離散傅立葉變換(本科)ppt課件

1、n了解序列的抽取與插值過程 時間函數(shù) 頻率函數(shù)u延續(xù)時間、延續(xù)頻率傅里葉變換u延續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)u離散時間、延續(xù)頻率序列的傅里葉變換u離散時間、離散頻率離散傅里葉變換u傅里葉變換 總結(jié)時域延續(xù)函數(shù)呵斥頻域是非周期的譜，而時域的非周期呵斥頻域是延續(xù)的譜密度函數(shù)。()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed000/20/201()( )TjktTX jkx t edtT00( )()jktkx tX jke0022TF()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eednTjnTjenTxeX)()(:正ssfT222/2/)(1)(:

2、ssdeeXnTxTjnTjs反時域信號頻域信號離散的非周期的周期的延續(xù)的TTs2,*頻域的周期為時域抽樣間隔為210( )( )NjnkNnX kx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN002/2/:10,2:10:)(1)()()(ddNkFkkNndeeXnTxenTxeXssTjnTjsnTjnTj從DFT的簡單推演(從序列的延續(xù)變換) 在一個周期內(nèi)，可進展如下變換：1022102200010010)(1)()()(222)()()()(0000NknkNjkNjNnnkNjkNjsNkTjnkTjksNnTjnkTjkeeXNnTxenTxeXNTTTeeXnTx

3、enTxeX因此又 )()(2kNjeXnTx視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，)()()()(2kXeXnxnTxkNj這樣,102102)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXNnxenxkX正反( )() x nx nrNrN周期序列：為任意整數(shù) 為周期000 ( )() ( )( )aajktakx tx tkTTx tA k e連續(xù)周期函數(shù)：為周期0002 /jktTke 基頻：次諧波分量：0 ( )( )jknkNx nA k e為周期的周期序列：002 /jknNke基頻：次諧波分量：周期序列的DFS正變換和反變換：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX

4、kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中：( )6x nDFS例：已知序列是周期為 的周期序列， 如圖所示，試求其的系數(shù)。10( )( )NnkNnX kx n W解：根據(jù)定義求解 560( )nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj4( )( ), ( )8( )( )x nR nx nNx nx nDFS例：已知序列將以為周期 進行周

5、期延拓成，求的。解法一：數(shù)值解10( )( )NnkNnX kx n W780( )nknx n W222238881jkjkjkeee 380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj 210( )NjknNnX kDFS x nx n e解法二：公式解 2780jknnx n e340jknne222888jkjkjkjkjkjkeeeeee44411jkjkee38sin2sin8jkkek X kz與 變換的關(guān)系： 010 x nnNx nn令其它 x nz對作 變換: 10NnnnnX zx n zx n z 21

6、0jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是對 的一個周期 做 變換然后將 變換在 平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到 X k x n x nzz2Nz其中， 為恣意常數(shù), a b11( )( )X kDFS x n22( )( )XkDFS x n假設(shè)1212( )( )( )( )DFS ax nbx naX kbXk那么2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W證：1()( )Nmk i mNi mx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k( )()nlNDFS

7、 W x nX kl10( )( )NlnlnnkNNNnDFS W x nW x n W證：1()0( )Nl k nNnx n W()X kl1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk假設(shè)1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm那么12( )( )( )y nIDFS X kXk證： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()12001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm142512( )(

8、 ) ( )(1)( )6( )( )x nR nx nnR nx nx n例：已知序列，分別將序列以周期為 周期延拓成周期序列和，求兩個周期序列的周期卷積和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nmn m1/x n m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m( )y n11201( )()NlX l XklN12101( )()NlXl X klN12( )( )( )y nx n x n假設(shè)10( ) ( )( )NnkNnY kDFS y ny n W那么( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n R

9、n ( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列( )( )Nx nNx n長度為 的有限長序列周期為 的周期序列( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓10( ) ( )( ) 01NnkNnX kDFT x nx n WkN101( )( )( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN2jNNWe其中：10( )( )( )( )( )NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或 101( )( )( )( )( )NnkNNNkx nX k WRnx n RnNDFTz與序列的DTFT和 變換

10、的關(guān)系：10( )( )NnnX zx n z10( )( )NnkNnX kx n W10()( )Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的DTFT在區(qū)間0，2上的N點等間隔抽樣。2( )jkkNNz WeX z4( )( ),( )816DFTx nR nx n例：已知序列求的 點和點。 DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeeeee32sin 2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 點 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8jkkek 16 16x

11、nDFTN 求的點 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek10( ) ( )( )( )NnkNNnX kDFT x nx n WRk101( )( )( )( )NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中： , a b為任意常數(shù)這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N假設(shè)不等，分別為N1，N2，那么需補零使兩序列長度相等，均為N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n假設(shè)1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk那么

12、( )()( )mNNxnx nmRn 定義：( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn證： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX k2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk證：

13、()( )NIDFS X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x n RnW x n21( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()( )2NNNIDFTXklXklRkj證：1( )( )2nlnlNNWx nW x nj22( )2jnljnlNNeex nj2( )sinnlx nN序列的Fourier變換的對稱性質(zhì)中提到：( )( )( )eox nx nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nx

14、n 其中：恣意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共軛反對稱分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共軛對稱分量：( )( )( )eox nx nx n恣意周期序列：( )( )( )epopx nxnxn那么恣意有限長序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnR

15、n圓周共軛反對稱序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圓周共軛對稱序列：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn實部圓周偶對稱 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虛部圓周奇對稱 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圓周偶對稱arg( )arg()( )epepNNxnxNnRn 幅角圓周奇對稱 *( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 實部圓周奇對稱 Im( )Im()( )opopNNxnxN

16、nRn虛部圓周偶對稱 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圓周偶對稱 幅角沒有對稱性*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk同理：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中： 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re

17、( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用兩序列構(gòu)成一個復(fù)序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw

18、 nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj( )2DFT ( )2DFT: ( )x nNNx nNX k例：設(shè)是點實數(shù)序列，試用一次 點來計算的點( )x n解：將按奇偶分組，令12( )(2 ) 0,1,.,1( )(21) 0,1,.,1x nxnnNx nxnnN12 ( )( )( )w nx njxn構(gòu)成一個復(fù)序列12( )DFT( ) ( )( )( )w nNW kDFT w nX kjXk對進行一次 點運算 得

19、12( )( )1( )( )epopX kWkXkWkjDFTN均為 點( )2DFTX kN而是點?*( )()( )()( )NNNNDFT x nXkRkXNkRk1*0( )( )( )NnkNNnDFT x nx n WRk證：*10( )( )NnkNNnx n WRk*()( )NNXkRk*1()0( )( )NN k nNNnx n WRk*()( )NNXNkRk *NNDFT xnRnXk1*0()( )()( )NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W證：*10()NnkNNnxnW*10( )NmkNNmx mW *10NnkNNnxnW*( )Xkmn 令

20、*10NnkNnx n W11*001( )( )( )( )NNnkx n y nX k YkN*111*0001( )( )( )( )NNNnkNnnkx n y nx nY k WN證： 11*001( )( )NNnkNknYkx n WN1*01( )( )NkX k YkN11*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k XkN1122001( )( )NNnkx nX kN即： ( )( )y nx n令，則1210( )() ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk假設(shè)1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT

21、 Y kx m xnmRn那么12( )( )x nx nN設(shè)和都是點數(shù)為 的有限長序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分別為、點，則取，對序列補零使其為 點）11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk12( )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k證：由周期卷積和，若， 則 1120( )()Nmx m x nm1120( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm12( )( )x nx nN1120( )( )()

22、 ( )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圓周卷積和1524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求兩個序列的6點圓周卷積和。n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm( )y n11201( )() ( )NNNlX l XklRkN12101( )() ( )NNNlXl XklRkN12( )( )( )y nx nx n假設(shè)10( ) ( )( )N

23、nkNnY kDFT y ny n W那么1122( )01 ( )01x nnNx nnN設(shè)：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()( )*( )Nmx m x nmx nx n線性卷積：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN點圓周卷積：NN1120( )()( )NNmrx mx nrNm Rn1120( )()( )NNrmx m x nrNm Rn()(

24、)lNry nrN Rn對x1(n)和x2(n)補零，使其長度均為N點；222( )( )()Nrx nxnx nrN對x2(n)周期延拓：1120( )( )() ( )NcNNmy nx m xnmRn圓周卷積：121NNNN即 當圓周卷積長度時， 點圓周卷積能代表線性卷積12( )1ly nNN而的長度為( )( )NclNy ny n點圓周卷積是線性卷積以 為周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有當時，以 為周期進行周期延拓才無混疊現(xiàn)象N1212( ) ( )( )*( )x nx nx nx n1212102NNNnNN( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm補N-N1個零x(n)N點DFT補N-N2個零h(n)N點DFTN點IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT