高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時達標檢測四十九 圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5課時達標檢測（四十九）課時達標檢測（四十九） 圓錐曲線中的定點、定值、存在圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題性問題一般難度題一般難度題全員必做全員必做1(20 xx鄭州質(zhì)檢鄭州質(zhì)檢)已知動圓已知動圓 m 恒過點恒過點(0,1)，且與直線，且與直線 y1 相切相切(1)求圓心求圓心 m 的軌跡方程；的軌跡方程；(2)動直線動直線 l 過點過點 p(0，2)，且與點，且與點 m 的軌跡交于的軌跡交于 a，b 兩點，點兩點，點 c 與點與點 b 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸對稱，求證：直線對稱，求證：直線 ac 恒過定點恒過定點解：解：(1)由題意得，點由題意得，點 m 與點與

2、點(0,1)的距離始終等于點的距離始終等于點 m 到直線到直線 y1 的距離，由拋物的距離，由拋物線的定義知圓心線的定義知圓心 m 的軌跡是以點的軌跡是以點(0,1)為焦點為焦點，直線直線 y1 為準線的拋物線為準線的拋物線，則則p21，p2.圓心圓心 m 的軌跡方程為的軌跡方程為 x24y.(2)設(shè)直線設(shè)直線 l：ykx2，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 c(x2，y2)，聯(lián)立，聯(lián)立x24y，ykx2，消消去去 y 整理得整理得 x24kx80，x1x24k，x1x28.kacy1y2x1x2x214x224x1x2x1x24，直線，直線 ac 的方程為的方程為 yy1x1x24

3、(xx1)即即 yy1x1x24(xx1)x1x24xx1 x1x2 4x214x1x24xx1x24，x1x28，yx1x24xx1x24x1x24x2，即直線，即直線 ac 恒過定點恒過定點(0,2)2在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xoy 中，已知點中，已知點 a(x1，y1)，b(x2，y2)是橢圓是橢圓 e：x24y21 上的上的非坐標軸上的點，且非坐標軸上的點，且 4koakob10(koa，kob分別為直線分別為直線 oa，ob 的斜率的斜率)(1)證明：證明：x21x22，y21y22均為定值；均為定值；(2)判斷判斷oab 的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明

4、理由的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由解：解：(1)證明：依題意，證明：依題意，x1，x2，y1，y2均不為均不為 0，則由則由 4koakob10，得，得4y1y2x1x210，化簡得化簡得 y2x1x24y1，因為點因為點 a，b 在橢圓上，在橢圓上，所以所以 x214y214，x224y224，把把 y2x1x24y1代入代入，整理得整理得(x214y21)x2216y21.結(jié)合結(jié)合得得 x224y21，同理可得，同理可得 x214y22，從而從而 x21x224y22x224，為定值，為定值，y21y22y21x2141，為定值，為定值(2)soab12|oa|ob

5、|sinaob12x21y21 x22y22 1cos2aob12x21y21 x22y221 x1x2y1y2 2 x21y21 x22y22 12 x21y21 x22y22 x1x2y1y2 212|x1y2x2y1|.由由(1)知知 x224y21，x214y22，易知，易知 y2x12，y1x22或或 y2x12，y1x22，soab12|x1y2x2y1|12|12x212y21|x214y2141，因此因此oab 的面積為定值的面積為定值 1.3(20 xx廣州惠州調(diào)研廣州惠州調(diào)研)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左的左、右焦點分別為右焦點分別為 f1(1,0

6、)，f2(1,0)，點，點 a1，22 在橢圓在橢圓 c 上上(1)求橢圓求橢圓 c 的標準方程；的標準方程；(2)是否存在斜率為是否存在斜率為 2 的直線的直線，使得當直線與橢圓使得當直線與橢圓 c 有兩個不同交點有兩個不同交點 m，n 時時，能在直能在直線線 y53上找到一點上找到一點 p，在橢圓，在橢圓 c 上找到一點上找到一點 q，滿足，滿足 pm nq？若存在，求出直線的方？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由程；若不存在，說明理由解：解：(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 c 的焦距為的焦距為 2c，則，則 c1，因為因為 a1，22 在橢圓在橢圓 c 上，所以上，所以 2a|af1|af2

7、|2 2，因此因此 a 2，b2a2c21，故橢圓故橢圓 c 的方程為的方程為x22y21.(2)不存在滿足條件的直線，證明如下：設(shè)直線的方程為不存在滿足條件的直線，證明如下：設(shè)直線的方程為 y2xt，設(shè)設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，px3，53 ，q(x4，y4)，mn 的中點為的中點為 d(x0，y0)，由由y2xt，x22y21，消去消去 x，得，得 9y22tyt280，所以所以 y1y22t9，且，且4t236(t28)0，故故 y0y1y22t9，且，且3t3.由由pm nq得得x1x3，y153 (x4x2，y4y2)，所以有所以有 y153y4y2，y4y1y2532

8、9t53.又又3t3，所以，所以73y4b0)的右焦點為的右焦點為 f(1,0)，右頂點右頂點為為a，且，且|af|1.(1)求橢圓求橢圓 c 的標準方程；的標準方程；(2)若動直線若動直線 l： ykxm 與橢圓與橢圓 c 有且只有一個交點有且只有一個交點 p， 且與直且與直線線x4 交于點交于點 q，問，是否存在一個定點，問，是否存在一個定點 m(t,0)，使得，使得mpmq0.若存在，求出點若存在，求出點 m 的坐的坐標；若不存在，說明理由標；若不存在，說明理由解：解：(1)由由 c1，ac1，得，得 a2，b 3，故橢圓故橢圓 c 的標準方程為的標準方程為x24y231.(2)由由yk

9、xm，3x24y212，消去消去 y 得得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即，即 m234k2.設(shè)設(shè) p(xp，yp)，則，則 xp4km34k24km，ypkxpm4k2mm3m，即，即 p4km，3m .m(t,0)，q(4,4km)，mp4kmt，3m ，mq(4t,4km)， mp mq4kmt(4t)3m(4km)t24t34km(t1)0 恒成立，故恒成立，故t10，t24t30，解得解得 t1.存在點存在點 m(1,0)符合題意符合題意2(20 xx河北質(zhì)檢河北質(zhì)檢)已知橢圓已知橢圓 e：x2a2y2b21 的右焦點為的右焦點為

10、f(c,0)，且且 abc0，設(shè)短軸設(shè)短軸的一個端點為的一個端點為 d，原點，原點 o 到直線到直線 df 的距離為的距離為32，過原點和，過原點和 x 軸不重合的直線與橢圓軸不重合的直線與橢圓 e 相相交于交于 c，g 兩點，且兩點，且| gf| cf|4.(1)求橢圓求橢圓 e 的方程；的方程；(2)是否存在過點是否存在過點 p(2,1)的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 e 相交于不同的兩點相交于不同的兩點 a，b 且使得且使得 op24 pa pb成立？若存在，試求出直線成立？若存在，試求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由的方程；若不存在，請說明理由解：解：(1)由橢圓的對稱性知由橢

11、圓的對稱性知| gf| cf|2a4，a2.又原點又原點 o 到直線到直線 df 的距離為的距離為32，bca32，bc 3，又又 a2b2c24，abc0，b 3，c1.故橢圓故橢圓 e 的方程為的方程為x24y231.(2)當直線當直線 l 與與 x 軸垂直時不滿足條件軸垂直時不滿足條件故可設(shè)故可設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線直線 l 的方程為的方程為 yk(x2)1，代入橢圓方程得，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k12.x1x28k 2k1 34k2，x1x216k216k834k2， op24 pa pb，即即 4(x

12、12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5，416k216k834k228k 2k1 34k24(1k2)444k234k25，解得解得 k12，k12不符合題意，舍去不符合題意，舍去存在滿足條件的直線存在滿足條件的直線 l，其方程為，其方程為 y12x.較高難度題較高難度題學(xué)霸做學(xué)霸做1如圖，已知橢圓如圖，已知橢圓x24y231 的左焦點為的左焦點為 f，過點，過點 f 的直線的直線交橢圓于交橢圓于 a，b 兩點兩點，線段線段 ab 的中點為的中點為 g，ab 的中垂線與的中垂線與 x 軸軸和和 y 軸分別交于軸分

13、別交于 d，e 兩點兩點(1)若點若點 g 的橫坐標為的橫坐標為14，求直線，求直線 ab 的斜率；的斜率；(2)記記gfd 的面積為的面積為 s1，oed(o 為原點為原點)的面積為的面積為 s2.試問：是否存在直線試問：是否存在直線 ab，使得，使得 s1s2？說明理由？說明理由解：解：(1)由條件可得由條件可得 c2a2b21，故，故 f 點坐標為點坐標為(1,0)依題意可知，直線依題意可知，直線 ab 的斜率存在，設(shè)其方程為的斜率存在，設(shè)其方程為 yk(x1)，將其代入，將其代入x24y231，整理得整理得(4k23)x28k2x4k2120.設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，

14、所以，所以 x1x28k24k23.故點故點 g 的橫坐標為的橫坐標為x1x224k24k2314，解得解得 k12，故直線故直線 ab 的斜率為的斜率為12或或12.(2)假設(shè)存在直線假設(shè)存在直線 ab，使得使得 s1s2，顯然直線顯然直線 ab 不能與不能與 x，y 軸垂直軸垂直，即直線即直線 ab 斜率斜率存在且不為零存在且不為零由由(1)可得可得 g4k24k23，3k4k23 .設(shè)設(shè) d 點坐標為點坐標為(xd,0)因為因為 dgab，所以，所以3k4k234k24k23xdk1，解得解得 xdk24k23，即，即 dk24k23，0.因為因為gfdoed，所以，所以 s1s2|gd

15、|od|.所以所以k24k234k24k2323k4k232|k24k23|，整理得整理得 8k290.因為此方程無解，所以不存在直線因為此方程無解，所以不存在直線 ab，使得，使得 s1s2.2(20 xx廣西陸川縣模擬廣西陸川縣模擬)已知橢圓已知橢圓 d：x2y2b21 的左焦點為的左焦點為 f，其左，右頂點為，其左，右頂點為 a，c，橢圓與，橢圓與 y 軸正半軸的交點為軸正半軸的交點為 b，fbc 的外接圓的圓心的外接圓的圓心 p(m，n)在直線在直線 xy0 上上(1)求橢圓求橢圓 d 的方程；的方程；(2)已知直線已知直線 l：x 2，n 是橢圓是橢圓 d 上的動點上的動點，mnl，

16、垂足為垂足為 m，問問：是否存在是否存在點點n，使得，使得fmn 為等腰三角形？若存在，求出點為等腰三角形？若存在，求出點 n 的坐標；若不存在，請說明理由的坐標；若不存在，請說明理由解：解：(1)由題意知，圓心由題意知，圓心 p 既在邊既在邊 fc 的垂直平分線上，也在邊的垂直平分線上，也在邊 bc 的垂直平分線上，的垂直平分線上，f(c,0)，則邊，則邊 fc 的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為 x1c2，因為邊因為邊 bc 的中點坐標為的中點坐標為12，b2 ，直線，直線 bc 的斜率為的斜率為b，所以邊所以邊 bc 的垂直平分線的方程為的垂直平分線的方程為 yb21bx12 ，聯(lián)立聯(lián)

17、立，解得，解得 m1c2，nb2c2b，因為因為 p(m，n)在直線在直線 xy0 上，所以上，所以1c2b2c2b0，即即(1b)(bc)0，因為因為 1b0，所以，所以 bc.由由 b21c2，得，得 b2c212，所以橢圓，所以橢圓 d 的方程為的方程為 x22y21.(2)由由(1)，知，知 f22，0，橢圓上的點的橫坐標滿足，橢圓上的點的橫坐標滿足1x1，設(shè)設(shè) n(x，y)，由題意得，由題意得 m( 2，y)，則則|mn|x 2|，|fn|x222y2，|mf|12y2.若若|mn|fn|，即，即|x 2|x222y2，與，與 x22y21 聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得 x 21，顯然不符合條件；，顯然不符合條件；若若