平面向量及其應用試題及答案

一、多選題1．正方形的邊長為，記，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．設，，是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有（）A．B．與不垂直C．D．3．在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊BC和AC上的中點，P是AE與BF的交點，則有（）A． B．C． D．4．在中，，，，則角的可能取值為（）A． B． C． D．5．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且()∥，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b方向上的投影為C．2m+n=4D．mn的最大值為26．在中，若，，，則C的值可以是（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．在中，角，，所對各邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．8．下列命題中，正確的是（）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形9．設、是兩個非零向量，則下列描述正確的有（）A．若，則存在實數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實數(shù)使得，則10．（多選）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，有無數(shù)多對C．，，，均為實數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，，使，則11．下列說法中錯誤的是()A．向量與是共線向量,則A，B，C，D四點必在一條直線上B．零向量與零向量共線C．若，則D．溫度含零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量12．已知為非零向量,則下列命題中正確的是()A．若,則與方向相同B．若,則與方向相反C．若,則與有相等的模D．若,則與方向相同13．化簡以下各式,結(jié)果為的有()A． B．C． D．14．如果是平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中正確的是()A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量,使的實數(shù)對有無窮多個C．若向量與共線,則有且只有一個實數(shù),使得D．若存在實數(shù)使得,則15．下列命題中正確的是()A．對于實數(shù)m和向量,恒有B．對于實數(shù)和向量,恒有C．若,則有D．若,則二、平面向量及其應用選擇題16．中，，，則此三角形的外接圓半徑是（）A．4 B． C． D．17．已知非零向量與滿足且，則的形狀是（）A．三邊均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．以上均有可能18．已知所在平面內(nèi)的一點滿足，則（）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶219．在中，，，分別是角，，所對的邊，若，且，則的形狀是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形20．若為所在平面內(nèi)任意一點，且滿足，則一定為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形21．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．1622．下列說法中說法正確的有（）①零向量與任一向量平行；②若，則；③④；⑤若，則，，為一個三角形的三個頂點；⑥一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥23．設為兩個非零向量的夾角，已知對任意實數(shù)t，的最小值為1，則（）A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定24．若點是的重心，分別是，，的對邊，且.則等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°25．在中，則的值等于（）A． B． C． D．26．題目文件丟失！27．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．328．中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形29．如圖所示，設為所在平面內(nèi)的一點，并且，則與的面積之比等于（）A． B． C． D．30．如圖，在中，，，和相交于點，則向量等于（）A． B．C． D．31．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（）A．B．C．D．32．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則等于（）A． B． C． D．33．已知中，，則等于（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°34．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進50m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）A． B． C． D．35．著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設點，分別是△的外心、垂心，且為中點，則（）A． B．C． D．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、多選題1．ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運算可判斷C選項的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項的正誤.【詳解解析：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運算可判斷C選項的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項，四邊形為正方形，則，，，A選項正確；對于B選項，，則，B選項正確；對于C選項，，則，則，C選項正確；對于D選項，，，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查平面向量相關(guān)命題正誤的判斷，同時也考查了平面向量加、減法法則以及平面向量數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于中等題.2．ACD【分析】A，由平面向量數(shù)量積的運算律可判斷；B，由平面向量垂直的條件、數(shù)量積的運算律可判斷；C，由與不共線，可分兩類考慮：①若，則顯然成立；②若，由、、構(gòu)成三角形的三邊可進行判斷；D，由平解析：ACD【分析】A，由平面向量數(shù)量積的運算律可判斷；B，由平面向量垂直的條件、數(shù)量積的運算律可判斷；C，由與不共線，可分兩類考慮：①若，則顯然成立；②若，由、、構(gòu)成三角形的三邊可進行判斷；D，由平面向量的混合運算將式子進行展開即可得解.【詳解】選項A，由平面向量數(shù)量積的運算律，可知A正確；選項B，，∴與垂直，即B錯誤；選項C，∵與不共線，∴若，則顯然成立；若，由平面向量的減法法則可作出如下圖形：由三角形兩邊之差小于第三邊，可得.故C正確；選項D，，即D正確.故選：ACD【點睛】本小題主要考查向量運算，屬于中檔題.3．AC【分析】由已知結(jié)合平面知識及向量共線定理分別檢驗各選項即可.【詳解】如圖：根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，,A是正確的；因為EF是中位線，所以B是正確的；根據(jù)三角形重心解析：AC【分析】由已知結(jié)合平面知識及向量共線定理分別檢驗各選項即可.【詳解】如圖：根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，,A是正確的；因為EF是中位線，所以B是正確的；根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，CP=2PG，所以，所以C是正確的，D錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的簡單應用，熟記一些基本結(jié)論是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4．AD【分析】由余弦定理得，解得或，分別討論即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當時，此時為等腰三角形，，所以；當時，，此時為直角三角形，所以.故選：AD【點睛】本題考查余弦解析：AD【分析】由余弦定理得，解得或，分別討論即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當時，此時為等腰三角形，，所以；當時，，此時為直角三角形，所以.故選：AD【點睛】本題考查余弦定理解三角形，考查學生分類討論思想，數(shù)學運算能力，是一道容易題.5．CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(解析：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有mn(2m?n)()2=2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應用，屬于基礎題.6．BC【分析】由題意結(jié)合正弦定理可得，再由即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查了正弦定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.解析：BC【分析】由題意結(jié)合正弦定理可得，再由即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查了正弦定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.7．BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎題.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎題.8．ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關(guān)系，主要涉及的考點是三角形內(nèi)角的誘導公式的應用，同時考查正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，屬于中等題.9．AB【分析】根據(jù)向量模的三角不等式找出和的等價條件，可判斷A、C、D選項的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】當時，則、方向相反且，則存在負實數(shù)解析：AB【分析】根據(jù)向量模的三角不等式找出和的等價條件，可判斷A、C、D選項的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】當時，則、方向相反且，則存在負實數(shù)，使得，A選項正確，D選項錯誤；若，則、方向相同，在方向上的投影向量為，C選項錯誤；若，則以、為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，則，B選項正確.故選：AB.【點睛】本題考查平面向量線性運算相關(guān)的命題的判斷，涉及平面向量模的三角不等式的應用，考查推理能力，屬于中等題.10．BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C說法不正確.故選：BC【點睛】若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，存在且唯一.11．AD【分析】利用零向量，平行向量和共線向量的定義，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】向量與是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，故A錯誤；零向量與任一向量共線，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共線向量的定義，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】向量與是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，故A錯誤；零向量與任一向量共線，故B正確；若，則，故C正確；溫度是數(shù)量，只有正負，沒有方向，故D錯誤.故選：AD【點睛】本題考查零向量、單位向量的定義，平行向量和共線向量的定義，屬于基礎題.12．ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時解析：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時有,.當反向時有,故選：ABD【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算與三角不等式,屬于基礎題型.13．ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎題型.解析：ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎題型.14．AD【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知,A?D是正確的，選項B不正確；對于選項C，當兩個向量均為時，有無數(shù)個,故不正確.【詳解】由平面向量基本定理可知,A?D是正確的.對于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知,A?D是正確的，選項B不正確；對于選項C，當兩個向量均為時，有無數(shù)個,故不正確.【詳解】由平面向量基本定理可知,A?D是正確的.對于B,由平面向量基本定理可知,如果一個平面的基底確定,那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的，所以不正確；對于C,當兩向量的系數(shù)均為零,即時,這樣的有無數(shù)個，所以不正確.故選:AD.【點睛】本題考查平面向量基本定理的辨析，熟記并理解定理內(nèi)容是關(guān)鍵，解題中要注意特殊值的應用，屬于基礎題.15．ABD【詳解】解：對于：對于實數(shù)和向量、，根據(jù)向量的數(shù)乘滿足分配律，故恒有：，故正確．對于：對于實數(shù)，和向量，根據(jù)向量的數(shù)乘運算律，恒有，故正確．對于：若，當時，無法得到，故不正確．對解析：ABD【詳解】解：對于：對于實數(shù)和向量、，根據(jù)向量的數(shù)乘滿足分配律，故恒有：，故正確．對于：對于實數(shù)，和向量，根據(jù)向量的數(shù)乘運算律，恒有，故正確．對于：若，當時，無法得到，故不正確．對于：若，則成立，故正確．故選：．【點睛】本題考查相等的向量，相反的向量的定義，向量的數(shù)乘法則以及其幾何意義，注意考慮零向量的情況．二、平面向量及其應用選擇題16．C【分析】在中，根據(jù)，，由余弦定理求得，再由平方關(guān)系得到，然后由正弦定理求解.【詳解】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圓半徑是故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理，正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.17．C【分析】和分別表示向量和向量方向上的單位向量，表示平分線所在的直線與垂直，可知為等腰三角形，再由可求出，即得三角形形狀?！驹斀狻坑深}的，∵，∴平分線所在的直線與垂直，∴為等腰三角形.又，∴，∴，故為等邊三角形.故選：C【點睛】本題考查向量的幾何意義和三角形角平分線的性質(zhì)，以及求兩個向量的夾角，是一道中檔難度的綜合題。18．B【分析】延長至，可得出點是的重心，再根據(jù)重心的性質(zhì)可得出結(jié)論?！驹斀狻垦娱L至，使得，于是有，即點是的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，有.由是的中點，得.故選：B【點睛】本題考查了三角形重心和向量的關(guān)系，主要是用向量表達重心的數(shù)量關(guān)系。另外本題是奔馳定理直接推導得出。19．C【分析】化簡條件可得，由正弦定理化邊為角，整理，即可求解.【詳解】，.，.由正弦定理，得，，化簡得.，，則，∴是等腰直角三角形.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角恒等變換，屬于中檔題.20．C【分析】由向量的線性運算可知，所以，作出圖形，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，可得，進而可得，即可得出答案.【詳解】由題意，，所以，取的中點，連結(jié)，并延長到，使得，連結(jié)，，則四邊形為平行四邊形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故選：C.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查平面向量的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.21．C【分析】根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.22．A【分析】直接利用向量的基礎知識的應用求出結(jié)果.【詳解】對于①：零向量與任一向量平行，故①正確；對于②：若，則，必須有，故②錯誤；對于③：，與不共線，故③錯誤；對于④：，根據(jù)三角不等式的應用，故④正確；對于⑤：若，則為一個三角形的三個頂點，也可為，故⑤錯誤；對于⑥：一個平面內(nèi)，任意一對不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底，故⑥錯誤.綜上：①④正確.故選：A.【點睛】本題考查的知識要點：向量的運算的應用以及相關(guān)的基礎知識，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題．23．B【分析】，令，易得時，，即，結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】，令，因為，所以當時，，又的最小值為1，所以的最小值也為1，即，，所以，所以，故若確定，則唯一確定.故選：B【點睛】本題考查向量的數(shù)量積、向量的模的計算，涉及到二次函數(shù)的最值，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道容易題.24．D【分析】由點是的重心可得,即,代入中可得,由不共線可得,即可求得的關(guān)系,進而利用余弦定理求解即可【詳解】因為點是的重心,所以,所以,代入可得,因為不共線,所以,即,所以,故,故選:D【點睛】本題考查向量的線性運算,考查利用余弦定理求角25．A【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.26．無27．D【詳解】由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！28．D【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系對式子進行化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)再進行化簡即可判斷．【詳解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形為等腰或直角三角形，故選D．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理的應用，利用正弦定理進行代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵和難點．29．D【分析】由題，延長AP交BC于點D，利用共線定理，以及向量的運算求得向量的關(guān)系，可得與的比值，再利用面積中底面相同可得結(jié)果.【詳解】延長AP交BC于點D，因為A、P、D三點共線，所以，設代入可得即又因為，即，且解得所以可得因為與有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比所以與的面積之比