D37洛必達法則課件

1、D37洛必達法則3. 7. 3 3. 7. 3 其其 他他 未未 定定 式式 的的 定定 值值 法法 3. 7. 1 3. 7. 1 未未 定定 式式 的的 分分 類類3. 7. 2 3. 7. 2 商商 類類 洛洛 比比 達達 法法 則則 3 . 7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛 必 達 法 則 第 3 章 D37洛必達法則 0limor0 xfxg x 型微分中值定理微分中值定理函數(shù)之商的極限函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 limxfxgx洛必達 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本節(jié)內(nèi)容概述：本節(jié)內(nèi)容概述： Cauchy中值公式中值公式D37洛必達法則3.7.1

2、 3.7.1 未定型的分類未定型的分類設(shè)設(shè)000,xxx limlim0;xxfxgx未定型一般未定型一般分為以下幾類：分為以下幾類：1 . 商商 類類：00.（ 型）型）若若 lim,lim;xxfxg x .（ 型）型）若若2 . 積積 類類： lim0,lim;xxfxg x 0. .（ 型）型） 若若 0lim,(0,( ,( ) )xfxgxxNgx limxfx g xD37洛必達法則3. . 和和 類類 ：.（ 型）型）若若 lim1,lim;xxfxg x lim, lim;xxfxg x .(.( 型）型）若若4. . 冪冪 類類 ：1.（ 型）型）若若 limlim0;xx

3、fxg x00.（ 型）型） 若若 lim,lim0;xxfxg x 0 limxfxg x lim, (0)g xxfxfxD37洛必達法則3. 7. 2 3. 7. 2 商類洛比達法則商類洛比達法則 lim0lim;xxfxg x limxfxgx limxfxg x 0,( ) ,xNfxg x 0;g x定理：定理： (洛必達法則洛必達法則) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 0型設(shè)設(shè) ,fxg x在在0(,( )N 內(nèi)內(nèi)有定義，有定義，均可導(dǎo)且均可導(dǎo)且存在存在 ( 收斂或者收斂或者 ) ；）若若 lim.xfxgxD37洛必達法則( 位于位于證明證明: :取取 * *000,f

4、 xg x此時此時00,hNx 顯然顯然 ,fxgx在以在以Cauchy 定理的條件，定理的條件， 00fhfhfxg hg hg x fg 0limxfg為端點的閉區(qū)間上滿足為端點的閉區(qū)間上滿足機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 010,x此時，此時，0000, ( ),:0,NNxxxx 由由）知）知 ,fxgx在在00,Nx內(nèi)必連續(xù)，內(nèi)必連續(xù)，0 x是是 ,fxgx的可去間斷點，的可去間斷點， ,fxgx在在0,Nx內(nèi)必連續(xù)。內(nèi)必連續(xù)。0,xh0,xh之間）之間）由由）知）知令令故0limxxfxgx0lim.xxfxgxC-公式公式D37洛必達法則2取取 01lim1tftgt lim

5、xfxg x01 1tx此時，此時，00( ,( )(,):,1 ,NNXxxX X 由由01l i m1tttftgt0limt 01lim1tftgt1xt lim.xfxgx 211ftt 211gtt 類似地，可證類似地，可證 * * 取另外四種情形時定理也是成立的。取另外四種情形時定理也是成立的。 證畢證畢D37洛必達法則例例 1. . 00 00332132li1.mxxxxxx解解: :原式原式1 limx注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 limx6x

6、62x 求求1limx.231limx332xx321xxx233x2321xxD37洛必達法則例例2. . 00解解: :原式原式 lim x 221limxxx211x21x2lim02xxx 思考思考: 如何求如何求 ( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求求21arctam.nlinxx21arctanlimnnn.1D37洛必達法則例例3. . 0ln cos2limln co.s3xxx 00 00解解: :原式原式0 limx. 02 lim3xsin 2xsin 3x2cos2x3 sin 3co s 3xx2 sin 2c o s 2xx02 li

7、m3x3 cos 3x例例4. . 解解: :原式原式1 limx211limln.xxxxx2ln11xx02cos3sin2limlim3cos2sin3xxxxx計算計算 00計算計算.49D37洛必達法則例例5. . 00 f x000202lim.xf xxf xf xxx 解解: :0 limx 0012fxfx01 lim2x 2x00fxxfx0 xx在在處二階可導(dǎo)，處二階可導(dǎo)，00fxxfxx 00fxxfx xx01 lim2x 00fxxfx00fxxfxxx 0.fx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)計算極限計算極限原式原式D37洛必達法則定理定理 ,f xg x : limxfxg x l

8、im.xfxgx(洛必達法則洛必達法則)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,N 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，都在都在 0,xNfxgx 0;gx均存在，且均存在，且存在存在）型型若若（收斂或者收斂或者）；）； ,limxf x ;limxfx limxfxgxD37洛必達法則證證 明：明： 0limxxfxgx收斂的情形收斂的情形: 0limxxfxgx0 limxx 1gx 1f x0 limxx 21gxgx)()(12xfxf 02limxxfxgxg xfx 002limlimxxxxfxgxg xfx 001limlimxxxxfxgxg xfx 00limlim;xxxxfxfxg xgx從而從而機動 目錄

9、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00()1）先證）先證考慮取考慮取 * *0,x 0limxxfxgx收斂于一非零的常數(shù)，收斂于一非零的常數(shù)，（）若若則有則有D37洛必達法則（）若）若0 ,k 0im0,lxxf xg x 0limxxf xkg x則取常數(shù)則取常數(shù) ,0 k 0limxxfxk g xg x 0limxxfxk g xg x0( )lim( )xxfxkg x 00limli.mxxxxf xfxg xgx由由 中結(jié)論中結(jié)論機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0limxxfxkgxgxD37洛必達法則2 ) 再證再證 0limxxf xg x 0limxxf xg x 0im0,l

10、xxg xf x的情形：的情形：完全類似完全類似: 分別取分別取之一時之一時,只須將定理中的條件只須將定理中的條件 2) 作相應(yīng)的修改作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立。定理仍然成立。00;xx 定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由已證由已證 1）的）的 （）得：）得： 0limxxg xfx0從而從而 0limxxfxg x*為為定理證畢定理證畢 0limxxfxgx; 0limxxgxfxD37洛必達法則例例 6. . lnlim,xxx解解: :原式原式x1limxx0.例例 7. . 解解: : 原式原式0.limxxxa limxxxa 11limlnxxaa 1 ,0a機動 目錄

11、上頁 下頁 返回 結(jié)束 0（其中：（其中： 均為常數(shù)）均為常數(shù)）lim x ln x11limxxx求求求求 ,limxxxa（其中：（其中：為常數(shù)）為常數(shù)）D37洛必達法則例例 8. . 求求 ;1 sinlim.xxxx 解解: :原式原式lim x sinxx1coslim.1xxx但原極限：但原極限：sinlimxxxxsin1lim1xxx例例9. . 求求shlimlim.chxxxxxxxxeeee解解: :原式原式lim xxxeechlimshxxxshlim.chxxx xxee但原極限：但原極限：221lim1xxxeeshlimlimchxxxxxxxeexee(發(fā)散發(fā)

12、散)(循環(huán)循環(huán))（收斂收斂）（收斂收斂） .1D37洛必達法則3. 7. 3 3. 7. 3 其他未定式的定值法其他未定式的定值法0lin,mlxxx00型;型;00 型; 1型;0 -型;解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例 5. . 解解: : 原式原式0lnlimnxxx101limnxxn x 0limnxxn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 未定式的形式：未定式的形式：計算計算 （其中：（其中：0為常數(shù)）為常數(shù)）.0D37洛必達法則解解: 原式原式21sinlimcoscosxxxxxxxcossin1lim22coslimsinxxx例例1

13、0. 求求2lim sean.ctxxx 00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化.0D37洛必達法則例例11.11. 求求.lim0 xxx解解: : xxx0limln0limxxxe0e1例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0(0 )1ln0limxxxe10lnlimxxxe()1102limxxxe0limxxeD37洛必達法則例例12. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: :注意到注意到xsin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203t

14、anlimxxxxx22tan1sec31x型00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則nnnneln11例例13. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 為用洛必達法則為用洛必達法則 , 必須改求必須改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必達法則用洛必達法則型0但對本題用此法計算很繁但對本題用此法計算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式原式例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則對使用洛比達法則的說明：對使用洛比達法則的說明：0 limxfxgx001 . 法

15、則只適應(yīng)商類的不定式，其他類型的不定式，法則只適應(yīng)商類的不定式，其他類型的不定式，須化為商類后才能用該方法；須化為商類后才能用該方法；2 . 法則可多次連續(xù)使用，但要注意滿足定理的條件；法則可多次連續(xù)使用，但要注意滿足定理的條件；3 . 數(shù)列極限可轉(zhuǎn)化成相應(yīng)函數(shù)的極限用此法則計算；數(shù)列極限可轉(zhuǎn)化成相應(yīng)函數(shù)的極限用此法則計算；4 . 使用該法則的過程中，要兼顧其它求極限的方法，使用該法則的過程中，要兼顧其它求極限的方法，將其綜合使用；將其綜合使用；6 . 型化為型化為或或視具體形式而定，視具體形式而定，使其導(dǎo)函數(shù)簡單，便于極限的計算；使其導(dǎo)函數(shù)簡單，便于極限的計算；5 . 當(dāng)當(dāng)不存在或循環(huán)時，洛

16、比達法則失效，不存在或循環(huán)時，洛比達法則失效，但原極限仍可能存在；但原極限仍可能存在；原則上是原則上是D37洛必達法則內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達法則洛必達法則型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取對數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè))()(limxgxf是未定式極限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的極限也不存在 ? 舉例說明 .極限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(x

17、x)03(2123分析分析:D37洛必達法則分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxxx20sin)sin(coslimD37洛必達法則,1xt 則2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則求下列極限 :;)11ln(lim)

18、12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt備用題備用題ttt21lim11021)1(xt 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則令,12xt 則ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必達法則)(繼續(xù)用洛必達法則)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則xxxxxcossec)1l

19、n(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不為正整數(shù)的情形.nx從而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夾逼準(zhǔn)則kx1kx存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達

20、法則洛必達洛必達(1661 1704)法國數(shù)學(xué)家, 他著有無窮小分析(1696), 并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達法的擺線難題 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 , 在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”. 他在15歲時就解決了帕斯卡提出機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則作業(yè)作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D37洛必達法則定理（( )lim( )xf xg x證證: 0( )lim( )xxf xg x僅就極限收斂的情形加以證明 .( )lim( )xfxgx(洛必達