共軛對稱 部分與共軛反對稱 部分)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(nxnxnxoe)()()()()()(*njbnanxnjbnanxee( )ex n( )ox n第61頁/共71頁此時：對上面兩式取DTFT，得到結(jié)論：序列的共軛對稱部分 對應(yīng)DTFT的實部，序列的共軛反對稱部分 對應(yīng)DTFT的

28、虛部。)()()(nxnxnxoe )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoe1DTFT( )()()Re()()21DTFT( )()()Im()()2jjjjeRjjjjoIx nX eXeX eXex nX eXejX ejX e( )ex n( )ox n第62頁/共71頁共軛分解 )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoeDTFT( )Re()DTFT( )Im()jejox nX ex njX e0DTFTRe ( )()DTFT Im ( )()jejx nXejx nXe序列共軛分解，對應(yīng)頻譜的實部和虛部分解序列的實部和虛部分解，對應(yīng)頻譜的共軛分解第63頁/共71頁線性移不變系統(tǒng) 為單位抽樣響應(yīng)( )( )( )( ),( )( )Y zY zX z H zH zX z 稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2 2.6 .6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)jez ( )H z(