高等數(shù)學(xué)：14-1 引言(1-8)

1、第十四章第十四章 付里埃級數(shù)付里埃級數(shù)15.1 引引 言言問題問題一個函數(shù)一個函數(shù) f (x) 是否可表示為一三角級數(shù)是否可表示為一三角級數(shù) ? ? )sincos()( 102nnnnxbnxaaxf即即說明說明(1) 級數(shù)級數(shù) )sincos( 102nnnnxbnxaa稱為稱為三角級數(shù)三角級數(shù) (2) 和函數(shù)和函數(shù) )sincos()( 102nnnnxbnxaaxS是以是以 2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) 問題產(chǎn)生的背景問題產(chǎn)生的背景 十八世紀(jì)研究兩端固定在十八世紀(jì)研究兩端固定在 x 軸上的橫弦震動軸上的橫弦震動問題時問題時, 面臨震動方程面臨震動方程 22222xyaty 的求

2、解問題的求解問題yx0ab),(xtyy 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 , 歐拉歐拉證明其解證明其解 ( 1747年年 )()(atxgatxfy 貝努里貝努里證明其解證明其解 ( 1753年年 )y 是一系數(shù)為是一系數(shù)為 t 的函數(shù)的關(guān)于的函數(shù)的關(guān)于 x 的三角級數(shù)的三角級數(shù) 產(chǎn)生兩個問題產(chǎn)生兩個問題:(1) 任意一個周期函數(shù)可用一個三角級數(shù)表示嗎任意一個周期函數(shù)可用一個三角級數(shù)表示嗎?(2) 一個非周期函數(shù)可表示為周期為一個非周期函數(shù)可表示為周期為 2 的三的三角級數(shù)嗎角級數(shù)嗎?付里埃付里埃在研究熱傳導(dǎo)問題時也遇到了相同的問題在研究熱傳導(dǎo)問題時也遇到了相同的問題 付里埃對這一問題的研究作出了很大的貢獻(xiàn)

3、付里埃對這一問題的研究作出了很大的貢獻(xiàn)后人把函數(shù)所展成的三角級數(shù)稱為后人把函數(shù)所展成的三角級數(shù)稱為付里埃級數(shù)付里埃級數(shù)三角函數(shù)系及正交性三角函數(shù)系及正交性 )sincos( 102nnnnxbnxaa三角級數(shù)三角級數(shù)可由函數(shù)系可由函數(shù)系, sin , cos , ,sin , cos, nxnxxx1所生成所生成 ( 線性組合而成線性組合而成 ), sin , cos , ,sin , cos, nxnxxx1稱為稱為基本三角函數(shù)系基本三角函數(shù)系 定義定義對于對于 a , b 上的可積函數(shù)上的可積函數(shù) , )(, )(, )( xxxn 21所形成的函數(shù)系所形成的函數(shù)系 , 如果如果 )()(

4、 bajidxxx 時時當(dāng)當(dāng) , jii 0 時時當(dāng)當(dāng) , ji 0則稱函數(shù)系則稱函數(shù)系 為為 a , b , )(, )(, )( xxxn 21上的上的正交函數(shù)系正交函數(shù)系, sin , cos , ,sin , cos, nxnxxx1例例基本三角函數(shù)系基本三角函數(shù)系 是是 , 上的正交函數(shù)系上的正交函數(shù)系 解解01 nnxnxdxsincos01 nnxnxdxcossin dxnxnxdx)cos(cos21212 dxnxnxdx)cos(sin21212當(dāng)當(dāng) m n 時時021 dxmnxmnmxdxnx)cos()cos(sinsin021 dxmnxmnmxdxnx)cos(

5、)cos(coscos021 dxnmxnmnxdxmx)sin()sin(cossin 所以基本三角函數(shù)系是所以基本三角函數(shù)系是 , 上的正交函數(shù)系上的正交函數(shù)系 說明說明 (1) 由于基本三角函數(shù)系中的函數(shù)都是由于基本三角函數(shù)系中的函數(shù)都是 2 的的 周期函數(shù)周期函數(shù) , 根據(jù)周期函數(shù)的積分性質(zhì)進(jìn)一根據(jù)周期函數(shù)的積分性質(zhì)進(jìn)一 步步 有以下結(jié)論有以下結(jié)論:, sin , cos , ,sin , cos, nxnxxx1是任意區(qū)間長度為是任意區(qū)間長度為 2 的區(qū)間的區(qū)間 a , a + 2 上的上的基本三角函數(shù)系基本三角函數(shù)系正交函數(shù)系正交函數(shù)系(2) 同理可證同理可證 : 三角函數(shù)系三角函數(shù)系 , sin , cos , , sin , cos, lxnlxnlxlx 1是是 l , l 上的正交函數(shù)系上的正交函數(shù)系 , 其中其中 l 是任意正數(shù)是任意正數(shù) 進(jìn)一步有以下結(jié)論進(jìn)一步有以下結(jié)論: , sin , cos , ,