洛必達法則(新)

1、1第二節(jié) 洛必達法則11:02:46 復(fù)習(xí)一、羅爾 (rolle) 定理二、拉格朗日中值定理( )( )( )f bf afba 0)( f設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) f(x) 滿足條件滿足條件: :),(ba 則則至至少少存存在在一一點點),()()3(bfaf (1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)；上連續(xù)； ba, (2)在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；),(ba設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) f(x) 滿足條件滿足條件: :),(ba 則則至至少少存存在在一一點點(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)；上連續(xù)； ba, (2)在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；),(ba11:02:462微分中值定理柯西柯西(1

2、789 1857(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中 在微積分學(xué)在微積分學(xué),柯柯西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的校編寫的分析教程分析教程, 無窮小分析概論無窮小分析概論, 微積分微積分在幾何上的應(yīng)用在幾何上的應(yīng)用 等等, 有思想有創(chuàng)建有思想有創(chuàng)建,對數(shù)學(xué)的影響廣泛對數(shù)學(xué)的影響廣泛而深遠而深遠 .他是經(jīng)典分析的奠基人之一他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展基礎(chǔ)推動了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面復(fù)變函數(shù)和微分方程方面

3、. 一生發(fā)表論文一生發(fā)表論文800余篇余篇, 著書著書 7 本本 , 三、柯西中值定理三、柯西中值定理11:02:463. )()()()()()(agbgafbfgf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 與與 g(x) 滿足：滿足：),(ba )()(tfytgxyf(a)t =f(b) 若在拉格朗日定理的幾何背景中曲線由參數(shù)方程若在拉格朗日定理的幾何背景中曲線由參數(shù)方程表示表示, ,由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)公式可推出下述柯西定理。由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)公式可推出下述柯西定理。使得使得則至少存在一點則至少存在一點(2)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),上連續(xù)上連續(xù),(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b定理定理, 0

4、)( xg內(nèi)內(nèi)(3)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b)cab三、柯西中值定理三、柯西中值定理11:02:464中值定理之間關(guān)系中值定理之間關(guān)系若取若取 g(x)= x,羅爾定理羅爾定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理推廣推廣特例特例推廣推廣特例特例因此拉格朗日定理可以看成是羅爾定理的推廣。因此拉格朗日定理可以看成是羅爾定理的推廣。定理。定理。則得到羅爾則得到羅爾在拉格朗日定理中在拉格朗日定理中, 若取若取 f(a)= f,(b)因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推廣。因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推廣。 則得到拉格朗日定理。則得到拉格朗日定理。 在柯西定理中在柯西定理中, )()

5、()()()()(agbgafbfgf ( )( )( )f bf afba 微分中值定理建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量增量( (整體整體性性) )與該區(qū)間內(nèi)某點處的與該區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( (局部性局部性) )之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,搭建了搭建了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增量之間的橋梁導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增量之間的橋梁, ,使導(dǎo)數(shù)成為研究函數(shù)性態(tài)使導(dǎo)數(shù)成為研究函數(shù)性態(tài)的工具的工具. .0)( fg(x)= xf(a)= f,(b)重點重點11:02:4656第二節(jié) 洛必達法則11:02:46 確定未定式的極限是求極限的主要類型確定未定式的極限是求極限的主要類型由無窮小的商和無窮

6、大的商形成的由無窮小的商和無窮大的商形成的 法國數(shù)學(xué)家洛必達給出了解決這些未定式極限的法國數(shù)學(xué)家洛必達給出了解決這些未定式極限的最有力工具最有力工具未定式主要有：未定式主要有：常見的常見的在同一極限過程下在同一極限過程下 由無窮小與無窮大之間的冪形成的由無窮小與無窮大之間的冪形成的由無窮大與無窮大的差形成的由無窮大與無窮大的差形成的由無窮小與無窮大的積形成的由無窮小與無窮大的積形成的 ,00型未定式；型未定式； 0型未定式；型未定式； 型未定式；型未定式；00,1 ,0 型未定式型未定式. 如何來求解這些未定式的極限？如何來求解這些未定式的極限？第二節(jié) 洛必達法則 洛必達法則.11:02:46

7、7; 0)(lim, 0)(lim )1(00 xgxfxxxx若若f (x)和和g(x)滿足下列條件：滿足下列條件：; 0)(, )()(),( )2(00 xgxgxfxx且且存存在在與與可可以以除除外外點點的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點，或或 )()()(lim )3(0 axgxfxx)()(lim 0 xgxfxx則則定理定理(洛比達法則洛比達法則)型型未未定定式式計計算算法法一一00)()()(lim 0 xgxfxx ).( 或或a型型未未定定式式極極限限洛洛必必達達法法則則與與一一 ，00、11:02:468,)(lim,)(lim)1(00 xgxfxxxx, 0)(, )()

8、()( )2( 00 xgxgxfxxxx且且存在存在與與，可以除外可以除外的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)在在則則若若f (x)和和g(x)滿足下列條件：滿足下列條件：定理定理(洛比達法則洛比達法則)，或或 )()()(lim )3(0 axgxfxx)()(lim 0 xgxfxx型型未未定定式式計計算算法法二二)( ).()()(lim 0 或或axgxfxx第二節(jié) 洛必達法則 11:02:479對于其它極限形式對于其它極限形式 (1)對于求對于求 未定型極限的洛比達法則未定型極限的洛比達法則, 或或00 xxxxxx,00 (2)在使用洛比達法則求極限時在使用洛比達法則求極限時, 或或00)()(

9、lim0 xgxfxx說明說明: :,0 xx 不僅適用于極限過程不僅適用于極限過程未定型未定型, 若法則使用后仍為若法則使用后仍為未定型是使用法則求極限的未定型是使用法則求極限的前提前提. 或或00判別判別是否為是否為則法則可以重復(fù)使用則法則可以重復(fù)使用.法則同樣適用法則同樣適用.).()()(lim)()(0 或或axgxfnnxx)()(lim)3(0 xgxfxx)()(lim0 xgxfxx .)()(lim0 xgxfxx.)()(lim0 xgxfxx.)()(lim 0 xgxfxx 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4710解解00解解例例2 求極限求極限.123lim2331

10、 xxxxxx123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx66lim1x .23 00. 1 第二節(jié) 洛必達法則 例例1 1.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 注意：注意： 在多次使用洛必達法則時，一定要注意驗證在多次使用洛必達法則時，一定要注意驗證是否滿足條件是否滿足條件11:02:4711.lnlim3xxx 求求例例3解解xxxlnlim3xxxlncotlnlim0 xxxxxcos1limsinlim00 xxxxcossinlim0 .lncotlnlim0 xxx 求求例例

11、4解解 極限為極限為 未定型未定型, xxx/13lim2 33limxx 由洛必達法則有由洛必達法則有. 1 )(型型 . xxxx1)csc(cot1lim20 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4712解解)1ln(tanlim20 xxxxx xx2 20 01 13 31 1coslim xxxx2 20 03 31 1seclim （等價代換化簡）等價代換化簡）（洛必達法則）（洛必達法則）先用無窮小等價代換化簡，再用洛必達法則得先用無窮小等價代換化簡，再用洛必達法則得22031seclimxxx 30tanlimxxxx xxxx6sectan2lim20 .31 例例5 求極限求極

12、限.)1ln(tanlim20 xxxxx 第二節(jié) 洛必達法則 注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .)00( 型型11:02:4713應(yīng)單獨求應(yīng)單獨求.sincoslim30 xxxxx 求求xxxxxxsinlimcoslim 3 30 00 0例例6：為為 型型, 由洛必達法則有由洛必達法則有00解解xxxcos13lim20 說明說明：若：若 型或型或 型極限中含有型極限中含有非零因子非零因子,00 xxxxxsincoslim30 xxxsin6lim0 .6

13、可以簡化極限運算可以簡化極限運算.極限而不要參與洛必達法則運算極限而不要參與洛必達法則運算,xxxxsinlim30 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4714使用洛比達法則應(yīng)注意的問題：使用洛比達法則應(yīng)注意的問題：2.2.使用中要使用中要注意化簡注意化簡，以及將極限存在的因式進行，以及將極限存在的因式進行必要的必要的分離分離. .3.3.使用中要注意與使用中要注意與重要極限、無窮小等價代換重要極限、無窮小等價代換等其等其他求極限方法結(jié)合使用他求極限方法結(jié)合使用. .1.1.使用前必須判別是否為使用前必須判別是否為 未定式未定式. . 或或00第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4715由洛必達法則

14、得由洛必達法則得.5sin)31ln(lim0 xxx 求求由等價無窮小代換由等價無窮小代換, 得得例例7,00型型所所給給極極限限為為解解，又又xxxxx55sin,3)31ln(, 0 因為因為xxx5sin)31ln(lim0 xxx5sin)31ln(lim0 也可由等價代換求此極限也可由等價代換求此極限.53 xxx5cos5313lim0 .53 xxx53lim0 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4716二、其它未定式的極限 型型未未定定式式 0 01 1 .為型為型 未定型未定型. 0 若若 , )(lim, 0)(lim00 xgxfxxxx對于對于 型可將其化為型可將其化為

15、 型或型或 型未定型型未定型. 0 00)()(lim0 xgxfxx )(1)(lim0 xgxfxx .型型后后者者為為 )()(lim0 xgxfxx 則則)(1)(lim0 xfxgxx 型，型，前者為前者為00第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4717.lnlim0 xxx 求求例例8xxxlnlim0 解解xxx1lnlim0 )2.(1lim0 xxxx . 0 二、其它未定式的極限 11:02:47180101 .0000 型型 . 2步驟步驟: :例例9 9).1sin1(lim0 xxx 求求)( 例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000

16、 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟: :二、其它未定式的極限 11:02:4719:,)(lim .)(有有兩兩種種方方法法對對于于冪冪指指函函數(shù)數(shù)的的極極限限xgxf3 3)()(lim (1)xgxf,)( (2)(xgxfy 令令),0()(ln)(ln xfxgy則則.)(limlnlim)(yxgexf ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 )(ln)(limxfxge )0()(ln)(lim xfxge二、其它未定式的極限 11:02:4720例例10 xxx 0lim求求極極限限所求極限為所求極

17、限為 型未定式，型未定式， 00,xxy 令令yxlnlim0 xxx 0lim解解xxylnln 則則2011limxxx xxx1lnlim0 )(lim0 xx 0e 因為因為所以所以0limxxx ln0limxxxe 0lnlim1xxxe 20limxxxe 解法二解法二, 0 xxxeln0lim . 1 0e .1 xxxlnlim0 二、其它未定式的極限 11:02:4721例例11: 解：解：求極限求極限 xxx11lim xxx11lim xxxe 1ln1lim xxxe 1lnlimxxxxee 11lim111lim0e 0. 1 二、其它未定式的極限 11:02:

18、4722使用洛必達法則求極限時,應(yīng)注意: 但但(1)不存在不存在, 并不能斷定極限并不能斷定極限(2)也不存在。也不存在。 洛必達法則的核心是洛必達法則的核心是,如果極限如果極限( )lim()( )fxa org x 可以推出可以推出( )lim()( )f xa org x(1)(2)洛必達法則并非總有效應(yīng)改用其他方法應(yīng)改用其他方法此時，此時，(充分而非必要充分而非必要)討論。討論。只能說明該法則只能說明該法則失效失效。第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4723例例 證明證明 存在但不能用洛必達法則求解存在但不能用洛必達法則求解. .xxxxsinlim 解解xxxxsinlim )()si

19、n(lim xxxx所以，所給極限存在所以，所給極限存在該極限不存在該極限不存在. .因為因為1cos1limxx xxxsin1lim. 101 但由洛必達法則但由洛必達法則 xxcos1lim 因此，所給極限不能用洛必達法則求。因此，所給極限不能用洛必達法則求。 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4724201sin(1)limsinxxxx201sin(1)limsinxxxx 01limsinsinxxxxx0. 解解xxxxxxxcos)1(1cos1sin2lim220 201sin(1)limsinxxxxxxxxxcos1cos1sin2lim0 失效失效201sin(1)lim

20、sinxxxx xxxx1sinlim20 xxx1sinlim0 0. 解法二解法二00例例第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4825小結(jié) ,00型未定式型未定式 0型未定式型未定式 型未定式型未定式00,1 ,0 型未定式型未定式 一、基本類型：二、非基本類型： 洛必達法則 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:4826洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 第二節(jié) 洛必達法則 11:02:48271 1、利用極限的四則運算法則、利用極限的四則運算法則2 2、利用兩個重要極限、利用兩個重要極限3 3、利用無窮大與

21、無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)、利用無窮大與無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)4 4、利用利用;)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxxxxx 6 6、利用函數(shù)的連續(xù)性、利用函數(shù)的連續(xù)性7 7、利用洛必達法則、利用洛必達法則5 5、利用無窮小等價代換原理、利用無窮小等價代換原理8 8、利用導(dǎo)數(shù)定義、利用導(dǎo)數(shù)定義).(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法)()(lim0 00 0 xfxfxx 11:02:4828作業(yè)：作業(yè)：p147 1（1，3，5，7）11:02:4829 下次下次課內(nèi)容課內(nèi)容第三節(jié)第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用作業(yè)講評:xarcxxcot)11ln(lim).7(1 解解:)00(型型xarcxxcot)11ln