基本概念與可分離課件

1、基本概念與可分離常微分方程初步 第八章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 基本概念與可分離引例引例1. 一曲線通過點(diǎn)一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù)為任意常數(shù))由由 得得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為21xy由由 得得切線斜率為切線斜率為 2x , 求該曲線的方程求該曲線的方程 . 微分方程的基本概念 第一節(jié)基本概念與可

2、分離一一般般地地，含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的方方程程稱稱為為微微分分方方程程未未知知函函數(shù)數(shù)是是一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微常常分分方方程程稱稱為為 微微分分方方程程2dyxdx , 2sin ,dyxyx yxdxy 等都是常微分方程等都是常微分方程. 222222220,4uuuuuxyzxy 等都是偏微分方程等都是偏微分方程.未未知知函函數(shù)數(shù)是是 元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分方方程程稱稱為為多多偏偏微微分分方方程程或或20yx 基本概念與可分離一一般般地地，含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的方方程程稱稱為為微微分分方方程程未未知知函函數(shù)數(shù)是是一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微常常分分方方程程稱

3、稱為為 微微分分方方程程未未知知函函數(shù)數(shù)是是 元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分方方程程稱稱為為多多偏偏微微分分方方程程22yx 22dyxdx 22yyx 2222d ydyxdxdx 一一階階微微分分方方程程二二階階微微分分方方程程微微分分方方程程中中未未知知函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的最最高高階階數(shù)數(shù)稱稱為為該該微微分分方方程程的的階階基本概念與可分離若若微微分分方方程程是是及及其其的的一一次次方方程程，稱稱此此微微分分未未知知函函數(shù)數(shù)各各階階方方程程是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)線線性性的的，非非否否則則稱稱為為 線線性性的的. .線線性性微微分分方方程程222,220,dyx yyyx ydx 非非線線性性微微分分方方

4、程程22,20,dyxyyyydx ( )(1)(2)01211( )( )( )( )( )( )0nnnnnnax ya x yax yax yax yax n階線性微分方程的一般式階線性微分方程的一般式:基本概念與可分離2122.20 xxyc ec eyyy 驗(yàn)證是二階微分方程 驗(yàn)證是二階微分方程 例例的解.的解. 使方程成為恒等式的函數(shù)使方程成為恒等式的函數(shù). .微分方程的微分方程的解解 通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的階數(shù)相同. .特解特解 不含任意常數(shù)的解不含任意常數(shù)的解22xxyee 通解通解:特解特解:212xxyc

5、ec e xxy2dd21xy引例1 初始條件初始條件 確定常數(shù)的條件確定常數(shù)的條件基本概念與可分離例例3. 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解的解,0Axt00ddttx的特解的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2這說明這說明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解

6、故它是方程的通解.并求滿足初始條件并求滿足初始條件 基本概念與可分離例例4.求下列初值問題的解求下列初值問題的解22()(0)10, (0)5d sg gdtss 為常數(shù)為常數(shù)基本概念與可分離轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 可分離變量方程可分離變量方程 ( )( )dyf x g ydx1( )( ( )0)( )dyf x dxg yg y分離變量方程的解法分離變量方程的解法: :兩邊積分兩邊積分, 得得 1d( )yg yxxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF則有則有基本概念與可分離yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得2d3d(0)yxxyy兩邊積分兩邊積分xx

7、yyd3d2得得13lnCxy即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為非零常數(shù)為非零常數(shù) )y = 0也是方程的解也是方程的解,故通解為故通解為( C 為任意常數(shù) )3xeCy 例例1. 求微分方求微分方程程基本概念與可分離練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解解: 分離變量分離變量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )注注: 微分方程的解可以是顯式微分方程的解可以是顯式,也可以是隱式也可以是隱式.基本概念與可分離例例2.解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得121lnln1yCx即即Cxy12由初始條件得由初始條件得