電磁場(chǎng)與電磁波試題及答案.

1、1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡(jiǎn)要說明其物理意義。2. 答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為I H =J EB =0 D = .二（3ctct分）（表明了電磁場(chǎng)和它們的源之間的全部關(guān)系除了真實(shí)電流外，變化的電場(chǎng)（位移電流）也是磁場(chǎng)的源； 除電荷外，變化的磁場(chǎng)也是電場(chǎng)的源。1. 寫出時(shí)變電磁場(chǎng)在1為理想導(dǎo)體與2為理想介質(zhì)分界面時(shí)的邊界條件。I!2. 時(shí)變場(chǎng)的一般邊界條件 D?n 、E?t = 0、H 2 = J s、2n =0。（或矢量式*82 = ；、H = 0、'IIn H2 = Js、hl2 =o）1. 寫出矢量位、動(dòng)態(tài)矢量位與動(dòng)態(tài)標(biāo)量位的表達(dá)式,并簡(jiǎn)要說明

2、庫(kù)侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。2. 答矢量位BA,A = o；動(dòng)態(tài)矢量位E 或E 。庫(kù)侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)ctct范的作用都是限制A的散度，從而使A的取值具有唯一性；庫(kù)侖規(guī)范用在靜態(tài)場(chǎng)，洛侖茲規(guī)范用在時(shí)變場(chǎng)。1. 簡(jiǎn)述穿過閉合曲面的通量及其物理定義2. ，口 A dS 是矢量A穿過閉合曲面S的通量或發(fā)散量。若0,流出S面的通量大于流入的S通量，即通量由S面內(nèi)向外擴(kuò)散，說明S面內(nèi)有正源若<0,則流入S面的通量大于流出的通量，即通量 向S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi)有負(fù)源。若=0,則流入S面的通量等于流出的通量，說明S面內(nèi)無(wú)源。1. 證明位置矢量廠e"Jy e? 的散度，并由此說明矢量場(chǎng)的散度與

3、坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)。2. 證明在直角坐標(biāo)系里計(jì)算- ' ' < j ,則有-Xy(exx eyy e?z)三=3:z若在球坐標(biāo)系里計(jì)算，則.d 1c1 C、 r （r） = r （r）二二'（r3）=3由此說明了矢量場(chǎng)的散度與坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)。r crr cr1.在直角坐標(biāo)系證明7 7： A= 02.）【&（）g（一 ）ez（迅一 ）:z: y.zz .x；:x.y: ；:Ax :A-（e<eyexdyczdyczczexAzAx: AzAy: Ax（ ）（ ）（一 x :y .z :y z 一x : z x :y1. 簡(jiǎn)述亥姆霍茲定理并舉例說明。2. 亥

4、姆霍茲定理研究一個(gè)矢量場(chǎng)，必須研究它的散度和旋度，才能確定該矢量場(chǎng)的性質(zhì)。I 匸 D dg 八 q。'、S例靜電場(chǎng)1.2.1.2.有源E di* = 0無(wú)旋已知 R = r -廣，證明i r = 一'、R=邑 FrR 。證明R R R£r=q+e+exyz .x y zez試寫出一般電流連續(xù)性方程的積分與微分形式，恒定電流的呢?般電流J dS dq dt Q i J J 訐t ；恒定電流 rnJdS1. 電偶極子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中會(huì)受作怎樣的運(yùn)動(dòng)？在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中呢？2. 電偶極子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受一個(gè)力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)；非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不僅受一個(gè)力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，還要受力的作用

5、，使 電偶極子中心發(fā)生平動(dòng)，移向電場(chǎng)強(qiáng)的方向1. 試寫出靜電場(chǎng)基本方程的積分與微分形式。2. 答靜電場(chǎng)基本方程的q， E di =01積分形式.E ds =s0微分形式 D = ,' E = 01試寫出靜電場(chǎng)基本方程的微分形式，并說明其物理意義。2. 靜電場(chǎng)基本方程微分形式E = 0，說明激發(fā)靜電場(chǎng)的源是空間電荷的分布（或是激發(fā)靜電場(chǎng)的源是是電荷的分布）。1試說明導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)特性。2. 答導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)特性有 導(dǎo)體內(nèi)E = 0； 導(dǎo)體是等位體（導(dǎo)體表面是等位面）； 導(dǎo)體內(nèi)無(wú)電荷，電荷分布在導(dǎo)體的表面（孤立導(dǎo)體，曲率）； 導(dǎo)體表面附近電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于表面，且E = n/ ； 0。

6、1. 試寫出兩種介質(zhì)分界面靜電場(chǎng)的邊界條件。2. 答在界面上D的法向量連續(xù)D1n = D2n或（n, D2= nl &）； E的切向分量連續(xù)巳=E2t或 （n e,=n E2）i試寫出i為理想導(dǎo)體，二為理想介質(zhì)分界面靜電場(chǎng)的邊界條件。2.在界面上d的法向量D2n = ；或（nD2 =）； e的切向分量E2t = 0或（n,E2 = o）i. 試寫出電位函數(shù)：表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場(chǎng)的邊界條件。1.2. 答電位函數(shù)表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場(chǎng)的邊界條件為二2，2解由1 D，其中D = E,E=-7*v D八 ； E；為常數(shù)門2 -=p二Z泊松方程.簡(jiǎn)述唯一性定理，并說明其物理意義2.對(duì)于

7、某一空間區(qū)域V,邊界面為s, 0滿足vV-兀-r ',試推導(dǎo)靜電場(chǎng)的泊松方程。1（對(duì)導(dǎo)體給定q）給定0卩 或則解是唯一的。只要滿足唯一性定理中的條件，解是唯一的，可以用能想到的最簡(jiǎn)便的方法求解（直接求解法、鏡像法、分離變量法），還可以由經(jīng)驗(yàn)先寫出試探解，只要滿足給定的邊界條件，也是唯一解。不滿足唯一性定理中的條件無(wú)解或有多解。1試寫出恒定電場(chǎng)的邊界條件。2.答恒定電場(chǎng)的邊界條件為汁門-J二:，,. ；p''- P -:1. 分離變量法的基本步驟有哪些？2. 答具體步驟是1、先假定待求的位函數(shù)由兩個(gè)或三個(gè)各自僅含有一個(gè)坐標(biāo)變量的乘積所組成。2、把假定 的函數(shù)代入拉氏方程，

8、使原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)或三個(gè)常微分方程。解這些方程，并利用給定的邊界 條件決定其中待定常數(shù)和函數(shù)后，最終即可解得待求的位函數(shù)。1. 敘述什么是鏡像法？其關(guān)鍵和理論依據(jù)各是什么？2. 答鏡像法是用等效的鏡像電荷代替原來場(chǎng)問題的邊界，其關(guān)鍵是確定鏡像電荷的大小和位置，理論依據(jù) 是唯一性定理。7、試題關(guān)鍵字恒定磁場(chǎng)的基本方程1. 試寫出真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程的積分與微分形式，并說明其物理意義2. 答真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程的積分與微分形式分別為l B = 0、H 二 j說明恒定磁場(chǎng)是一個(gè)無(wú)散有旋場(chǎng)，電流是激發(fā)恒定磁場(chǎng)的源。1. 試寫出恒定磁場(chǎng)的邊界條件，并說明其物理意義。T 屮 屮 片 T

9、屮 彳2. 答:恒定磁場(chǎng)的邊界條件為：尺“巴-h2)= js Rub,-b2)= o，說明磁場(chǎng)在不同的邊界條件下磁場(chǎng) 強(qiáng)度的切向分量是不連續(xù)的，但是磁感應(yīng)強(qiáng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)。1. 一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為匚。證明垂直于平面的z軸上z = Zo處的電場(chǎng)強(qiáng)度E中, 有一半是有平面上半徑為-3Zo的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。2. 證明半徑為r、電荷線密度為=Cdr的帶電細(xì)圓環(huán)在z軸上z = z。處的電場(chǎng)強(qiáng)度為d EWzod r!z22、3 22 名o(r +Zo)'0ez22Zo2；o(烷r" zo dr2、3 2故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在z軸上z二Zo處的電場(chǎng)強(qiáng)度為O'

10、;二邑01_ ez, 2丄2、122% (r +zo)'而半徑為：3Zo的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在Z軸上Z = Zo處的電場(chǎng)強(qiáng)度為7r；z)dr2o(r2 味)32=ez1. 由矢量位的表示式A( r)% J (r )d .證明磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式并證明2.答B(yǎng) (r)J0 J( r) RB(r)34兀；RT-4°. J (r ) ( Rr)d.4二.R10 J (r ) '、(-)d. TR1. 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式和泊松方程。2. 解 點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足麥克斯韋方程Vx據(jù)散度定理，上式即為jD dS 二 qs利用球?qū)ΨQ性，得D =erq4二

11、r2貯Zo1= _eZ2 ；o (r2 z2)128故得點(diǎn)電荷的電場(chǎng)表示式q4 二；r2由于' E = 0,可取E，則得2 D - ；'、E - _ '- - 一、'- = -即得泊松方程1. 寫出在空氣和仏® 的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。2. 解空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為n E = 0n H = J s根據(jù)電磁對(duì)偶原理，采用以下對(duì)偶形式E r H . H - E . J Jms即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件n H = 0n E - -Jms式中，Jms為表面磁流密度。1. 寫出麥克斯韋方程組（在靜止媒質(zhì)中）的積分形式與微分形

12、式2.l呻叩 £D網(wǎng)（H dl =«（J 十三）dSs點(diǎn)t；:t一口空 dSs ；:t4'、D = ：?0fsB dS=0UsD dS=q1. 試寫媒質(zhì)1為理想介質(zhì)2為理想導(dǎo)體分界面時(shí)變場(chǎng)的邊界條件2. 答邊界條件為Eit = E?t = 0 或 “巳=0H1t=Js 或 n Hr=JsB1n = B2n = 0 或 n = 0Dm = 's或n Di = ?s1試寫出理想介質(zhì)在無(wú)源區(qū)的麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式。2.答 H = j'、E jHl B = 0I D =01試寫出波的極化方式的分類，并說明它們各自有什么樣的特點(diǎn)。2. 答波的極化方式的分為

13、圓極化，直線極化，橢圓極化三種。圓極化的特點(diǎn)Exm二呂，且Exm,Eym的相位差為一，2直線極化的特點(diǎn)Exm，Eym的相位差為相位相差0,二橢圓極化的特點(diǎn)Exm = Eym，且Exm，Eym的相位差為一?或0,二，1. 能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎樣定義的？坡印廷定理是怎樣描述的？2. 答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定義為單位時(shí)間內(nèi)穿過與能量流動(dòng)方向垂直的單位截面的能量。坡印i>I廷定理的表達(dá)式為-(E H) d d(We Wn) P或匚dt-C（E心吟加中心:E2反映了電磁場(chǎng)中能量的守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系1試簡(jiǎn)要說明導(dǎo)電媒質(zhì)中的電磁波具有什么樣的性質(zhì)？（設(shè)媒質(zhì)無(wú)限大）2. 答導(dǎo)電媒質(zhì)中的電

14、磁波性質(zhì)有電場(chǎng)和磁場(chǎng)垂直；振幅沿傳播方向衰減；電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相；以平面波形式傳播。2.時(shí)變場(chǎng)的一般邊界條件 Dm-Dzn-；：一、E1t二、H1t-H2t二Js、B1n = B2n。（寫成矢量式業(yè)止-廿2）+、n（百一亡2）=0、n（優(yōu)一計(jì)2）=丄、nL（B1 k）= o 樣給5分）1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡(jiǎn)要說明其物理意義。2. 答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為' H二J 二D, E = -B = o,D亂ct（表明了電磁場(chǎng)和它們的源之間的全部關(guān)系除了真實(shí)電流外，變化的電場(chǎng)（位移電流）也是磁場(chǎng)的源；除電 荷外，變化的磁場(chǎng)也是電場(chǎng)的源。1. 寫出時(shí)變電

15、磁場(chǎng)在1為理想導(dǎo)體與2為理想介質(zhì)分界面時(shí)的邊界條件I2. 時(shí)變場(chǎng)的一般邊界條件D2n=；丁、E2t= 0、H2t= Js、B2n= 0。（寫成矢量式 孔D2二二、IIIIn E2 二 o、n H2=Js、hlB2 =o 樣給 5 分）1.寫出矢量位、動(dòng)態(tài)矢量位與動(dòng)態(tài)標(biāo)量位的表達(dá)式,并簡(jiǎn)要說明庫(kù)侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。g,：A2.答矢量位B = ' A, l A = 0 ;動(dòng)態(tài)矢量位E -或E' 。庫(kù)侖規(guī)范與洛侖茲Ct說規(guī)范的作用都是限制-的散度，從而使-的取值具有唯一性；庫(kù)侖規(guī)范用在靜態(tài)場(chǎng)，洛侖茲規(guī)范用在時(shí)變 場(chǎng)。1.描述天線特性的參數(shù)有哪些?2. 答描述天線的特性能數(shù)有輻射

16、場(chǎng)強(qiáng)、方向性及它的輻射功率和效率。1. 天線輻射的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)有什么特點(diǎn)？2. 答天線的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是與1/r成正比，并且它們同相，它們?cè)诳臻g相互垂直，其比值即為媒質(zhì)的本征阻抗，有能量向外輻射。1.真空中有一導(dǎo)體球A內(nèi)有兩個(gè)介質(zhì)為空氣的球形空腔B和G其中心處分別放 置點(diǎn)電荷二和訂，試 求空間的電場(chǎng)分布2. 對(duì)于A球內(nèi)除B C空腔以外的地區(qū)，由導(dǎo)體的性質(zhì)可知其內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零。 對(duì)A球 之外，由于在A球 表面均勻分布一'二 的電荷，所以A球以外區(qū)域£_ E+E:工二'（方向均沿球的徑向）對(duì)于A內(nèi)的B C空腔內(nèi)，由于導(dǎo)體的屏蔽作用則（'為B內(nèi)的點(diǎn)到B球心的距離）（為C

17、內(nèi)的點(diǎn)到C球心的距離）12#1.如圖所示，有一線密度丄'<-的無(wú)限大電流薄片置于丁一平面上，周圍媒質(zhì)為空氣。試求場(chǎng)中 各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。根據(jù)安培環(huán)路定律，在面電流兩側(cè)作一對(duì)稱的環(huán)路。則#y> 0y< 0#1. 已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為J和上,其間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率 為G ,且電纜長(zhǎng)度 »P2,忽略端部效應(yīng)，求電纜單位長(zhǎng)度的外自感。2. 設(shè)電纜帶有電流一1. 在附圖所示媒質(zhì)中，有一載流為的長(zhǎng)直導(dǎo)線，導(dǎo)線到媒質(zhì)分界面的 距離為二。試求載流導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的作用力。2. 鏡像電流如二9毘丁 _ _ 4他+9島5鏡像電流在導(dǎo)線處產(chǎn)生的B值為單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受到的作用力力的

18、方向使導(dǎo)線遠(yuǎn)離媒質(zhì)的交界面。1.圖示空氣中有兩根半徑均為a,其軸線間距離為d打八.的平 行長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體，設(shè)它們單位長(zhǎng)度上所帶的電荷量分別為和L若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求(1) 圓柱導(dǎo)體外任意點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度史'的電位的表達(dá)式；+缶2.心斫7七P以y軸為電位參考點(diǎn)，則 圓柱導(dǎo)體面上的電荷面密度；二與上“值14#=Drmi#1.圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑=八二，外導(dǎo)體內(nèi)徑I - U，其間充有#兩種電介質(zhì)與它們的分界面的半徑為5_ - -T 0已知1與二的相對(duì)介電常數(shù)分別為=9 x 10-1 - -。求此球形電容器的電容1 2.解4 <r<3)2.(1)152.(1)#E2 = 一

19、 莓(3 <r <6)4/ =億廿+也心5-102 1 L 8 102 1 h二=H 一 J 一1一 = J4磚 3 1 4g 6 3 0 10" 11、 9xlOu4啦 3 620_2-xlO_uF91. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為-】：，一層電介質(zhì)厚度、!，11 ,電導(dǎo)率二&口，相對(duì)介電常數(shù)了，另一層電介質(zhì)厚度；:',電導(dǎo)率 ='： '' 0相對(duì)介電常數(shù)二；，當(dāng)電容器加有電壓_1 I.-時(shí)，求(1) 電介質(zhì)中的電流；(2) 兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷；(3) 電容器消耗的功率2.(1)16#b二（旬勇-E覽二”（冠耳-E

20、篤） 必7 + d孑工3 = 8.85x10 C/id:.P = = 25xl0-11 WR1. 有兩平行放置的線圈，載有相同方向的電流，請(qǐng)定性畫出場(chǎng) 中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布（生線）。2. 上;線上、下對(duì)稱。1.已知真空中二均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為：二 /. ''和''-' 求合成波電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式及極化方式m=0c得合成波為右旋圓極化波Ex =（focos（'t+ 燉）-右瓦 sirred-血）01圖示一平行板空氣電容器，其兩極板均為邊長(zhǎng)為a的正方形，板間距 離為d,兩板分別帶有電荷量+ J與-，現(xiàn)將厚度為d、相對(duì)介電常數(shù)為3:,邊長(zhǎng)為a的正

21、方形電介質(zhì)插入平行板電容器內(nèi)至一處，試問該電介質(zhì) 要受多大的電場(chǎng)力？方向如何?2. （1）解當(dāng)電介質(zhì)插入到平行板電容器內(nèi)a/2處，則其電容可看成兩個(gè)電容器的并聯(lián)冷（3- x）a靜電能量1 Q2Q2d : :2 C 2a%（£-l）x+a19#詔（爲(wèi)+1）1其方向?yàn)閍/2增加的方向，且垂直于介質(zhì)端面。1.長(zhǎng)直導(dǎo)線中載有電流其近旁有一矩形線框，尺寸與相互 位置如圖所示。設(shè) 時(shí)，線框與直導(dǎo)線共面：一時(shí)，線框以均勻角速度心繞平行于直導(dǎo)線的對(duì)稱 軸旋轉(zhuǎn)，求線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。202.長(zhǎng)直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度2 nr:時(shí)刻穿過線框的磁通二Rd弘仝fUh2 A j"TL / + （?）

22、'+呂血陽(yáng)血二込 _2力 / + （即-甜亦時(shí)2感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e-dt/iIabdu亨MT212“ 053®參考方向十一時(shí)為順時(shí)針方向。1. 無(wú)源的真空中，已知時(shí)變電磁場(chǎng)磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為H S F）二耳0上口或5 砒）sirij6glO°f-0jr） A/m試求 /的值；（2） 電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)矢量"丄:和復(fù)矢量（即相量）'2. （1）VW二（蘭+蘭）刃二-廳+ Q5沙#-（&jrxlO®）a#=0由得故得Q5" +廳二（3xlOB）z= 5-J7 在 rasiis= +)xdt=供9陸i ril5J!zy)cos(6xlO

23、s t-sT?+弓3畀兀8詛5勿九ir(以乂 1孑皆5麗砂)V /ra J?二q9庇弓3#屈匚口£15砒)/麗1.2.證明任一沿匕傳播的線極化波可分解為兩個(gè)振幅相等，旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波的疊加。 證明設(shè)線極化波材-和匚-分別是振幅為二的右旋和左旋圓極化波1.圖示由兩個(gè)半徑分別為和；的同心導(dǎo)體球殼組成的球形 電容器，在球殼間以半徑為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為222. 證明設(shè)內(nèi)導(dǎo)體殼外表面所帶的電荷量為Q則兩導(dǎo)體球殼間的電壓為23#1. 已知/=-2? + 2/) A/m 2 求 穿過面積: ': '在J方向的總電流 在上述面積中心處電流密度的模

24、；(3)在上述面上的平均值。2.(1)Z= j/- ds= J/公=5/ 6.2s - 3M)4r二-xl2,6 &- 2s) 山2面積中心，= 399 Az= 4.5J二 28L25電-45耳 +81:,|二 J28h25, +45? +83?二 29/121 A/m(3)的平均值I _ 39952 3.8)(32)一 TT対 285 A/m31.兩個(gè)互相平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)，尺寸如圖所示，其中m ；，11。略去端部效應(yīng),試求兩線圈間的互感。2.設(shè)線框_帶有電流，線框的回路方向?yàn)轫槙r(shí)針。線框產(chǎn)生的出為JT熬-占嗣24#L1陰pQ4卩5&7Sg1不12345I2 農(nóng) S

25、+q)(S+&)1. 用有限差分法計(jì)算場(chǎng)域中電位，試列出圖示正方形網(wǎng)格中內(nèi)點(diǎn)I的拉普拉 斯方程的差分格式和內(nèi)點(diǎn)一的泊松方程的差分格式。2.假二扌仏+% +佻+佻2)-細(xì) + 佻 +%+%）+叫=甘（T）1.已知-"'L-,；：；，今將邊長(zhǎng)為一的方形線框放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處，如圖，當(dāng)此線框的法線分別沿匚、C和C方向時(shí)，求框中的感 應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。2. （1）線框的法線沿時(shí)由気=J Jf di得25# 線框的法線沿門時(shí)gC 口5血- 0（-）+比 cosfet- COS（IZ/ + 力£）+ 8S仙-0舟）線框的法線沿f【時(shí)e = 0in1. 無(wú)源真空中，已知時(shí)變電磁場(chǎng)的

26、磁場(chǎng)強(qiáng)度 片乜： 為；H心扌丿=弓&前«4誥）匚口呂砂+弓禺匚口訥工）呂山少芝一砂 A/m ,其中&、禺為常數(shù)，求位 移電流密度人。2. 因?yàn)?./ 一7x = 1+ #26= VxJ#dzA2 cos(4二-j4cos(4 t) cosfdit- ffy) + er4 A2 sir(4t)ffy)-Jsii4j)siT(田f-0_y) A/m1. 利用直角坐標(biāo)系證明' (fG)二仆 G( f)g42. 證明左邊八.(fA)八.(fAxeJ fAyey fAzez)(二 :(fAx)e:(fAy)e ：:(fAz曲txcy&_ f ：仏嗟 A fx f

27、 ：:(Ay危 A ：:(個(gè)£x% 汰cycyf 衛(wèi)蟲 A ：(f)&dzdzI'I：(Az)eZ A；：(f)e<:z:xf ：(Ax)eX.(AX "LLdxcy二 f i A A 人 f=右邊1. 求無(wú)限長(zhǎng)直線電流的矢量位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B2. 解直線電流元產(chǎn)生的矢量位為dA 二 ezJ01 dz' 4- r2 (z-z')21"積分得28dz'魁乎r2 (二z')212= e-0-l n (z' z)('4 二2z)I 一2 I 一-2#1l 、22 J2e j0r (2_z) (2_z)

28、 r ，z . ln-(2 z) (2 z)2 r212)當(dāng)I r，A r '.附加一個(gè)常數(shù)矢量C則A=g衛(wèi)in丄nf =4c. r z 4二則由B二'、1.圖示極板面積為S間距為d的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入一塊面積為S厚度為a、介電常數(shù)為；的介質(zhì)板。設(shè)左右兩極板上的電荷量分別為Q與-Q。若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求(1)此電容器內(nèi)電位移與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布;(2)電容器的電容及儲(chǔ)存的靜電能量。2解 1)D22) CiEi(d -a)d -aC2U2E2aaXo30C1C2G c2s縮0；0a；(d -a)1 Q22C1 ；0a；(d - a)2 S?.：0Q231#1. 在自

29、由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為E =ax 1O，e'20 z ay 10，e"2）（v/m）求（1）平面波的傳播方向；（2）頻率；（3）波的極化方式；（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度；（5）電磁波的平均坡印廷矢量Sav。2. 解（1）平面波的傳播方向?yàn)?z方向（2）頻率為c9=k03 109Hz2 二（3） 波的極化方式因?yàn)镋xm二Eym =10： ;x - ;:y =0，故為左旋圓極化.2 2（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度H 打；0aZ E豪乂仗 j#z ay10，）eR二丄嗟104 -jax104）e-j20z0（5）平均功率坡印廷矢量avSav =*ReE H*町 Re(ax10,百10%2小

30、(ayio - jax10-)ej20_z0=1業(yè)業(yè)減200118 ,2 ioaz2 120 二=0.265 10°az(W/m2)1. 利用直角坐標(biāo)，證明可（fA）=仰A + Af2. 證明左邊八（fA） j（fAxeX fAyeyfAzez）JfAxWx . ；：(fAy)ey：(fAz)ez:x: y: z=f衛(wèi)蟲 A ：:(f)exfd! A ：:(個(gè).、xy .、x: x；y:yf . AjfA厶L認(rèn)）$（AX fZ:z=fx x f釵cyAy血Ay些:y:y二 f i A A i f=右邊1. 1求矢量A = &x &x2 gZy2z沿xy平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)

31、為2的正方形回路的線積分，此正方形的兩 邊分別與x軸和y軸相重合。再求' A對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。2. 解2222 AJd I = Jxd x _ Jxd x + J22 d y _ J0d y = 8C 0000又所以故有ezVx A =exxsXAXV0 ALd=ex2yz+ e z2x cz2y z2 2二(ex2yz ez2x)Lez d xd y = 8l =8Ad SS1.同軸線內(nèi)外半徑分別為a和b，填充的介質(zhì) -0，具有漏電現(xiàn)象，同軸線外加電壓U，求(1) 漏電介質(zhì)內(nèi)的；(2) 漏電介質(zhì)內(nèi)的E、J ；(3) 單位長(zhǎng)度上的漏電電導(dǎo)2解(1)電位所滿足的

32、拉普拉斯方程為12"r dr dr(r)珂乂lnblnb ra電場(chǎng)強(qiáng)度變量為E(r) - -gdr由邊界條件r =a,即=U ;r七，' =0所得解為d ： _ U eb_ V ，r in a則漏電媒質(zhì)的電流密度為J E(r)二Jerlnba學(xué)U 2曲U (3)單位長(zhǎng)度的漏電流為|0 =2二.b . b r ln ln a aI2ttV單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為G°=.匕二土Ulnba1. 如圖 所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線中載有電流i=lmcoscot， 矩形 導(dǎo)線框位于其近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導(dǎo)線框中的 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。2. 解載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小為%i2 二r穿過線

33、框的磁通Joibdr%bl m cos tIn* = f B.dS線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)d*s = _ dtJ0blm sinc aIn2 二c參考方向?yàn)轫槙r(shí)針方向1.空氣中傳播的均勻平面波電場(chǎng)為E =e,Ee jkr，已知電磁波沿z軸傳播，頻率為f。求(i)磁 場(chǎng) H ； (2)波長(zhǎng);(3)能流密度S和平均能流密度Sav(4)能量密度W 2解胃七exE°e*叫店冷1.平行板電容器的長(zhǎng)、寬分別為a和b，極板間距離為d。電容器的一半厚度(oLd/2)用介電常數(shù)為 的電介質(zhì)填充，(1) 板上外加電壓u0，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) 若已知板上的自由電荷總量為q，求此時(shí)極板間電壓

34、和束縛電荷;(3)求電容器的電容量2. (1)設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)為E =ezE，空氣中的電場(chǎng)為E° = ezEo。由D二D。，有E =伍又由于由以上兩式解得匚2；°Uo（名 +®）d2；U。Eo 二（E + Bg）d故下極板的自由電荷面密度為c下E = -2 ；o Uo（名+名o）d上極板的自由電荷面密度為匚上二 _ oEo 二:0 ：0dG + So）d電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度P 二（。）E_ez2：（dUo（"S）d故下表面上的束縛電荷面密度為yLp = 2；o（； - ；o）UoC p）d上表面上的束縛電荷面密度為_=2 o Uab（；°）d得到U

35、 一（；o）dQ2密ab36（呂go ）Q；-p 下二-sab（3）電容器的電容為Q2；0；abU (：亠？.0)d1.頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（z ）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為丫 = 4、.!_r = 1，=0。設(shè)電場(chǎng)沿x方向，即E=exEx ;當(dāng)t=0，z= m時(shí)，電場(chǎng)等8于其振幅值10鼻V/m。試求iI（1）H（z,t）和E（z,t）；（2）波的傳播速度；（3）平均波印廷矢量。2.解以余弦形式寫出電場(chǎng)強(qiáng)度表示式E（乙 t） =&Ex（z,t）Em cos（ t -kz、XE）把數(shù)據(jù)代入Em =10°V/m4 兀k2：；= f ：74

36、 丄0 p rad / mxE4兀 1兀二 kzrad3 86E(z,t)電10，述(2二 108y -)V/m104 cos(2 108tH (Z't) = &H y = gy二gy1莎10仏(2 二108t4-jiz gA/m338（2）波的傳播速度1 13 1082=1.5 108m/s#（3）平均坡印廷矢量為Sav =1 ReE H*260 二Re/10')2260 二#2W/m1. 在由r =5、z=0和z = 4圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量A = ej +e Z2z驗(yàn)證散度定理。2. 解在圓柱坐標(biāo)系中' |_A=1 (rr2) 厶(2z)=3r 2 r

37、deaz所以42兀 5d .二 dz d (3r 2)rdr =1200：T000JALdS =(ej2 + ez2z)_(d S+ e©dS© + ez dSz)4 2 二5 2 二=52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有JLJa d =1200 兀= HAd sTS1.求（1）矢量ex eyx y ez24x y z的散度；（2）求' LA對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的 積分；（3）求A對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。故有廿=r(x2) . r(x2y2) . r(24x2y2z3) dxdycz；la對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積

38、分為=2x 2x2y 72x2y2z21 2 1 2 1 22 2 2 2 1二(2 x 2x y 72x y z )d xd y dz 二J 2 J 2 J 224(3) A對(duì)此立方體表面的積分lAd s12 12 12121 2 ' -1 2=f J Q-) dydz- J J (-) dydz1 2 J 2 2J 2 J 212122 I 22x ( ) dxdz-J 2 J 2212 12'(f_J 2 J 22x2(-)2dxdz212 12亠 i 1 24x2y2(l)3 d xdyJ 2 J 2212 1211 24x2y2( )3d xdy-j 2 j 2224

39、1i_A dAdT24 s1計(jì)算矢量r對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求；LT對(duì)球體積的積分2解2n 兀r|_ds =qr_erdS = J d© Jaa2sind日=4兀a3 ss00又在球坐標(biāo)系中1 (r2r) =3r所以412 二二a：Lrd 二3r2s in ndrdnd =4. a2 21. 求矢量A =exx eyX 唧z沿xy平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分 別與x軸和y軸相重合。再求' A對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。2.2 2 2 2J Ad I = Jxd x _ Jxd x 十 J22d y _ JOd

40、 y = 8解000 0又exe yezw A =©= ex2yz + e z2xdx&22xxy z所以2 2Ad S = J J (ex2yz + ez2xez d xd y = 8S0 01. 證明量。2.解（1）'Lr 二exI =8 = 'Ad SS(1)'R =3；R= 0 ；（3p（ Ar）= A。其中 R=e xX e yy e zz，A 為一常矢ez-yy:z故有-0x42-0x#設(shè) A 二 QAxeyA y eA z-0x#AR 二 Axx Ayy Azz0L、'、(ALR尸ex(AxX Ayy A0 ey ' (A

41、xX Ayy AzZ)txcyez(Axx Ayy AzZ):z= exA< e yAy ezAz = A1.兩點(diǎn)電荷4 =8C位于z軸上z = 4處，q2=4C位于y軸上y = 4處，求(4,0,0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。2解 電荷q1在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為E i4 二；0qir - r_32 ex4 -ez4電荷q2在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為二;0 (4, 2)31 ex4 -ey4rr25 (4、,2)3故(4,0,0)處的電場(chǎng)為=Ei E 2exe、一 ez232、2 ；043#F m12Slil22二 dF m21-一 F m12 = e12"oh1 22二 d1

42、. 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q ,當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。2. 解球面上的電荷面密度為Q4二 a2當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量= era點(diǎn)處的電流面密度為J s = ；丁 v =；w r = '- 'e ;: er a=e a sin)- e 將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為dl =adr的細(xì)圓環(huán)，貝【J球面上任一個(gè)寬度為dl =adr細(xì)圓環(huán)的電流為d I =Jsdl Qsin d v 4n細(xì)圓環(huán)的半徑為b=asinT，圓環(huán)平面到球心的距離dacosE，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場(chǎng)公式, 則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為%b

43、2dl22、3 22(b d )L0 Qa2sin3 v d22 i ,223 28二(a sina cos 旳4聲Q sin日d日 =ez -"a故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B <kd，°8兀 a-zJ0'Q44#1.半徑為a的球體中充滿密度?(r)的體電荷，已知電位移分布為Drr3 Ar2 a5 Aa4(r 乞 a)(r - a)#其中A為常數(shù)，試求電荷密度'（r）。2解由I p = -，有1 d衛(wèi)）、Ld 二-2 （r2Dr）r dr故在r : a區(qū)域心1 d 2322： （r）二；。二r （r Ar ） = ；o（5r4Ar）r d r在

44、r a區(qū)域r（r）=0（a5 Aa4）2 r1. 一個(gè)半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又 另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場(chǎng)為E二er（r；a）4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。2解（1）由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為1 dJ丄E = ?。╮2E）r drf 04乎（）=6 p r dr aa45#（2）球體內(nèi)的總電量Q為a r322Q = 6 ；0 4二 r dr =4二；0aT 0 a球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-Q，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷為2

45、Q，故球殼外表面上的電荷面密度為2Q4二 a21.中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為P 二 P°（exx eyy ezz）。（1）計(jì)算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。2.解（1）+（x =2）= nLPex _P| X2 = 2 PQ同理（Z）Po6（八扣qP 二 Jpd .二pdS - -3F0L3 6L2 -L P01.一半徑為Rq的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；r P，其內(nèi)均勻分布自由電荷T ,證明中心點(diǎn)的電位為2r 147#2.解由iDJd S= q可得到： R）4二 r2D2 二4-（ r R）3即rD-i :rDi, E-（ r :：

46、R）3；r ；Q 3；rPD2 嚨,E2=2=起3 or2（r R）#故中心點(diǎn)的電位為#d2ET +dr巳qR J o-1. 一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；，球內(nèi)的極化強(qiáng)度P二eK r，其中K為一常數(shù)。（1）計(jì)算 束縛電荷體密度和面密度；（2）計(jì)算自由電荷密度；（3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場(chǎng)和電位分布。2解 （1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為丄£（上）八$r dr r r在r=R的球面上，束縛電荷面密度為二 p =nLP £ = er_P r=RR(2)由于D = oE P，所以'、|_d二八 _E、p 二Pz即（1d）l|_D J'LPz由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自

47、由電荷體密度為- =D48#總的自由電荷量=;?d =4二；RK#（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為(r < R)（r R）q;RK2 & 4二;°r2 ' ；°（ ； _ ；。）介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為R:E|_dl 二 Edr E2drrrR；RKr （； - ；0）rdrR ；0（； -；°）rdr亠nE -0r o（-o）（r訃）0=E2dr =r 名RKr ；0（； - p）r2dr；RK；0（ ； - ；o）r（r -R）49#1如圖所示為一長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無(wú)限長(zhǎng)，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零,# :（0y

48、 > : a（ y =） 0 （x, 0> 0 （x,b）=L0根據(jù)條件和，電位（x, y的通解應(yīng)取為（x, y）八 AsinhC y）sin（耳 x）n =iaa由條件，有宇nbn兀xU° 二Ans in h（）si n（ ）n #aa兩邊同乘以sin（n二x.a），并從0到a對(duì)x積分，得到aXasinh7nba）osin（?。┤?Uo2Uo（1 cos nn） n二sinh（ n二b a）f 4Uo.,n =1,3,5，川二 n二sinh（nba）0，n =2,4,6,|1|故得到槽內(nèi)的電位分布O,y）Q '71 n 4,3,5,jpnsinh（ba）Sinh

49、（T）Sin（T）1. 兩平行無(wú)限大導(dǎo)體平面，距離為b，其間有一極薄的導(dǎo)體片由y二d到y(tǒng)二b (：:： Z :：二)。上板和 薄片保持電位u0，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從y = 0到y(tǒng)二d，電位線性變 化，(0, y =U 0y ,d。11yu。b:T。丄74.22. 解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為(x, y) V(x, y) 2(x, y)其中，1 (x, y)為不存在薄片的平行無(wú)限大導(dǎo)體平面間(電壓為U 0)的電位，即，1(x, y)二Uoy.b ；2(x, y)是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為 ：2(x,0) = 2(x, b) =0 2(x,y)二 0 (x)U°y-U°y(0gd) ；(0,y)八(0,y)1(0,y) =bI U 0u。- y (d 2 y 二 b)L b根據(jù)條件和，可設(shè)2(x, y)的通解為:n：；.,；(x,y