成人高考專升本《高等數(shù)學二》復(fù)習教程

1、第一講 函數(shù)、一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)2.極限3.連續(xù)二、題型與解法A. 極限的求法高等數(shù)學二復(fù)習教程連續(xù)與極限函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期） 幾類常見函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)） 極限存在性與左右極限之間的關(guān)系 夾逼定理和單調(diào)有界定理 會用等價無窮小和羅必達法則求極限 函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷 理解并會應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）（ 1）用定義求（ 2）代入法（對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（ 3）變量替換法（ 4）兩個重要極限法（ 5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（ 6）等價無窮小量替換法（ 7）洛必達法則與 Taylor 級數(shù)法（

2、 8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級數(shù)的性質(zhì)）1arcta n x xarcta n x x1. lim3 liX. . 0x3In(1 2x )2x3 *-1 （等價小量與洛必達）62已知 limSin6x3xf(x),求 lim6 f(x)x3x2x_ xx_刃2#lim sin 6x + xf (x)解：x0x3=limx _ 06cos6x f (x) xy'3x2#M -36sin6x 2y' xyx °6x-lim 一216cos6x 3y'' xyX 06#-2163y''(0)6y''(0) = 726 f

3、(x)2x72.362（重要極限）（洛必達）2xx J4已知a、b為正常數(shù),求 xim0(bx2x解：令t =（丄)ln t =3l n(ax2xbx) -ln233匹1nt二匹口阮M譏尹（ab）（變量替換）t 二(ab)3/2#15. lim/cos x)ln(1 x)1解：令 t = (cosx)ln(1 *), int1 ln(cosx)ln(1 +x )lim In t = lim tanx = _丄.t = e 4/2 (變量替換)xoxo 2x2xt f(t)dt6.設(shè) f'(x)連續(xù)，f(0) =0, f'(0) = 0，求 lim 十1x2J f(t)dt(洛必

4、達與微積分性質(zhì))_27.已知 f（X）二ln(cosx)x ,x0在x=0連續(xù)，求aa, x = 03三、補充習題(作業(yè))4#(洛必達)2. lim ctgx(X _ 01sin xX t2x 0 e dt(洛必達或Taylor)(洛必達與微積分性質(zhì))#基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導第二講導數(shù)、微分及其應(yīng)用1. y = y(x)由,x = arcta n t、2y _ty2 7 =5決定，求dydx一、理論要求1導數(shù)與微分導數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會求導(基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導) 會求平面曲線的切線與法線方程2微分中值定理理解 Roll、L

5、agrange、Cauchy、Taylor 定理 會用定理證明相關(guān)問題3應(yīng)用會用導數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能畫簡圖 會計算曲率(半徑)二、題型與解法A.導數(shù)微分的計算#2. y = y(x)由 ln(x2 y) =x'y sin x決定，求 魚 |x=0 = 1 dx解：兩邊微分得 x=0時y = ycosx二y，將x=0代入等式得y=1B.曲線切法線問題3. y = y(x)由2xy = x y 決定，則 dy|(ln2 1)dx4求對數(shù)螺線'=e7在(J R =(e二/2,二/2)處切線的直角坐標方程。解：丿'9 Ax = e cos 燈仃/ 2日

6、j(x, yHeNQe )，y'ji/ -1 y =e sin 日5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6，f(6)處的切線方程。解：需求f (6), f'(6)或f (1), f'(1)，等式取x->0的極限有：f(1)=0f (1 +sin x) _3 f (1 _sin x) limx3si nxsinx-lim f(1 t f(1) . 3f(1-t)-f(1)_ tmottC.導數(shù)應(yīng)用問題= 4f' (1) =8.f'(1)=2.

7、y=2(x-6)6已知 y 二 f (x)對一切x 滿足 xf''(x)2xf'(x)2若f'(Xo) =O(Xo =0)，求(xo,yo)點的性質(zhì)。5#D.幕級數(shù)展開問題解：令xx3代入，f''（x。）=7. y 2， (x-1)2x0e"x°j>O,x° >0，故為極小值點。> 0, X0 £ 0求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點、漸進線。解：定義域 x （-：,1）（1,：）y' = 0=駐點 x = 0及 x = 3y'' = 0=拐點x=0; x=1:鉛垂；

8、y=x，2:斜8求函數(shù)y =（x-1）e二/2航曲的單調(diào)性與極值、漸進線。解：y' = x2 7e：/2 翻nx =駐點 x = 0與x = -11 +X2漸：y=e (x-2)與y=x-2d x29.sin(x t) dt 二 sin x1(X_t)2(2n4)sin(x-t)2 =(x-t)2(x-t)6-(T)n-3!(2n 1)!sin(x-t)2dt -(x-t)3 丄(x_t)7 亠 亠(-1)n1 ° °、33!7(4n -1)(2n+1)!X21317sin(x -t) x x033!7x4n4sin(x-t)2dt =x2 -丄x6dx 03!:1

9、) *(4n1)(2 n+1)!2(2n -4)爲(T)n_Xsinx2(2n + 1)!d 02d x 22或： x t = u ： sin u (du)sin u du 二 sin xdx xdx 010.求 f(x) =x2l n(1 x)在 x=0 處的 n 階導數(shù) f (n)(0)65x+3E.不等式的證明(n)(0) =(-1)2n!n -211.設(shè)x (0,1)23n 2解：x21 n(1 x)=x2(xXX(_i)n上o(xn-)23n 2nn 1 xn(-1) o o(x )n 27#2 2 1 111求證(1 x)1n (1 x) ： x ,1 ：In 2In(1+x)x2

10、證：1 )令 g(x) = (1 x)In2(1 x) -x2,g(0) = 0g'(x),g''(x),g'''(x)摯 込 0,g'(0)= g''(0) = 0(1 +x).x (0,1)時g''(x)單調(diào)下降，g''(x) ： 0,g'(x)單調(diào)下降 g'(x) ： 0, g(x)單調(diào)下降，g(x) : 0;得證。1 12)令 h(x),x (0,1), h'(x) ： 0,單調(diào)下降，得證。F.中值定理問題In (1 + x) x12.設(shè)函數(shù)f (x)在-1，

11、具有三階連續(xù)導數(shù)，且f(_1)= 0, f(1)=1，f'(0) = 0,求證：在(-1, 1)上存在一點，使f'''() = 31 2 1 3 證：f (x)二 f(0)f'(0)x f''(0)x f'''( )x!3!其中 (0,x),x -1,11 10 = f(-1) = f (0)f''(0) - f'''( 1)將x=1，x=-1代入有26111 二 f(1) = f (0)f''(0)f'''( 2)26兩式相減：f&#

12、39;''( 1) f'''( 2) =6 11，2, f'"( )f'"( 1) f'"( 2) =32222413. e a : b e ，求證：In b Tn a 2 (b a)e、.f(b) f(a)證：Lagrange :f ()b -a8#令 f(x)In2 b -In2 a =In x,-2lnb a#三、補充習題（作業(yè)）令(t)二lntln2 b - In2 a,'：0. ）（e2）.丄4不(b - a)e（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）22e1 -x31. f (x) =ln_，求y

13、9;'(0) = r1+x2=etsin 2t亠從小斗2曲線t 在(0,1)處切線為y+2x1=0y = e cos2t1i3. y =xln(e - -)(x0)的漸進線方程為y二xxe2 24. 證明 x>0 時(x -1)Inx_(x-1)2證：令 g(x) =(x2-1)lnx -(x-1) ,g'(x),g''(x),g'''(x)二22(x -1)3xg(1) =g'(1) =0, g''(1) =20xE(0,1),g“'£0,g、2x (1,0,g'' 2 g

14、'' 0 =X (0,1),g'c0 嚴(1 嚴),g、0第三講不定積分與定積分一、理論要求1不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會求不疋積分（基本公式、線性、湊微分、換兀技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導數(shù)求法會求定積分、廣義積分會用定積分求幾何問題（長、面、體）會用定積分求物理問題（功、弓1力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計算fdxfdx. x - 2 丄小1. arcs inC-x(4 _ x)4 _ & _ 2)222. e2x (tan x 1)2 dx = e2x sec2

15、xdx 2 e2x tan xdx 二 e2x tan x C3.設(shè) f (ln x)二 一，求 f (x)dx10B.積分性質(zhì)解:f(x)dx 二4.ln(1 e )_xx、=e_ ln(1 e )(1dxxe1 ex)dx = x -(1 e" ) In( 1 ex) C:arctanx ,1,2 dx = arcta n x1x2x2X + didx2In+15. f (x)連續(xù)，®(X)= |0在X = 0的連續(xù)性。f (x)f (xt)dt,且 limi=A，求(x)并討論'(x)1.11x0 f(y)dy 解：f(0) =(0) =0, y 二 xt=(

16、x)二-0-x'(x)二xf(x)-J(y)dy(0)/”(0rA/2(0)2xm6.加宀皿dd2dxx220 f(y)d(y)=xf(x )x0 f(x2 -t2)d(t2 -X2)1.#厶u入C.積分的應(yīng)用3a 27設(shè) f (x)在0,1連續(xù),在(0,1 )上 f (x) A 0 ,且 xf'(x) = f (x) + x , 2又f (x)與x=1,y=0所圍面積S=2。求f (x)，且a=?時S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解：2 ( f(X)=西二 f (x 3a x2 ex 常 f(x)dx=2. c = 4 a dx x 2203a 212.f(x) x (4-1)x V&

17、#39;=(二 o y dx)'=0. a - -58曲線y =、x -1，過原點作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。2L解：切線y = x/ 2繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為° 2二yds = 5二 .2廠曲線y二x-1繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為2二yds(5、5-1)1 6總表面積為.(1V.5 -1)6三、補充習題(作業(yè))In sin x.2sin xdx 二-cot x In sin 2x - cot x - x C2. 一 dxx -6x 131.123.arcs in x13#第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何、理論要求1向量代數(shù)理解向量的概念（單

18、位向量、方向余弦、模）2多元函數(shù)微分了解兩個向量平行、垂直的條件 向量計算的幾何意義與坐標表示理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導數(shù)、全微分概念能熟練求偏導數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導法3. 多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會用Lagra nge乘數(shù)法求極值4空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會求平面、直線方程與點線距離、點面距離、題型與解法A.求偏導、全微分1. f（X）有二階連續(xù)偏導,z = f (ex sin y)滿足 zzyy = e2xz，求#f(x)解：f”_f =0= f (u) = Geu c2e1.： 2z2. z

19、f(xy) y (x y),求 -x；xyB.空間幾何問題C.極值問題3. y 二 y(x),z 二 z(x)由z 二 xf(x y), F (x, y,z)二 0決定，求 dz/ dx4. 求z = : a上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之和。解：x/ . x0y/. y0 z/. z0 二 Ja二 d =a2 2 25. 曲面x2y 3z -21在點(1,-2,2)處的法線方程。6. 設(shè) z = z(x, y)是由 x26xy 10y22yzz2 18 二 0確定的函數(shù)，求z = z(x, y)的極值點與極值。三、補充習題（作業(yè)）§21.f（xy,-） g（y）,求'二

20、y xcxcy2.z 二 f (xy,xg*),求蘭y x 次3. z 二 u ,u = In . x2 y2, 二 arctan*,求dzx第五講多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計算方法(直角、極、柱、球) b y2(x)I 沖心 f(x,y)dyd-f(x, y)dxdy =Dy1(x)r2(T2 f(rc)rdrJJJf (x, y,z)dxdydz= “Vb y2(x)z2(x,y)dx dy f (x, y, z)dzy1(x)3 S1(x,y)'，八 /z202(z)r2(z£dz d9 f a$1咱(z)”r1(z,日d j d :f (r

21、, v, Jr2 sin drbMg v 7f (rj,z)rdr會用重積分解決簡單幾何物理問題(體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量)z 二 f(x,y)二 A 二 D 1 z'x z'：dxdy2曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系,L f (x,y)dl -L: y = y(x) -"x = x(t)y = y(t) 一Pf (r cos日，r sinL:r = r(v)=掌握兩類曲線積分的計算方法(f(x, y(x)J + y'xdx ;.'f(x(t), y(t),x'2 y'idt 小 r2 r'2d v3曲面積分熟

22、悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件理解兩類曲面積分的概念(質(zhì)量、通量) 、關(guān)系 熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分人"(x,y)f (x, y,z)dS = UDxy f(x,y,z(x,y)J'i +z'2+z'2dxdyGauss:sE dS ： iii ； EdV(通量，散度)Stokes: ；F dr 二 s0 F) dS(旋度)二、題型與解法A.重積分計算1.1= ff(x +y )dV,0 為平面曲線 *2v 2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與 z=8x = 015#2z n 1024:r rdr =03的圍域。82282H解：

23、"0 " y2z(Xy)dxdyJdz0 dj#2.=仏一2寸4a -x-x2 (a0)dxdy, D 為 y = _a , a2 -y216#y 二-x 圍域。(I = a12)3. f (x,y)二廣 2x y,1 Ex 蘭 2,0 蘭 y Exo,其他，22求 II f (x, y)dxdy, D : x y - 2x (49/20)B.曲線、曲面積分4. I = (exsin y -b(x y)dx (ex cosy-ax)dyLL從A(2a,0)沿y = 2ax -x2至0(0,0)解:I = 1L L12a兀i : .i i(b -a)dxdy - 0 (-bx

24、)dx =(L1D2-2)a2b -25. I=，L詈罟丄為以(訕為中心，R( J)為半徑的圓周正向。解:2x = r cos&取包含(0,0)的正向L1:丿，y = r sin 日- -0JJL1L丄16對空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S,I xf (x)dydz - xyf (x)dzdx -e2xzdxdy = 0，且 f (x)在 x>0 有連續(xù)一S= -L1階導數(shù)，Jim f(x)=1,求 f (x)。解: 0=?F dS = 垮FdV = JJb(f(x)+xf'(x) xf(x)e2x)dVy'(丄 _1)y =丄 e2x 二 y = d(ex

25、T)xx第六講常微分方程一、理論要求1一階方程2高階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法會求 y"n)= f(x), y''二 f (x, y')(y'二 p(x),y''二 f (y,y')(y'二 p(y)173二階線性常系數(shù)人學入2 t yi =Ciex *20護yi =(ci +C2X)e'x儕次）2y'' py' q 二 0二， p,；” -q = 018/.:氏-i 卩 j yi = e x (ci cos x C2 sin : x)式 kT y2 = Qn

26、(X)eXf(x) = Pn(x)e” =心=鮎o臥2 t= Qn (x)xX(非齊次)a =鮎 and2 t y =Qn(x)x2ezxf(x)二ex(pi (x)cos ：x pj (x)sin -x)ot 士iBH&T y2 =ea(qn(x)cos+rn(x)sinEx(非齊二丿a土iB=T yxe(qn(x)corn(x)sinBx(n = max(, j)次)二、題型與解法A.微分方程求解2 2 2求 (3x 2xyy )dx (x2xy)dy = 0 通 解#(xy223-x y _x=c)2利用代換yucosx化簡 y''cosx-2y'sinx

27、 3ycosx = ex并求通解。#(u'' Vu =exxe2c2 sin x5 cosxcos2xy = cicosx#13設(shè)y =y(x)是上凸連續(xù)曲線，(x,y)處曲率為，且過(0,1)處y'1 + y'2切線方程為y=x+i，求y =y(x)及其極值。11解：y'' y'2 1 = 0= y = In | cos( - x) | 1 In 2, ymax = 1 In 2422三、補充習題（作業(yè)）yAx上1已知函數(shù)y=y(x)在任意點處的增量 yo(.)x), y(0)=理,求y(1)。e4)1 +x11. 求 y'&#

28、39;-4y=e2x 的通解。(y = qe “ c2e2xxe2x)43求(y . x2y2 )dx -xdy =0(x 0), y(1) =0 的通解。(y =(x2 T)21 14求 y''-2y'-e2x =0,y(0) =y'(0) =1 的特解。(y(3 2x)e2x44第七講無窮級數(shù)一、理論要求1收斂性判別級數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項級數(shù)、幾何級數(shù)、p級數(shù)斂散條件正項級數(shù)的比較、比值、根式判別法交錯級數(shù)判別法2幕級數(shù)幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法幕級數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項微積分）Taylor 與 Maclaulin 展開3

29、.Fourier 級數(shù)了解Fourier級數(shù)概念與 Dirichlet收斂定理 會求-1,丨的Fourier級數(shù)與0,1正余弦級數(shù)第八講線性代數(shù)一、理論要求1. 行列式2. 矩陣會用按行（列）展開計算行列式幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨） 矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的幕、方陣乘積的行列式 矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價 用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會計算矩陣的特征值與特征向量 理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的沖要條件掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3.向量理解n維向量、向量的線性

30、組合與線性表示 掌握線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別理解并向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩 了解基變換與坐標變換公式、過渡矩陣、施密特方法 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件 理解齊次、非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法5.二次型二次型及其矩陣表示，合冋矩陣與合冋變換二次型的標準形、規(guī)范形及慣性定理掌握用正交變換、配方法化二次型為標準形的方法 了解二次型的對應(yīng)矩陣的正定性及其判別法第九講概率統(tǒng)計初步一、理論要求1.隨機事件與概率了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的關(guān)系與運算 會計算古

31、典型概率與幾何型概率2隨機變量與分布3二維隨機變量4數(shù)字特征5.大數(shù)定理6數(shù)理統(tǒng)計概念7. 參數(shù)估計8. 假設(shè)檢驗第十講總結(jié)1.極限求解掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式理解隨機變量與分布的概念理解分布函數(shù)、離散型隨機變量、連續(xù)型變量的概率密度掌握0-1、二項、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會求分布函 數(shù)理解二維離散、連續(xù)型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布理解隨機變量的獨立性及不相關(guān)概念掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布理解期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念 掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會求隨機變量的數(shù)學期望 了解切比雪夫不等

32、式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理 了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩了解 2分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念了解正態(tài)分布的常用抽樣分布掌握矩估計與極大似然估計法了解無偏性、有效性與一致性的概念，會驗證估計量的無偏性會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間掌握假設(shè)檢驗的基本步驟了解單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗變量替換(r -作對數(shù)替換)，洛必達法則，其他(重要極限，微積分性質(zhì)，級數(shù)，等價小量替換)1a2a(n 1) aa1. lim (x ) (x ) . (x) = x(幾何級nnn2數(shù)

33、)2. lim (Zarccosx)1" =e®2(對數(shù)替換)X - 0 二ta nP!im(2-x) 222#n nn -1(x -a ) na (x a) lim廠x-a(x _ a)#2導數(shù)與微分3元函數(shù)積分1 -cos2x c2，x <0x6. f (x)=4, x = 0xcostdt- (x 0)x，求 lim f (x)X孚復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導1. （a）x（b）a（b'b x ay2. arctanx-sin（x-y）=0， x求 dy/dxX et COSt 決定函數(shù) y = y(x)，求 dy y = e si nt2 2 24.已知