第5章誤差理論

1、491492一、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因493494495 鋼尺尺長(zhǎng)誤差 Dk 鋼尺檢定,尺長(zhǎng) 鋼尺溫度誤差 Dt 鋼尺檢定,溫度 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差 i 中間法水準(zhǔn),前后視等距 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差 C 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱(chēng)為“偶然誤差”，是由許多無(wú)法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無(wú)常變化,以及環(huán)境的干擾等)。 偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。 偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤(pán)讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀

2、測(cè)。496（四）誤差處理原則497系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 找出發(fā)生規(guī)律，用觀測(cè)方法和 加改正值等方法抵消。iilX 498l1, l2, ln1,2,n分析結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。499 4910誤差區(qū)間 d 負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.

3、059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810004911d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0limlimn21nnnn特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實(shí)用意義。具有實(shí)用意義。偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n n無(wú)限增多無(wú)限增多(n(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無(wú)限

4、縮小無(wú)限縮小( (d d 0)0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱(chēng)為這條曲線稱(chēng)為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱(chēng)為，又稱(chēng)為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖491322221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中參數(shù)稱(chēng)為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方 2 稱(chēng)為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：4914nnm2n2221按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差4915m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1

5、m1m2m212m1m2+-22 114916二、相對(duì)中誤差 誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。 用于表示距離距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。 K2K1，所以距離所以距離S2精度較高精度較高。例例2 2：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。計(jì)算計(jì)算S S1 1、S S2 2的相對(duì)誤差。的相對(duì)誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：

6、根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：demdfPm22221)()(誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱(chēng)為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|4919一、算術(shù)平均值nlnlllnlniixn211x 算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來(lái)證明：證明算術(shù)平均值是最或然

7、值nn2211lXlXlX4920Xlim0limnlnnnnlXn根據(jù)偶然誤差特性：Xnlx將上列等式相加，并除以n,得到：二、觀測(cè)值的改正值最或然值與觀測(cè)值之差稱(chēng)為“觀測(cè)值的改正值”(簡(jiǎn)稱(chēng)改正值) v :4921n)1(ilxvii0lxnvvimin)(2lxvvnlxlx, 0)(取改正值總和：說(shuō)明：一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，各個(gè)觀測(cè)值的改正值之和恒等于零，此可以作為計(jì)算的檢核。0)(2lxxdxvvd5-4 觀測(cè)值的精度評(píng)定49221112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,兩式取總和1nvvn1nvvm4923nllx01nvvm4924 次序觀測(cè)值l(m)l(cm)改正值

8、v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017 (m)觀測(cè)值中誤差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,進(jìn)行n次觀測(cè)，則計(jì)算觀測(cè)值的真誤差與中誤差。4925iilX nmilxivnlolx1nvvm真誤差：解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正

9、數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計(jì)計(jì) 算其中誤差：算其中誤差：例：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VV V備注17642492764240376424247642465764248平均98315601 .nVVm-4-4+5+5+3+3-1-1-3-3764245V=0161625259 91 19 9VV=60距離丈量精度計(jì)算例算例算例2：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測(cè)值的中誤差觀測(cè)值的中誤差 ；xxm 5-5 誤差傳播定律4928n21dddD

10、.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4929 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPbaaPddbdbaa bP4930)1(,Piniabbiai nabnanbnbabbaaPP222, 0limnbannanbnbbaaPP22222222222,baPbaPmambmmambm49312222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4932iikxZnnxkxkxkZ 2211按照誤差傳播定律，得到線性函數(shù)的中誤差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnm

11、nm 4933)1(nnvvnmmx對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè)多余觀測(cè))取平均，取平均， 是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。nkxZ xkmzm4934m1.0)mm2.0(500m35.67mm7.134500DmD0m1 . 0m35.67D4935yxzyxz222yxzmmm大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向22222大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向mmmmmm第一步：寫(xiě)出包含各個(gè)自變量(獨(dú)立觀測(cè)值)的函數(shù)式第二步：寫(xiě)出全微分式(計(jì)算對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù))第三步：按誤差傳播定律寫(xiě)出中誤差關(guān)系式注意：誤差傳播定律只適用于將各個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值作 為自變量

12、。如果觀測(cè)值之間是相關(guān)的，則得到 的結(jié)果將是不嚴(yán)格的。4936),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 函數(shù)式：函數(shù)中誤差：觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX5-6 誤差傳播定律的應(yīng)用493822220NnfCNSffSnnSnfCSdd

13、d4d0493922222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS49405 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多邊形水平角觀測(cè)角度閉合差的規(guī)定 多邊形內(nèi)角(水平角)之和在理論上應(yīng)為(n-2)180,由于水平角觀測(cè)中的偶然誤差，產(chǎn)生角度閉合差：4941180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大閉合差m15 ，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？ 12

14、3=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個(gè)角的測(cè)角中誤差：3 . 435 . 7m測(cè)回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm4943mm4 . 12 mmhmm22hhmm4944)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04945Lmmoh水準(zhǔn)測(cè)量等級(jí) 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4946s

15、in,cosDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4947222222222222)(sin)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49482iimCP ioiioiPmmmmP1,224949nPnmmnn測(cè)回）測(cè)回()(, 又例如水準(zhǔn)測(cè)量以一公里的高程測(cè)量中誤差mo作為單位權(quán)中誤差，則L(km)高差測(cè)量中誤差及其權(quán)為：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(4950212211ppLpppLpLpLpxnnnPLPLxo4951nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,PPPmmxox495222ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式總和，并處以n，得到:nPmmnPmmo22nPmo1nPvvmo4953組號(hào)測(cè)回?cái)?shù)各組平均值 LL權(quán) P PL改正值 V Pv12324640241240241840242412182