類換元積分法最新課件

1、類換元積分法PPT課件 (2)1第三節(jié) 第二類換元法類換元積分法PPT課件 (2)2問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果） 第二類換元法類換元積分法PPT課件 (2)3其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設(shè)設(shè))(tx 是

2、是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，定理定理2 2類換元積分法PPT課件 (2)4第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說說明明)(xF為為)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),類換元積分法PPT課件 (2)5例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sec

3、tax22ax .ln22Caaxax 2,2t類換元積分法PPT課件 (2)6例例2 2 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 類換元積分法PPT課件 (2)7例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantans

4、ec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 類換元積分法PPT課件 (2)8說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 類換元積分法PPT課件 (2)9 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情

5、況來定情況來定.說明說明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解類換元積分法PPT課件 (2)10例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx類換元積分法PPT課件 (2)11說明說明(3)(3) 當(dāng)分母的階較高時當(dāng)分母的階較高時, 可采用可采用倒代

6、換倒代換.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解類換元積分法PPT課件 (2)12例例7 7 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu 類換元積分法PPT課件 (2)13 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 類換元積分法PPT

7、課件 (2)14說明說明(4)(4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216類換元積分法PPT課件 (2)15 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 類換元積分法PPT課件 (2)16基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17(

8、Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 類換元積分法PPT課件 (2)17;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 類換元積分法PPT課件 (2)189例例dxxxx52322dxxxx521222dxxxdxxxx521522222) 1(2) 1(152)52(2222xdxxxxxdcxxx21arctan21)52ln(2類換元積分

9、法PPT課件 (2)1910例例xxdxsin22sin) 1(cossin2xxdx2cos2sin2413xxxd2cos2tan2tan412xxxd2tan2tan2tan1412xdxxCxx2tanln412tan812類換元積分法PPT課件 (2)2015334P習(xí)題習(xí)題雙數(shù)雙數(shù)A組B組(1)(2)類換元積分法PPT課件 (2)21思考題思考題求積分求積分.)1(ln)ln(dxxxxp 類換元積分法PPT課件 (2)22思考題解答思考題解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCp

10、xxp類換元積分法PPT課件 (2)23一、一、 填空題：填空題：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 則則 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax時，可作變量代換時，可作變量代換_ _，然后再求積分；，然后再求積分；3 3、 求求 dxxx211時可先令時可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；練練 習(xí)習(xí) 題題類換元積分法PPT課件 (2)247 7、 291xdx = =_)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_)1(2xd ；9 9、 dt

11、ttsin_；1010、 222xadxx_ . .二二、 求求下下列列不不定定積積分分： （第第一一類類換換元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；類換元積分法PPT課件 (2)253 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2

12、arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .類換元積分法PPT課件 (2)26三、三、 求下列不定積分：求下列不定積分： （第二類換元法）（第二類換元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、 dxxaxx2；5 5、設(shè)、設(shè) xdxntan, ,求證：求證： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .類換元積分法PPT課件 (2)27練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、-2-2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212；類換元積分法PPT課件 (2)287 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、