第十六章--選修4-1幾何證明

1、第十六章 幾何證明（選修4-1）基礎(chǔ)知識(shí)1 .相似三角形與平行線等分線段定理：2. 圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。3. 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。4. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。5. 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 6. 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論

2、2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。7. 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。8射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，直角邊是這條直角邊在斜邊的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖：，9. 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）幾何語(yǔ)言：若弦交于點(diǎn)P，則（相交弦定理）證明： (圓周角定理)，(圓周角定理) PBCPDA (兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似) ,既10切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)幾何語(yǔ)言：若切于點(diǎn)A，是的割線，

3、則（切割線定理）推論 （切割線定理推論）(割線定理）證明：連接=(弦切角定理) =(公共角)PABPAC (兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似)則： 即： 典型例題題型一：三角形性質(zhì)FABCDEMl例1.如圖，是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)分別與相交于點(diǎn)若，則 ABCDE練習(xí)1.如圖,在和中,若與的周長(zhǎng)之差為,則的周長(zhǎng)為_(kāi).題型二：弦切角，圓周角，射影定理例2（1）如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，與相切, 切點(diǎn)為，則 .（2）如圖，圓的直徑，直線與圓相切于點(diǎn)， 于D，若，設(shè)，則_練習(xí)2.如圖，是的高，是外接圓的直徑。若，則圖中與相等的角是 ， 題型三：相交弦定理和切割線定理例3（1）如圖,已知圓中兩條弦

4、與相交于點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,若與圓相切,則線段的長(zhǎng)為 .（2）如圖，已知和是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線相交于.過(guò)點(diǎn)作的平行線與圓交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),，則線段的長(zhǎng)為 . 練習(xí)3.（1）如圖，切于點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，且與直徑交于點(diǎn)，則 （2）【2015高考天津理】如圖，在圓 中， 是弦 的三等分點(diǎn)，弦 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) .若 ，則線段 的長(zhǎng)為( )（A） （B）3 （C） （D） （3）【2015高考湖北理】如圖，是圓的切線，為切點(diǎn)，是圓的割線，且，則 . （4）【2015高考廣東文】如圖，為圓的直徑，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，過(guò)作直線的垂線，垂足為若，則 來(lái)源:Z*xx*k.Co

5、m題型四：幾何證明綜合問(wèn)題例4.（1）【2015江蘇高考】如圖，在中，的外接圓圓O的弦交于點(diǎn)D求證：ABCEDO（2）【2015高考新課標(biāo)2理】 如圖，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于、兩點(diǎn)與底邊上的高交于點(diǎn)，與、分別相切于、兩點(diǎn)GAEFONDBCM （）證明：；（） 若等于的半徑，且，求四邊形的面積練習(xí)4.（1）【2015高考陜西理】如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，垂足為（I）證明：；（II）若，求的直徑（2）【2015高考新課標(biāo)1】如圖AB是O直徑，AC是O切線，BC交O與點(diǎn)E.（I）若D為AC中點(diǎn)，求證：DE是O切線；（II）若 ，求的大小.課后練習(xí) 1.如圖,為外接圓的切線,的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn),分別為弦與弦上的點(diǎn),且,四點(diǎn)共圓.()證明:是外接圓的直徑;()若,求過(guò)四點(diǎn)的圓的面積與外接圓面積的比值.2.如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明:(I) (II)3.（2014新課標(biāo)1理）如圖，四邊形ABCD是