數(shù)學物理方法第九章課件1

1、蔣耿明蔣耿明 工工 程程 數(shù)數(shù) 學學Engineering Mathematics復旦大學通信科學與工程系光華樓東主樓1108室 Tel.: 65100226 E-mail: 2021-11-2521.1.行波法；行波法； 2.2.分離變量法；分離變量法；3.3.冪級數(shù)解法；冪級數(shù)解法； 4.4.格林函數(shù)法；格林函數(shù)法； 5.5.積分變換法；積分變換法； 6.6.保角變換法；保角變換法； 7.7.變分法；變分法； 8.8.數(shù)值計算法數(shù)值計算法2021-11-253 (達朗貝爾公式達朗貝爾公式)22222xuatu0TFa ),(),(2txuatxuxxt t)(),(),(),(00 xtx

2、uxtxuttt2021-11-254 (達朗貝爾公式達朗貝爾公式)(xatxat)()(),(21atxfatxftxu行波法行波法: 把定解問題的解表示為把定解問題的解表示為 左、右行進波相疊加左、右行進波相疊加的方法的方法2021-11-255)()(),(21atxfatxftxutTatxX)()(22Xfatxf2021-11-256)(),(),(),(00 xtxuxtxuttt)()(),(21atxfatxftxu1212( )( )( )( )( )( )fxfxxa fxa fxx012121020( )( )( )1( )( )( )()()xxfxfxxfxfxdf

3、xfxa 2021-11-257(D. Alembert)xxxxxfxfdaxxfxfxfdaxxf00)()(21)(21)(21)()()(21)(21)(21)(0201202011atxatxdaatxatxatxfatxftxu)(21)()(21)()(),(212021-11-2580)(),(),(),(00 xtxuxtxuttt212211220211121002,22,2)(xxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux或， 0u0 x x1x22021-11-259)()(21),(atxatxtxu 0u0 x x1x2 x x1x2t=0 x x1x2t1 x x

4、1x2t2 x x1x2t3 x x1x2t42021-11-2510),(),(2txuatxuxxt t0),(, 0),(0lxxtxutxu00( , )( , )( ),( )ttu x tu x txxt2021-11-2511OtT/21212( , )cos(),( , )cos()2cos()cos()u x tAtkx ux tAtkxuuuAtkx2021-11-2512)()(),(tTxXtxu),(),(2txuatxuxxt tXTaTX 2TaTXX2 TaTXX22021-11-25130)()( xXxX0)()(2 tTatT0)(0)0(0)()(0)(

5、)0(0),(,0),(0lXXtTlXtTXtxutxulxx，00( , )( , )( ),( )( )(0)( ),( )(0)( )ttu x tu x txxtX x TxX x Tx2021-11-2514 0)(0)0(0)()(lXXxXxX，2( )( )0()(0)(),()(0)()TtaT tXx TxXx Tx2021-11-2515 0)(0)0(0)()(lXXxXxX，211)()(0)(CxCxXCxXxX 00)(0)0(21212CCClClXCX2021-11-25162021-11-2517 矩陣特征值矩陣特征值定義：定義： 設設 A是是 n 階方陣

6、，如果數(shù)階方陣，如果數(shù) 和和 n 維非零列向量維非零列向量 x 使關系式使關系式 成立，那么，這樣的數(shù)成立，那么，這樣的數(shù) 稱為方陣稱為方陣A 的特征值的特征值 ，非，非零向量零向量 x 稱為稱為A 的對應于特征值的對應于特征值 的特征向量。的特征向量。 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)A對于某些輸入對于某些輸入x，其輸出，其輸出y 恰巧是輸入恰巧是輸入x的的 倍，即倍，即 y= x ；對某些輸入，其輸出與輸入就；對某些輸入，其輸出與輸入就不存在這種按比例放大的關系。不存在這種按比例放大的關系。 所以，給定一個線性系統(tǒng)所以，給定一個線性系統(tǒng)A，到底對哪些輸入，能，到底對哪些輸入，能使其輸出按比例放大，放大倍數(shù)

7、等于多少？這顯然使其輸出按比例放大，放大倍數(shù)等于多少？這顯然是控制論中感興趣的問題是控制論中感興趣的問題 = x2021-11-2518 4312A31xxAxy531515531431252xxAxy2695243122021-11-2519 (Eigenvalue) ; (Eigenfunction) 2021-11-25200ypyqy二階常系數(shù)微分方程二階常系數(shù)微分方程：特征方程特征方程：20rprq根的三種情況根的三種情況：1212rrrrrri12121212(cossin)r xr xrxrxxyC eC eyC eC xeyeCxCx常系數(shù)微分常系數(shù)微分方程的通解方程的通解：2

8、021-11-2521 0)(0)0(0)()(lXXxXxX，212rrr，xxeCeCxX21)(00)(0)0(212121CCeCeClXCCXll2021-11-2522 0)(0)0(0)()(lXXxXxX，irirr212，0sin)(0)0(21lClXCXxCxCxXsincos)(212021-11-2523120,()sin0nCnlnllxCxCxXsincos)(21321sin)(2， nlxnCxXn2021-11-25240)()(2 tTatT2)(lnn0)()()(22 tTlnatT( )cossinnnnnanaT tAtBtll2021-11-25

9、25(, )()( )sincossinnnnnnux tXx TtnnanaxAtBtlllco s()co sco ssinsinnnnnnnn aCtln an aCtCtllnnnnnnBCACsin;cos令：2021-11-2526(, )sincos()nnnnnaux tCxtll , 2021-11-2527000（n=1）（n=2）（n=3）2021-11-252811( , )( , )sincossinnnnnnu x tux tnnanaxAtBtlll00( , )( , )( ),( )ttu x tu x txxt2021-11-252911( ,0)sin( )( ,0)sin( )nn