數(shù)字圖像處理第三章

1、通常，圖象處理在以下三個域中進行：空域處理：利用某種方法直接對數(shù)字圖象中的象素進行修改。頻域處理：將空域圖象經(jīng)過傅立葉變換，使其成為“頻域圖象” ，而后對其各個頻率成分進行處理；處理完成后，將 “頻域圖象” 圖象經(jīng)過傅立葉反變換為空域圖象。其它域處理：空域圖象經(jīng)過某種變換，使其成為“對應域圖象” ，而后進行相應處理；處理完成后，將 “對應域圖象” 圖象經(jīng)過對應反變換為空域圖象。第三章第三章 圖像變換圖像變換 圖象變換可以看成是一幅圖象經(jīng)過一個系統(tǒng)變換生成的結(jié)果： f(x,y) h(x,y) g(x,y)f(x,y) h(x,y) g(x,y) 如果系統(tǒng)h(x,y)滿足一定的條件：齊次性、可加性

2、和時不變性，就成為了線性時不變系統(tǒng)。一般而言，都將圖像處理系統(tǒng)看成為線性時不變(位置不變)系統(tǒng)。 圖像變換看成是圖象經(jīng)過一線性位置不變系統(tǒng)變換的結(jié)果。所有線性系統(tǒng)理論都可以拿來使用。 圖像變換是將圖像從空域變換到其它域，如頻域。圖像變換需滿足某些條件。為什么要變換利用變換的某些性質(zhì)，可以大大簡化或加速圖象處理過程空域圖象經(jīng)過變換后形成 “對應域圖象”，從中會看到在空域圖象中不易看到的某些“東西”。變換后形成 “對應域圖象”，會呈現(xiàn)某些性態(tài)，利用這些性態(tài)可完成圖象處理中某個應用領(lǐng)域的應用。 應選擇什么樣的變換才能滿足各種要求是下面要討論的主要問題之一。變換選擇的原則變換選擇的原則1)變換必須是可

3、逆的。2)變換不能損失信息。3)變換必須是有好處的。4)變換算法必須是不復雜的。 G(i,j) = I f(x,y) G(i,j) = I f(x,y) f(x,y) = If(x,y) = I-1-1 G(i,j) G(i,j)雖然滿足雖然滿足1 1、2 2、4 4條件，但不滿足第三條。條件，但不滿足第三條。變換的目的：使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提?。挥兄趶母拍钌显鰪妼D像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求： 正交變換必須是可逆的； 正變換和反變換的算法不能太復雜； 正交變換的特點是在變換域中圖像能量集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于

4、圖象處理。因此正交變換廣泛應用在圖像增強、圖像恢復、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。圖像變換的預備知識圖像變換的預備知識圖圖 像像 變變 換換 的的 預預 備備 知知 識識 一一 、 點點 源源 和和 狄狄 拉拉 克克函函 數(shù)數(shù) 在 圖 像 的 處 理 中 ， 常 常 用 到 點 源 的 概 念 。 一 幅 圖 像 可 以 看 成 由 無 窮 多 極 小 的 像 素 所 組 成 ， 每 一 個 像 素 都 可 以 看 作 為 一 個 點 源 ， 一 幅 圖 像 也 可 以 看 成 由 無 窮 多 點 源 所 組 成 。 在 數(shù) 學 上 ， 點 源 可 以 用 狄 拉 克函 數(shù) 來 表

5、示 。 二 維函 數(shù) 可 定 義 為 其它00, 0),(yxyx 且 滿 足 1,dxdyyxdxdyyx 其 中 為 任 意 小 的 正 數(shù) 。 xyz(x,y)0 x0(x)(x+a)(x-a)a-axyxy根據(jù)函數(shù)的定義，它具有以下一些性質(zhì)： 函數(shù)為偶函數(shù)，即 ),(),(yxyx 位移性 ddyxfyxf),(),(),( 或用卷積符號 * 表示為 ),(),(),(yxyxfyxf 因此有 ),(),(),(yxyxfyxf 可分性 )()(),(yxyx 篩選性（或采樣性） ),(),(),(fdxdyyxyxf 當=0 時 dxdyyxyxff),(),()0 , 0( 抽樣定

6、理 實際的宏觀物理過程都是連續(xù)變化的，物理量的空間分布也是連續(xù)變化的。 在今天的數(shù)字時代，連續(xù)變化的物理量要用它的一些離散分布的采樣值來表示，而且這些采樣值的表達方式也是離散的 這些離散的數(shù)字表示的物理量的含義或者說包含的信息量與原先的連續(xù)變化的物理量是否相同？ 是否可以由這些抽樣值準確恢復一個連續(xù)的原函數(shù)？ 函數(shù)的抽樣 最簡單的抽樣方法是用二維梳狀函數(shù)與被抽樣的函數(shù)相乘 如果被抽樣的函數(shù)為 ，抽樣函數(shù)可表示為 梳狀函數(shù)是 函數(shù)的集合，它與任何函數(shù)的乘積就是無數(shù)分布在平面 上在 ， 兩方向上間距為 和 的 函數(shù) 與該函數(shù)的乘積 任何函數(shù)與 函數(shù)相乘的結(jié)果仍然是 函數(shù)，只是 函數(shù)的“大小”要被該

7、函數(shù)在 函數(shù)位置上的函數(shù)值所調(diào)制。換句話說，每個 函數(shù)下的體積正比于該點函數(shù)的數(shù)值 yxg,yxgs,yxgYycombXxcombyxgs,yx,xyXY抽樣函數(shù)xyxy二、二、二維線性位移不變系統(tǒng)二維線性位移不變系統(tǒng) 如果對二維函數(shù)施加的運算 T 滿足 yxfTyxfTyxfyxfT,2121 yxfaTyxafT, 其中 a 為任意常數(shù)（可以為復數(shù)） ，則稱此運算為二維線性運算。 由它描述的系統(tǒng)，便稱為二維線性系統(tǒng)。 條件和分別稱為線性和齊次性條件，可以把它們寫成一個式子，即 yxfTayxfTayxfayxfaT,22112211 二維線性系統(tǒng)輸入、輸出及運算關(guān)系可以用圖（a）表示。

8、f(x ，y) g(x ，y) (x ，y) h(x ，y) (x -，y -) h(x ， y -) (a ) (b) 圖 (a)二維線性系統(tǒng)一般表示 ； （b）位移不變系統(tǒng) 當輸入為單位脈沖(x ， y)時，系統(tǒng)的輸出便稱為脈沖響應，用 h (x ， y)表示。在圖像處理中，它便是對點源的響應，稱為點擴散函數(shù)。 點源和點擴散函數(shù)圖 T T 當輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了、單位，即當輸入為（x ， y ）時，如果輸出為h（x ， y ） ，則稱此系統(tǒng)為位移不變系統(tǒng)。顯然，對于位移不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的輸出僅和輸入函數(shù)性態(tài)有關(guān)，而和作用的起點無關(guān)。 對于一個二維、線性位移不變系統(tǒng)來說，如果輸入為f（

9、x ， y） ，輸出為g (x ， y)，系統(tǒng)加于輸入的線性運算為T ，則有 ddyxfTyxfTyxg),(),(),(),( ddyxTf,),(線性 ddyxhf,移不變 （1） 或簡記為 ),(),(),(yxhyxfyxg 上式表明， 線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應 （點擴散函數(shù)） 的卷積。 函數(shù)的傅立葉變換 函數(shù)f（x）的一維傅立葉變換定義為： dtetfsFstj2 其逆變換定義為： dsesFtfstj2傅立葉變換的幅值和相角 f（t）的傅立葉變換結(jié)果常常是虛數(shù)，可用復數(shù)形式表示為： sjIsRsF 則其幅值為： sIsRsF22 其相位為： sRsIsar

10、ctan幅值和相角的應用 f（t）的能量譜: sIsRsFsE222 用幅值和相位來表示傅立葉變換: sjesFsF幅 值相 位離散傅立葉變換 正變換： 10/2)(NnNnkjenfkF 逆變換： 10/2)(1NnNnkjekFNnf1, 1 , 01, 1 , 0NkNn二維傅立葉變換 對于二維信號，二維傅立葉變換定義為： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2),(),(),(),(逆變換：二維離散傅立葉變換1010)*(21010)*(2),(1),(),(1),(NmNnNknNimjNiNkNknNimjenmFNkifekifNnmF逆變換

11、：利用變量置換將(式 1)寫成 ddhyxfyxg),(),(),( 或 ),(),(),(yxfyxhyxg 于是有 ),(),(),(),(yxhyxfyxfyxh 如果點擴散函數(shù) h（x ， y）是偶函數(shù)，即 h (x ， y) (x ， y )，則有 yxcddyxhfyxghf,),(),(),( 即輸出為輸入圖像和點擴散函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。 二維線性位移不變系統(tǒng)的輸入、輸出和運算關(guān)系可用下圖表示。 f（x，y） g（x，y）= f（x，y）* h（x，y） 二維線性位移不變系統(tǒng)圖 (,) 圖象的傅立葉變換例子原圖像 幅度譜相位譜 圖象的傅立葉變換例子原圖像 幅度譜相位譜傅立葉變換傅立

12、葉變換一個周期為T的函數(shù)在-T/2, T/2上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在-T/2,T/2可以展成傅立葉級數(shù)其復指數(shù)形式為其中 )sincos(2)(10nwtbnwtaatfnnnT22)(1TTdtetfTcjnwtTnnjnwtnTectf)(傅立葉級數(shù)清楚地表明了信號由那些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對信號進行分析與處理。 一、連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 1. 一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 令f(x)為實變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立葉變換以F(u)表示，則表達式為 若已知F(u)，則傅立葉反變換為 式（1）和（2）稱為傅立葉變換對。) 1 ()()(2dxexfu

13、Fuxj) 2 ()()(2dueuFxfuxj這里f(x)是實函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復函數(shù)。F(u)的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下： 3)2cos()()(dxuxxfuR實部) 4()2sin()()(dxuxxfuI虛部) 5(22)()()(21uIuRuF振幅) 6 ()()()(222)(uuuEIRuF能量)7()()()(tan1uRuIu相位) 8 (2sin2cos2uxjuxeuxj傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率變量。 2. 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，

14、則存在如下的傅立葉變換對 )10(),(),()9(),(),()(2)(2dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為 |F(u，v) =R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (11) (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (12) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (13) （a） (b) (c) 圖(a) 矩形函數(shù) （b）圖像表示 （c）它的傅立葉譜 例圖 (a)所示 矩形的傅立葉變換如下：F(u，v)=dxdyeyxfvyuxj)(2),( dxdyeyxfeyxfAyvyjxuxj0202),(),(

15、 其 傅 立 葉 譜 為 )()sin()()sin(vyevyuxeuxvyjuxjAxy)()sin()()sin(),(vyvyuxuxAxyvuF二、 離散函數(shù)的傅立葉變換 假定取間隔x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如圖所示。 將序列表示成 f(x)=f(x0+xx)式中x假定為離散值0，1，2，N1。即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換可表示為 式中x=0，1，2，N-1。 在式(14)給出的離散傅立葉變換中，u=0，1

16、，2，N-1的值對應于在值0， u，2u，(N-1)u處連續(xù)變換的抽樣值。用F(u)來表示F(uu)。除了F(u)的抽樣始于頻率軸的原點之外，這個表示法和離散的f(x)所用的表示法相似?？梢宰C明u和x的關(guān)系為 u=1/Nx F(u)=10/21)(NxNuxjNexf (14) 式 中u=0， 1， 2， ， N 1。 反 變 換 為 f(x)= 10/2)(NxNuxjeuF 在二維的情況下，離散的傅立葉變換對表示為 對連續(xù)函數(shù)的抽樣是在二維的格子上進行的，此格子在x軸和y軸上分別以寬度x和y被劃分，與一維的情況一樣，離散函數(shù)f(x，y)表示函數(shù)f(x0+xx，y0+yy)對于x=0，1，2

17、，M-1和y=0，1，2，N-1點的取樣。對F(u，v)有類似的解釋。在空間域和頻率域中的抽樣間距由下式相聯(lián)系 u=1/（Mx ） v=1/（Ny ） F(u，v)= 1010)/(21),(MxNyNvyMuxjMNeyxf 式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。 f(x，y)= 1010)/(2),(MuNvNvyMuxjevuF 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。 當圖像抽樣成一個方形陣列時，即M=N，則 式中x，y=0，1，2，N-1。應注意，在此情況下，在兩個表達式中都已包含1/N項。因為F(u，v)和f(x，y)是一個傅立葉變換對，這些常數(shù)倍乘項的

18、組合是任意的。實際中圖像常被數(shù)字化為方陣。F(u， v)= 1010/ )(21),(NxNyNvyuxjNeyxf 式 中u， v=0， 1， 2， ， N-1 f(x， y)= 1010/ )/(21),(NuNvNvyuxjNevuF 一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨立變量是離散的。一般來說，對一幅圖像進行傅立葉變換運算量很大，不直接利用以上公式計算?，F(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計算量。圖像傅立葉變換幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置 通常我們只關(guān)心幅度譜 下面兩個圖對應的幅度譜

19、是一樣（這里只顯示了其幅度譜，當然相位譜是不一樣的）圖像傅立葉變換 從幅度譜中我們可以看出明亮線反映出原始圖像的灰度級變化，這正是圖像的輪廓邊圖像傅立葉變換 從幅度譜中我們可以看出明亮線和原始圖像中對應的輪廓線是垂直的。如果原始圖像中有圓形區(qū)域那么幅度譜中也呈圓形分布圖像傅立葉變換 圖像中的顆粒狀對應的幅度譜呈環(huán)狀，但即使只有一顆顆粒，其幅度譜的模式還是這樣。圖像傅立葉變換 這些圖像沒有特定的結(jié)構(gòu)，左上角到右下角有一條斜線，它可能是由帽子和頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)生的 兩個圖像都存在一些小邊界圖像傅立葉變換 圖像發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，幅度譜也相應的進行了旋轉(zhuǎn)( , )( , ),( , )( , )f x yf

20、 rF u vF cos ,sin ,cos ,sinxryruv00 ( ,)( ,)f rF FFourier 變換示意圖變換示意圖Fourier變換的頻率特性 Fourier變換的低通濾波Fourier變換的高通濾波基于Fourier變換的壓縮另一幅圖像效果另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1基于Fourier變換的壓縮壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1 例如：對一維信號f(x)=1 0 1 0進行傅立葉變換。 由得 u=0時， u=1時,10/21)()(NxNuxjNexfuF2/ 1) 3 () 2 () 1

21、() 0 ( 1111 )()() 0 (412/3041304/241ffffexfexfFxxxx0) 3 () 2 () 1 () 0 (11 )() 1 (413041ffffjjexfFxx2/1)3()2() 1 ()0( 1111 )()2(413041ffffexfFxxu=2時,u=3時,在N=4時，傅立葉變換以矩陣形式表示為F(u)= =Af(x)0) 3()2() 1 ()0(11 )() 3(412/33041ffffjjexfFxxxy1-1j-j0101111111111111jjjj3.2.33.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域

22、與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。 1周期性和共軛對稱性 若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立葉變換存在共軛對稱性 F(u，v)=F*(-u，-v) 這種周期性和共軛對稱性對圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。傅立葉變換周期性的例子(a) 表示在區(qū)間中一個周期的傅立葉譜(b) 表示在同一區(qū)間內(nèi)整個周期平移之后的頻譜 2.2.分離性分離性 一個二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來實現(xiàn)。 例如下例兩式:101.1 , 0/2exp),(1

23、),(NyNvNvyjyxfNvxF101.1 , 0,/2exp),(1),(NxNvuNuxjvxFNvuF3.平移性質(zhì) 傅立葉變換對的平移性質(zhì)可寫成(以表示函數(shù)和其傅立葉變換的對應性) :式（1）表明將F(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。式(2)表明將F(u,v)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。另外，從式(2)可知，對F(x,y)的平移不影響其傅立葉變換的幅值。)2(/)(2exp),(),()1(),(/)(2exp),(00000000NvyuxjvuFyyxxfvvuuFNyvxujyxf4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)借助極坐標變換x

24、=rcos，y=rsin， u=wcos， v=sin將F(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為F(r,)和F(w,)。直接將它們代入傅立葉變換對得到：對F(x,y)旋轉(zhuǎn)0對應于將其傅立葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)0 。類似的,對F(u,v)旋轉(zhuǎn)0也對應于將其傅立葉反變換F(x,y)旋轉(zhuǎn)0 。),(),(00wFrf5.分配律 根據(jù)傅立葉變換對的定義可得到： 上式表明傅立葉變換和反變換對加法滿足分配律 ，但對乘法則不滿足，一般有 6.尺度變換(縮放) 給定兩個標量a和b，可證明對傅立葉變換以下兩 式成立 ),(),(),(),(2121yxfFyxfFyxfyxfF),(),(),(),(2121yxfF

25、yxfFyxfyxfF),(),(vuaFyxaf),(1),(bvauFabbyaxf7.平均值 對一個二維離散函數(shù)，其平均值可用下式表示 如將u=v=0代入式 可以得到 比較以上兩式可得 10102),(1),(NxNyyxfNyxf1.10,/ )(2exp),(1),(10102NvuNvyuxjyxfNvuFNxNy， 1010),(1)0,0(NxNyyxfNF)0,0(1),(FNyxf7離散卷積定理設f(x,y)，g(x,y)是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為式中 M=A+C-1, N=B+D-1證明離散卷積定理，對上式有于是空間域卷積定理得證。1.,1

26、, 0, 1.,1 , 0),(),(),(),(1010NyMxnymxgnmfyxgyxfMmNn),(),(),(),(),(),(),(),(1010)()(21010)(210101010)(2vuGvuFenymxgenmfenymxgnmfyxgyxfFMxNyNnyvMmxujMmNnNvnMumjMxNyMmNnNvyMuxj 8離散相關(guān)定理 大小為AB和CD的兩個離散函數(shù)序列f(x,y) ，g(x,y)的互相關(guān)定義為 式中 M=A+C1，N=B+D1 ),(),(),(),(1010nymxgnmyxgyxfMmNnf 其它可分離圖像變換下面先討論這類變換的通用公式，然后介

27、紹在圖像處理中常用的沃爾什、哈達瑪、離散余弦等變換。一、通用公式一維離散傅立葉變換是一類重要的變換，它可以用通用關(guān)系式表示 其中T(u)是f(x)的正變換，g(x，u)是正變換核，并且假定u在范圍0，1，N-1內(nèi)取值，類似地，逆變換由關(guān)系式 給出，其中h(x，u)是反變換核，并且假定在范圍0，1，N-1內(nèi)取值。變換的性質(zhì)由它的變換核的性質(zhì)所決定。10), ()()(NxuxgxfuT10),()()(NuuxhuTxfx對于二維方陣，正變換和反變換由式 以及 其中g(shù)(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分別稱為正變換核和反變換核。如果 則稱正向核是可分離的。如果g1在函數(shù)上等于g2，則這個核

28、是加法對稱的。在這種情況下，上式可以表示成 1010),(),(),(NxNyvuyxgyxfvuT1010),(),(),(NuNvvuyxhvuTyxf),),(),(21vyguxgvuyxg（),(),(),(11vyguxgvuyxg二維傅立葉變換的一個特殊情況，它的核為 它是可分離的和對稱的，因為 很容易證明反傅立葉核也是可分離的和對稱的。 /)(2exp1),(NvyuxjNvuyxg/2exp1/2exp1),(),(),(11NvyjNNuxjNvyguxgvuyxg一個具有可分離核的變換可以分成兩步計算，每 一步要作一個一維變換。首先，沿著f(x，v)的每一行取一維變換，得

29、到 其中x，v=0，1，2，N-1.然后，沿著T(x，v)的每一列取一維變換；這個結(jié)果可以表示成 其中u，v=0，1，2， ，N-1。),(),(),(102vygyxfvxTNy),(),(),(101uxgvxTvuTNx 如果核g(x，y，u，v)是可分離和對稱的，傅氏變換式也可以表達成下面矩陣形式 AFAT 其中F是NN的圖像矩陣，A是以aij=g1(i，j)為元素的NN的對稱變換矩陣，而T是NN的變換結(jié)果，它的u，v在范圍0，1，2，N-1內(nèi)取值。為了得到反變換，對上式的兩邊分別前后各乘1個反變換矩陣B： 如果B=A-1，則 這表明圖像F可完全由其變換恢復。如果B不等于A-1，則由式

30、得F的一個近似: BAFABBTBBTBFBAFABF2、哈達瑪(Hadamard)變換 與傅立葉變換、余弦型變換不同，哈達瑪(Hadamard) 變換和下面將要介紹沃爾什(Walsh)的變換的基波都是方波的變形。通常這種變換的計算速度很快，這主要的原因是因為其中的許多乘法操作都非常簡單。一維哈達瑪變換對的定義：其中一維哈達瑪變換對的定義：其中N=2n。1-N0,1,2,.,u ) 1)(1)(10)()(10NxubxbniiixfNuH1-N0,1,2,., x)1)()(10)()(10NuubxbniiiuHxf其中：其中：b bk k(z)(z)是是z z的二進制表達中的第的二進制表

31、達中的第k k位。位。正變換正變換反變換反變換二維哈達瑪變換對的定義1-N0,1,2,.,vu, ) 1)(,(1),(1010)()()()(10NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH正變換；其中N=2n。反變換；其中反變換；其中N=2n。1-N0,1,2,.,y x,) 1)(,(1),(1010)()()()(10NxNyvbybubxbniiiiivuHNyxf其中：其中：b bk k(z)(z)是是z z的二進制表達中的第的二進制表達中的第k k位。位。例如：例如：b b2 2(4) 000100 =1(4) 000100 =1)32()15()3()4()()()()(

32、5555bbbbvbybubxbiiii000100 000011 001111 100000 0001=0例如：N=8時，有哈達瑪變換陣52614370每一行的符號的變化次數(shù)稱作這個行的列率。11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H哈達瑪變換的正反變換核是一樣的。變換核生成有一規(guī)律，使其生成非常方便(如果圖像是NN，N=2n )。NNNNN2NHN1A HHHHH 變換核HAAfTTAfAH 3 3、沃爾什、沃爾什(Walsh)(Walsh)變換變換 我們從我們從哈達瑪哈達瑪變換知道：它的構(gòu)造是由小塊

33、堆積成大塊變換知道：它的構(gòu)造是由小塊堆積成大塊的。但是分析其列率就知道其排列是無規(guī)則的。的。但是分析其列率就知道其排列是無規(guī)則的。 將無序的將無序的哈達瑪哈達瑪核進行列率的排序，之后得到的有序的核進行列率的排序，之后得到的有序的哈達瑪哈達瑪變換就成為沃爾什變換。變換就成為沃爾什變換。 當當N=2N=2n n時，有一維沃爾什變換對：時，有一維沃爾什變換對：1-N0,1,2,.,u ) 1()(1)(10)()(101NxubxbniinixfNuW1-N0,1,2,.,u )1()()(10)()(101NuubxbniinixWxf例如：N=8時，有沃爾什變換陣1111111111111111

34、1111111111111111111111111111111111111111111111118W76543210NWN1A 變換核WAAfTTAfAW 可見，沃可見，沃爾什變換爾什變換陣可由哈陣可由哈達瑪變換達瑪變換陣重排列陣重排列率構(gòu)成。率構(gòu)成。二維沃爾什變換對的定義1-N0,1,2,.,vu, ) 1(),(1),(1010)()()()(1011NxNyvbybubxbniiniiniyxfNvuW1-N0,1,2,.,y x,) 1(),(1),(1010)()()()(1011NuNvvbybubxbniiniinivuwNyxf例：用44沃爾什變換陣G對給定圖像f1(x,y)和

35、f2(x,y)進行變換，求其變換后的“圖像”W1(u,v)和W2(u,v)。1111111111111111),( 1331133113311331),( 111111111111111121yxfyxfG0000000000000001 1111111111111111 1111111111111111 111111111111111110000000000000102 1111111111111111 1331133113311331 1111111111111111122221121WGGfWWGGfWNN能量集中在邊角！且圖像越平滑能量越集中。二、二、沃爾什變換沃爾什變換當N=2n時，

36、函數(shù)f(x)的離散沃爾什變換記作w(u)，在式中用核10)()(1)1(1),(NiubxbiniNuxg代入即可求得10)()(101) 1()(1)(NiubxbNxinixfNuw式中u,x=0,1,2,N-1。式為一維離散沃爾什變換。 其中bk(z)是z的二進制表示的第k位值。例如， n=3，N=2n=8, 如果z=6（二進制是110），則有b0(z)=0，b1(z)=1 ，以及b2(z)=1。 X u 0 1 2 3 4 5 6 7 0 + + + + + + + + 1 + + + + - - - - 2 + + - - + + - - 3 + + - - - - + + 4 +

37、- + - + - + - 5 + - + - - + - + 6 + - - + + - - + 7 + - - + - + + - N N=8=8的沃爾什變換核的值的沃爾什變換核的值 g(x，y)的值，除常數(shù)項1/N外，對于N=8可以列成上表。由沃爾什變換核形成的數(shù)組是一個對稱矩陣，它的行和列是正交的。除相差常數(shù)因子1/N外，正、反變換核其他完全相同。因此10)()(1) 1(),(niubxbiniuxh因而，一維離散沃爾什反變換由 10)()(101)1()()(niubxbNiiniuwxf給出。它與以三角函數(shù)項為基礎的傅立葉變換不同，沃爾什變換是由值或者取+1或者取-1的基本函數(shù)的

38、級數(shù)展開式構(gòu)成。 二維正和反沃爾什變換核由關(guān)系式 給出。這兩個核完全相同，所以下面兩式給出的二維沃爾什正變換和反變換也具有相同形式： 沃爾什正變換核和反變換核都是可分離的和對稱的，因為可知，二維的沃爾什正反變換都可分成兩個步驟計算，每個步驟用一個一維變換實現(xiàn)。 11)()()()(111)1(),(nivbybubxbNiniinivuyxg11)()()()(111) 1(),(nivbybubxbNiniinivuyxh 10)()()()(1010111)1(),(),(nivbybubxbNxNyNiniiniyxfvuW10)()()()(1010111)1(),(),(nivbyb

39、ubxbNuNvNiniinivuWyxf),(),(),(),(),(1111vyhuxhvyguxgvuyxg三、哈達瑪變換三、哈達瑪變換對于一維正向哈達瑪(Hadamard)核有若干種已知公式，其中的一種由關(guān)系式 給出。這里在指數(shù)上的和是按模2算術(shù)執(zhí)行的，bk(z)代表z的二進制表示的第k位值。一維哈達瑪變換表達式 其中N=2n，并假定u在范圍0，1，2，N-1內(nèi)取值。10)()(1) 1(),(niiiubxbNuxg10)()(101) 1( )()(niiiubxbnxNxfuH二維核類似地由關(guān)系式10)()()()() 1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxg以及 1

40、0)()()()()1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxh兩個核完全相同，所以下面兩式 10)()()()(1010) 1( ),(1),(niiiiivbybubxbNxNyyxfNvuH10)()()()(1010) 1( ),(1),(niiiiivbybubxbNxNyvuHNyxf給出的二維的哈達瑪正變換和反變換也具有相同形式。哈達瑪正變換核都是可分離的和對稱的。由 ),(),(),(),(),(1111vyhuxhvyguxgvuyxg可知，二維的哈達瑪正變換和反變換都可分成兩個步 驟計算，每個步驟用一個一維變換實現(xiàn)。一維哈達瑪核產(chǎn)生的數(shù)值矩陣，在N=8的情形下如表示

41、。其中的常數(shù)項1/N被省略了。應注意，雖然在這個表中的元素和沃爾什變換時一樣，但是行和列的次序是不同的。事實上，當N=2n時，這是這兩個變換之間的唯一區(qū)別。當N不等于2的整數(shù)次冪時，這種區(qū)別更大。如果能夠?qū)θ我庹麛?shù)N做沃爾什變換的話，那么就存在N的哈達瑪變換。 X u 0 1 2 3 4 5 6 7 0 + + + + + + + + 1 + - + - + - + - 2 + + - - + + - - 3 + - - + + - - + 4 + + + + - - - - 5 + - + - - + - + 6 + + - - - - + + 7 + - - + - + + - N=8的

42、哈達瑪變換核的值 11112HNNNNNHHHHH2NNHA1最小階（N=2）的哈達瑪矩陣是如果用HN代表N階矩陣，上面提到的迭代關(guān)系可由下式給出 式（3.3-10）中的變換矩陣可將哈達瑪矩陣用矩陣階的平方根歸一化得到，即 四、離散余弦變換四、離散余弦變換 余弦變換是簡化傅立葉變換的重要方法，特別是用于圖像信息壓縮傳輸如計算機多媒體技術(shù)中的傳輸。從傅立葉變換性質(zhì)可知當f(x)或f(x,y)為偶函數(shù)時，虛數(shù)項為零不需計算，變換只計算余弦項。因此余弦變換是傅立葉變換的特例。一個采樣從0，1，2，N-1的任意函數(shù)f(x)，若向反方向折疊形成2N個采樣的偶函數(shù)，就可進行2N的偶函數(shù)傅立葉變換。相應的一

43、維離散余弦變換(DCT)和其反變換由以下兩式定義1,.,1 , 0cos)()()(102) 12(NuxfuauCNxNux1,.,1 , 0cos)()()(102) 12(NxuCuaxfNuNux其中a(u)由下式定義將一幅NN的圖像f(x,y)沿水平方向?qū)φ坨R像，再沿垂直方向?qū)φ坨R像，可成為一個2N2N的偶函數(shù)圖像。那么它的二維正反DCT對由下面兩式定義u,v=0,1,N-1 1, 2 , 1/ 20/ 1)(NuNuNua當當coscos),()()(),(2) 12(102) 12(10NvyNxNuxNyyxfvauavuCcoscos),()()(),(2) 12(102)

44、12(10NvyNuNuxNvvuCvauayxf 傅立葉變換需要復數(shù)的乘法和加法運算，而復數(shù)運算比實數(shù)運算要費時得多 離散余弦變換是實值變換，它廣泛應用于語音和圖像的壓縮 1010212cos212cos,NxNyNvyvNuxuyxfvuF 1010212cos212cos,NuNvNvyvNuxuvuGyxf 112 01NuNuNu圖像的離散余弦變換 DCT矩陣的左上角代表低頻分量，右下角代表高頻分量矩陣的左上角代表低頻分量，右下角代表高頻分量 由由DCT域圖像我們能夠了解圖像主要包含低頻成份域圖像我們能夠了解圖像主要包含低頻成份DCT域圖像空間域圖像小波變換小波變換 小波的概念是由法

45、國地球物理學家小波的概念是由法國地球物理學家J.Morlet在在1984年提年提出的，他在分析地質(zhì)資料時，首先引進并使用了小波出的，他在分析地質(zhì)資料時，首先引進并使用了小波(Wavelet)這一術(shù)語，這一術(shù)語， “小波小波”就是小的波形。就是小的波形。n 所謂所謂“小小”是指它具有衰減性是指它具有衰減性;n 而稱之為而稱之為“波波”則是指它的波動性，其振幅正負相間則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。的震蕩形式。傅立葉變換的提出傅立葉變換的提出,使信號分析可以在時域和頻域上使信號分析可以在時域和頻域上分開分開進行進行,有時常常希望分析有時常常希望分析信號的時間特性的信號的時間特性的同時同

46、時,分析信分析信號的頻率特性號的頻率特性,這樣這樣,便引出了時頻分析的概念便引出了時頻分析的概念 針對傅立葉變換不能同時進行時間針對傅立葉變換不能同時進行時間-頻率局部分析的缺點，頻率局部分析的缺點，D.Gabor在在1946年，提取信號傅立葉變換的局部信息，引入了年，提取信號傅立葉變換的局部信息，引入了一個一個時間局部變化時間局部變化的的“窗函數(shù)窗函數(shù)”，稱為，稱為Gabor變換，又稱為變換，又稱為加窗傅立葉變換加窗傅立葉變換GabordtetftgRtfW)()(),(其中函數(shù)其中函數(shù) 稱為窗函數(shù)。稱為窗函數(shù)。加窗傅立葉變換或稱加窗傅立葉變換或稱為短時傅立葉變換為短時傅立葉變換。 雖然加窗

47、傅立葉變換能在不同程度上克服傅立葉變換雖然加窗傅立葉變換能在不同程度上克服傅立葉變換的上述弱點，的上述弱點， 但提取精確信息，要涉及時窗和頻窗的選擇但提取精確信息，要涉及時窗和頻窗的選擇問題。問題。 由著名的由著名的Heisenberg測不準原理可知，測不準原理可知，g(t)無論是什么無論是什么樣的窗函數(shù)，樣的窗函數(shù)，時窗時窗g(t)的寬度與頻窗的寬度與頻窗g(w)寬度之積不小于寬度之積不小于1/4，在對信號作，在對信號作時時頻頻分析時，其時窗和頻窗不能同時分析時，其時窗和頻窗不能同時達到極小值。換句話說，達到極小值。換句話說，不能在提高時域分辨率的同時使不能在提高時域分辨率的同時使頻率分頻率

48、分辨率辨率也無限制地提高也無限制地提高。 如要求更好的局部性質(zhì)或更多的整體性質(zhì)時，就必須更如要求更好的局部性質(zhì)或更多的整體性質(zhì)時，就必須更改窗口的大小，從而使計算量大增，以至無法具體實現(xiàn)。改窗口的大小，從而使計算量大增，以至無法具體實現(xiàn)。 2221)(reg 窗口窗口傅立葉變換是一種時頻分析手段傅立葉變換是一種時頻分析手段, ,在進行信在進行信號分析時號分析時, ,通過一個通過一個信號加窗信號加窗的方法的方法, ,得到在窗口內(nèi)得到在窗口內(nèi)信息的頻域特性信息的頻域特性, ,通過移動這個窗通過移動這個窗, ,就可以得到在不就可以得到在不同時域中頻率特性同時域中頻率特性, ,相當于用一個形狀、大小和

49、放相當于用一個形狀、大小和放大倍數(shù)相同的大倍數(shù)相同的“放大鏡在時放大鏡在時- -頻面上移動去觀察信頻面上移動去觀察信號在某號在某固定長度時間內(nèi)固定長度時間內(nèi)的頻率特性。的頻率特性。 Gabor變換的時變換的時頻窗口是固定不變的頻窗口是固定不變的，窗口，窗口沒有自適應性，不適于分析沒有自適應性，不適于分析多尺度信號過程和突變多尺度信號過程和突變過程過程，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實現(xiàn)高，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實現(xiàn)高效算法，這是效算法，這是Gabor變換的主要缺點，因此也就限變換的主要缺點，因此也就限制了它的應用。制了它的應用。 在非平穩(wěn)信號的分析中，希望存在一種變換函數(shù)，它能在非

50、平穩(wěn)信號的分析中，希望存在一種變換函數(shù)，它能滿足：對于高頻譜的信息，時間間隔要相對的小，以便滿足：對于高頻譜的信息，時間間隔要相對的小，以便給出比較好的精度；而對于低頻譜的信息，時間間隔要給出比較好的精度；而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對的寬，以便給出完全的信息，也就是說，要有一個相對的寬，以便給出完全的信息，也就是說，要有一個靈活可變的時間靈活可變的時間-頻率窗，使在高頻率窗，使在高“中心頻率中心頻率”時，時窗時，時窗寬度自動變窄；在低寬度自動變窄；在低“中心頻率中心頻率”時，時頻窗寬度自動時，時頻窗寬度自動變寬變寬作為多尺度分析工具，小波變換為信號在不同尺度上作為多尺度分析工具，小波變換

51、為信號在不同尺度上的分析和表征提供了一個精確和統(tǒng)一的框架，從圖像的分析和表征提供了一個精確和統(tǒng)一的框架，從圖像處理的角度看，小波變換存在以下幾個優(yōu)點：處理的角度看，小波變換存在以下幾個優(yōu)點：(1)小波分解可以覆蓋整個頻域小波分解可以覆蓋整個頻域(提供了一個數(shù)學上完備提供了一個數(shù)學上完備的描述的描述)(2)小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性(3)小波變換具有小波變換具有“變焦變焦”特性，在低頻段特性，在低頻段,可用高頻率可用高頻率分辨率和低時間分辨率分辨率和低時間分辨率(寬分

52、析窗口寬分析窗口)，在高頻段，可用，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時間分辨率低頻率分辨率和高時間分辨率(窄分析窗口窄分析窗口)(4)小波變換實現(xiàn)上有快速算法小波變換實現(xiàn)上有快速算法 與傅立葉變換類似，小波變換也是將一與傅立葉變換類似，小波變換也是將一個信號分解成若干基波的線性組合，個信號分解成若干基波的線性組合，這些基這些基波是不同時間發(fā)生的不同頻率的小波，具體波是不同時間發(fā)生的不同頻率的小波，具體是靠平移和收縮來實現(xiàn)的。平移是靠平移和收縮來實現(xiàn)的。平移確定某個確定某個頻頻率率出現(xiàn)的位置，出現(xiàn)的位置，伸縮伸縮得到從得到從低到高不同頻率低到高不同頻率的基波。的基波。 傅立葉變換用到的基波函數(shù)是唯

53、一確定傅立葉變換用到的基波函數(shù)是唯一確定的，即為的，即為正弦函數(shù)正弦函數(shù)，小波變換用到的小，小波變換用到的小波不波不唯一唯一的，所以選擇小波是實際應用中的難題。的，所以選擇小波是實際應用中的難題。 廣泛應用：信號處理、圖像處理、模式識別、量子廣泛應用：信號處理、圖像處理、模式識別、量子物理、非線性科學領(lǐng)域物理、非線性科學領(lǐng)域 原則上，凡傳統(tǒng)使用原則上，凡傳統(tǒng)使用Fourier分析的方法，都可以分析的方法，都可以用小波分析代替用小波分析代替 與與Fourier變換、變換、Gabor變換相比，小波變換是空間變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換（時間）和頻率的局部變換 伸縮和平移等運算功

54、能可對函數(shù)或信號進行多尺度伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多變換不能解決的許多困難，對高頻采取逐漸精細的時域或空域步長，從困難，對高頻采取逐漸精細的時域或空域步長，從而可以聚焦到分析對象的任意細節(jié)數(shù)學顯微鏡而可以聚焦到分析對象的任意細節(jié)數(shù)學顯微鏡 圖像的小波處理圖像的小波處理小波分解小波分解低頻系數(shù)低頻系數(shù)水平系數(shù)水平系數(shù)垂直系數(shù)垂直系數(shù)對角系數(shù)對角系數(shù)一、連續(xù)小波變換一、連續(xù)小波變換同傅立葉變換那樣，在小波變換中同樣存在著一維、二維的連續(xù)小波變換和離散小波變換。1一維連續(xù)小波變換給定基本小波函數(shù)，信號f(t)的連續(xù)

55、小波變換定義為小波變換可以表示為Wf(a,b)=f a,b(t)，它可以看作是求函數(shù)f(t)在 的各尺度平移信號上的投影。即求f(t)與 的相關(guān)性。dtttfdttfabaWbaRabtf)()()()(1),(,)(,tba)(,tba 其中a0，bR。上式給出f(t)的一種多尺度表示，a代表尺度因子， 稱為小波。)(,tba)(1abta 如果 是復變函數(shù)時，上式采用復共軛函數(shù) 。若a1，則 函數(shù)具有伸展作用；a1),表示用伸展了的波形去觀察整個f(t),換句話說，這時以小的時間分辨率和大的頻率分辨率來觀測信號的低頻信息，反之，當a減小時（0a1)，則壓縮了的波形去衡量f（t)的局部，即以

56、大的時間分辨率和小得頻率分辨率來觀察信號的高頻部分。隨著尺度因子從大到?。?a0時完全刻畫了函數(shù)f(t)的性質(zhì)或信號的變化過程，實際上用逆變換式可以由變換結(jié)果重構(gòu)f(t)。用離散小波 ，適當選擇a0與b0之值，我們同樣能刻畫f(t)。 ),(baWfnm ,離散小波變換離散小波變換就是做向量的內(nèi)積。例：對（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波變換1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/81/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/81/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0,

57、0, 00, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/41/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 00, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 00, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 00, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2 6432.52030.5610.5603162972757251 1 1 0 1 0 0 01 1 1 0 -1 0 0 01 1 -1 0 0 1 0 01 1 -1 0 0 -1 0 01 -1 0 1 0 32.500.50.5 0 1 0311 -1 0 1 0 0 -1 0291 -

58、1 0 -1 0 0 0 1271 -1 0 -1 0 0 0 -1 25642361606757Haar小波反變換：小波變換小波變換 小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間，有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立的時間，有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D像壓縮、邊緣抽取、噪聲過不同特征的提取（圖像壓縮、邊緣抽取、噪聲過濾）。濾）。 小波變換一個信號為一個小波級數(shù)，這樣一個小波變換一個信號為一個小波

59、級數(shù)，這樣一個信號可由小波系數(shù)來刻畫。信號可由小波系數(shù)來刻畫。小波變換速度比傅立葉快一個數(shù)量級，長度為小波變換速度比傅立葉快一個數(shù)量級，長度為M的信號，計算復雜度：的信號，計算復雜度：MMOf2logMOw傅立葉變換：小波變換：設有信號f(t):其傅里葉變換為F(j):1( )()2j tf tF jed即：=+024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81（t

60、）1/2（2t-t0）2/3（4t-t1）像(t)這樣，有限長且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：小波函數(shù)必須滿足以下兩個條件的函數(shù)：(1) 小波必須是振蕩的；(2) 小波的振幅只能在一個很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1 小波例1圖2 小波例2不是小波的例子圖4圖3平均與細節(jié) 設一維信號x1，x2 平均 細節(jié) 則一維信號可以表示成a，d,且原信號可以恢復如下： 當x1與x2非常接近時，一維信號x1，x2可近似的用a表示，可實現(xiàn)信號壓縮。 a可以看成信號的整體信息 d可看成原信號用a表示時丟失的細節(jié)信息 )/2x(x a2 1)/2x- (x d21dax1d-ax2