2022年函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性

1、精品資料歡迎下載§ 3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判別法定理 1 設(shè)f x 在區(qū)間 i 上可導(dǎo)，就f x 在 i 上遞增（減）的充要條件是證 如 f 為增函數(shù)，就對(duì)每一x0f ' x i ，當(dāng)00 .xx0 時(shí)，有fxfx00 ；xx0令 xx0 ，即得 f ' x0 0 ；反之， 如f x 在區(qū)間 i 上恒有f ' x0 ，就對(duì)任意x1 , x2i （設(shè)x1x2 ），應(yīng)用拉格朗日定理，存在，使得f x2 f x1f 'x2x10 ；由此證得 f 在 i 上為增函數(shù)；定理 2 如函數(shù) f 在 a, b 內(nèi)可導(dǎo) ,就 f 在 a, b

2、 內(nèi)嚴(yán)格遞增 遞減 的充要條件是 :(1) x a, b 有f ' x00 ;(2) 在 a, b內(nèi)的任何子區(qū)間上f ' x0 .推論 設(shè)函數(shù)在區(qū)間i 上可微 ,如f ' x0 f' x0 , 就 f 在 i 上 嚴(yán)格 遞增 遞減.注 1 如函數(shù) f 在 a, b 內(nèi)嚴(yán)格 遞增 遞減 , 且在點(diǎn) a 右連續(xù) ,就 f 在 a, b 上亦為 嚴(yán)格 遞增遞減 , 對(duì)右端點(diǎn) b 可類(lèi)似爭(zhēng)論 .注 2 假如函數(shù)f x 在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外，導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f ' x0的根及f ' x 不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f x 的定

3、義區(qū)間就能保證f ' x 在各個(gè)部分區(qū)間保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f x 在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)；留意：假如函數(shù)f x 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在a, b內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在外，在其余點(diǎn)上都有f ' x0 （或f ' x0 ），那么由于連續(xù)性，f x 在區(qū)間 a, b 上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)削減）的；例如， yx3 的一階導(dǎo)數(shù) y'3x ，除在 x0 點(diǎn)等于零外，在其余的點(diǎn)都大于零，2函數(shù)在整個(gè)區(qū)間,內(nèi)單調(diào)增加； 又例如， y1x 3 ，它的一階導(dǎo)數(shù)133 x 2除在 x0點(diǎn)不存在外，在其余的點(diǎn)都大于零，從而函數(shù)在整個(gè)區(qū)間,內(nèi)單調(diào)增加；例 1 設(shè)解 由

4、于f xx32x ；試爭(zhēng)論函數(shù)f 的單調(diào)區(qū)間；f x1f ' x因此3x113x13x1 ，31ox3當(dāng) x,時(shí)， f3' x0 ， f 遞增；f 增f 減f 增當(dāng) x1 , 133時(shí)， f ' x0 ， f 遞減；圖 3-4-1當(dāng) x1 , 3時(shí)， f ' x0， f 遞增；利用函數(shù)的單調(diào)性，可以證明一些不等式；例 1 證明不等式ex1x, x0證 設(shè) f xex1x ，就f ' xex1；故當(dāng) x0 時(shí)，f ' x0 ， f 嚴(yán)格遞增；當(dāng) x0 時(shí)，f ' x0 ， f 嚴(yán)格遞減；又由于f 在 x0處連續(xù)，就當(dāng) x0 時(shí)f xf 00

5、 ，從而證得ex1x, x0 ；二、曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性反映在圖形上，就是曲線(xiàn)的上升或下降；但是， 曲線(xiàn)在上升或下降的過(guò)程中，仍有一個(gè)彎曲方向的問(wèn)題；曲線(xiàn)的彎曲方向我們用曲線(xiàn)的凹凸性來(lái)表述；下面我們就來(lái)爭(zhēng)論曲線(xiàn)的凹凸性及其判定法；在有的曲線(xiàn)弧上 , 假如任取兩點(diǎn) , 就聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上, 而有的曲線(xiàn)弧 , 就正好相反 . .曲線(xiàn)的這種性質(zhì)就是曲線(xiàn)的凹凸性. 因此曲線(xiàn)的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線(xiàn)弧上相應(yīng)點(diǎn) 即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn) 的位置關(guān)系來(lái)描述 ,下面給出曲線(xiàn)凹凸性的定義.定義 1 設(shè)f x 在區(qū)間 i 上連續(xù) ,假如對(duì) i 上任意兩點(diǎn)x1,

6、 x2 恒有f x1x2 2f x1 2f x2 ,那么稱(chēng)f x 在 i 上的圖形是 向上 凹的 或凹弧 ; 相應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為凹函數(shù): 假如恒有f x1x2 2f x1 2f x2 ,那么稱(chēng)f x 在 i 上的圖形是 向上 凸的 或凸弧 ,相應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為凸函數(shù) .yfx1fx2fx1x2y2f x12fx1x22f x2f x1f x1fx22f x2ox1x1x2x2xox1x1x2x2x(a) 2圖 3-4-2(b) 2假如函數(shù)f 在 i 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) , 那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定曲線(xiàn)的凹凸性.定理 3 曲線(xiàn)凹凸性的判定定理 設(shè) f 為區(qū)間 i 上的二階可導(dǎo)函數(shù) , 就在 i 上

7、f 為凹凸函數(shù)的充要條件是f " x0 f " x0, x i幾何說(shuō)明：f " x0yf x是凹弧；即f ' x'0f ' x單調(diào)增加；f " x0 yyf x是凹?。患磃 ' x'0 yf ' x單調(diào)削減；o ax1x2x3xo圖 3-4-3x1x2x3xb即 曲線(xiàn)弧 yf x 是凹（凸）弧的充要條件是：切線(xiàn)與x 軸正向夾角隨x 增大而增大（減?。?；設(shè) f "x 連續(xù)，如f " x經(jīng)過(guò)點(diǎn)x0 變號(hào)，就f " x=0；例 1 爭(zhēng)論函數(shù)f xarctan x 的凹凸性區(qū)間解 由于

8、f " x2x22 ，因而當(dāng) x0 時(shí) f " x0 ；當(dāng) x0 時(shí) f " x0；從1x 而在,0上 f x 為凹函數(shù)，在0,上 f x 為凸函數(shù)；定義 2設(shè)曲線(xiàn) y =f x 在點(diǎn)x0 ,f x0 處有穿過(guò)曲線(xiàn)的切線(xiàn). 且在切點(diǎn)近旁 ,曲線(xiàn)在切線(xiàn)的兩側(cè)分別是凸的和凹的,這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)x0 ,f x0 為曲線(xiàn) y =f x 的拐點(diǎn) .由定義可見(jiàn) , 拐點(diǎn)正是凸和凹曲線(xiàn)的分界點(diǎn)；拐點(diǎn)亦稱(chēng)扭轉(zhuǎn)點(diǎn)；有關(guān)拐點(diǎn)的定理定理 4如 f 在 x0 二階可導(dǎo) , 就 x0 ,f x0 為y曲線(xiàn) yf x的拐點(diǎn)的必要條件是f " x0 0.m定理 5設(shè) f 在 x0 可導(dǎo) ,

9、在某鄰域 u x0 內(nèi)二ox0x階可導(dǎo) , 如在 u x0 和u - x0 上 f " x 的符號(hào)相圖 3-4-4反,就 x0 ,f x0 為曲線(xiàn) yf x 的拐點(diǎn) .必需指出 :如 x0 ,f x0 是曲線(xiàn) y =f x 的一個(gè)拐點(diǎn) ,y =f x 在x0 的導(dǎo)數(shù)不肯定存在 ,請(qǐng)考察函數(shù)y3 x 在 x0 的情形 .判定區(qū)間 i 上的連續(xù)曲線(xiàn) yf x的拐點(diǎn)的步驟 :(1) 求f " x ;(2) 令f " x =0,解出這方程在區(qū)間 i 內(nèi)的實(shí)根 ,并求出在區(qū)間i 內(nèi)f " x 不存在的點(diǎn) ; 解 f " x =0, 得x0 , x1 ,

10、x2 ,，并求出 i 內(nèi)f " x 不存在的點(diǎn)：0 , 1 , 2 ,；(3) 對(duì)2中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0 , 檢查f " x 在x0 左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào) , 那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí),點(diǎn) x0 ,f x0 是拐點(diǎn) ,當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí), 點(diǎn) x0 , f x0 不是拐點(diǎn) . 考察f " x 經(jīng)過(guò)x0 , x1 , x2 ,，0 , 1 , 2 ,時(shí)是否變號(hào)；例 2 求曲線(xiàn) y3x 44x31的拐點(diǎn)及凹凸的區(qū)間；解 函數(shù) y3x44x31 的定義域?yàn)?，y'12x312x21, y"36x 224x36x x23解方程 y&q

11、uot;0 ，得 x120, x2；3把函數(shù)的定義域,分成三個(gè)部分區(qū)間,0 ,0, 2 , 2 ,；33在,0 及 2 , 3上, y"0 ,因此在在,0 及 2 ,3上,這曲線(xiàn)是凹的；在20,上, y"30 ,因此在在20,上,這曲線(xiàn)是凸的；30,1 ,2 , 113 27是這曲線(xiàn)的兩個(gè)拐點(diǎn)；例 3 問(wèn)曲線(xiàn) yx4 是否有拐點(diǎn)？解y'4x3 , y'12x2 ；明顯， 只有 x0 是方程 y"0 的根， 但當(dāng) x0 時(shí)，無(wú)論 x0 或 x0 都有 y"0 ，因此點(diǎn)0,0不是這曲線(xiàn)的拐點(diǎn)；曲線(xiàn)yx4 沒(méi)有拐點(diǎn)，它在,內(nèi)是凹的；例 4 求曲線(xiàn) y3 x 的拐點(diǎn)；解這函數(shù)在,內(nèi)連續(xù)，當(dāng) x0時(shí)， y'1, y&