ch定積分的概念實(shí)用實(shí)用教案

1、一、定積分問(wèn)題一、定積分問(wèn)題(wnt)(wnt)舉例舉例1. 曲邊梯形曲邊梯形(txng)的面積的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)(linx)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 ,求其面積 A .矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bahabxyo? A)(xfy 第1頁(yè)/共22頁(yè)第一頁(yè)，共23頁(yè)。abxyoabxyo用矩形(jxng)面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近(jijn)曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形(jxng)）（九個(gè)小矩形）第2頁(yè)/共22頁(yè)第二頁(yè)，共23頁(yè)。1xix1ixxaNoImageyo解決解決(jiju)步步驟驟 :1) 大化大化(d h

2、u)小小.在區(qū)間 a , b 中任意(rny)插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii第3頁(yè)/共22頁(yè)第三頁(yè)，共23頁(yè)。3) 近似近似(jn s)和和.niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限(jxin).令, max1inix則曲邊梯形(txng)面積niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi第

3、4頁(yè)/共22頁(yè)第四頁(yè)，共23頁(yè)。abxo二、定積分二、定積分(jfn)定定義義,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對(duì),ba任一種(y zhn)分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時(shí)只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定(qudng)的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作第5頁(yè)/共22頁(yè)第五頁(yè)，共23頁(yè)。baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積

4、分和稱為積分區(qū)間,ba第6頁(yè)/共22頁(yè)第六頁(yè)，共23頁(yè)。定積分(jfn)僅與被積函數(shù)及積分(jfn)區(qū)間有關(guān) ,而與積分(jfn)變量用什么字母(zm)表示無(wú)關(guān) ,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 可積的充分條件:.,)(可積在baxf第7頁(yè)/共22頁(yè)第七頁(yè)，共23頁(yè)。定積分定積分(jfn)的幾何意的幾何意義義:Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形(txng)面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積(min j)的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321

5、d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和A第8頁(yè)/共22頁(yè)第八頁(yè)，共23頁(yè)。o1 xyni例例1. 利用定義利用定義(dngy)計(jì)算計(jì)算定積分定積分.d102xx解解:將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(則32ni第9頁(yè)/共22頁(yè)第九頁(yè)，共23頁(yè)。o1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 第10頁(yè)/共22頁(yè)第十頁(yè)，共23頁(yè)。注注 利用利用(lyng),133)

6、1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端(lin dun)分別相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n第11頁(yè)/共22頁(yè)第十一頁(yè)，共23頁(yè)。三、定積分三、定積分(jfn)的性質(zhì)的性質(zhì)(設(shè)所列定積分(jfn)都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù)(chngsh)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(

7、. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab第12頁(yè)/共22頁(yè)第十二頁(yè)，共23頁(yè)。bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當(dāng)bca時(shí),因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時(shí), 可以(ky)永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) ,于是(ysh),)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(第13頁(yè)/共22頁(yè)第十三頁(yè)，共23頁(yè)。abc當(dāng)當(dāng) a , b , c 的相對(duì)的相對(duì)(xingdu)位置位置任意時(shí)任意時(shí), 例如例如,cba則有caxxfd)(baxx

8、fd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(第14頁(yè)/共22頁(yè)第十四頁(yè)，共23頁(yè)。6. 若在若在 a , b 上上0)(1iinixf則.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論(tuln)1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(第15頁(yè)/共22頁(yè)第十五頁(yè)，共23頁(yè)。推論推論(tuln)2.xxfbad)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)

9、(第16頁(yè)/共22頁(yè)第十六頁(yè)，共23頁(yè)。7. 設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba則)(d)()(abMxxfabmba)(ba 第17頁(yè)/共22頁(yè)第十七頁(yè)，共23頁(yè)。例例3.3.不計(jì)算定積分的值，比較21100 xxe dxe dx與的大小.解：由于在積分解：由于在積分(jfn)(jfn)區(qū)間區(qū)間0,10,1上，上，2,xx所以(suy)在0,1上，2,xxee又定積分的性質(zhì)6的推論(tuln)1可知21100.xxe dxe dx第18頁(yè)/共22頁(yè)第十八頁(yè)，共23頁(yè)。8. 積分積分(jfn)中值定理中值定理, ,)(baCxf若則至少存在(cnzi)一點(diǎn), ,ba使)(d)

10、(abfxxfba證證:,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)(xngzh)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點(diǎn)使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.第19頁(yè)/共22頁(yè)第十九頁(yè)，共23頁(yè)。oxbay)(xfy 說(shuō)明說(shuō)明(shumng):.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限(yuxin)個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣. 積分(jfn)中值定理對(duì)abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn第20頁(yè)/共22頁(yè)第二十頁(yè)，共23頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 定積分(jfn)的定義 乘積(chngj)和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算第21頁(yè)/共22頁(yè)第二十一頁(yè)，共23頁(yè)。感謝您的欣賞(xnshng)！第22頁(yè)/共22頁(yè)第二十二頁(yè)，共23頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、定積分問(wèn)題(wnt)舉例。求其面積 A .。用矩形面積近似取代曲邊梯形面積。顯然，小矩形越多，