全等三角形判定經(jīng)典

1、11.2 三角形全等的判定adbc ef（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“sss”；表示abdeacdf方法：如下列圖，在 abc 和 def 中， abc def（sss）；bcef，例 1. 如下列圖， ab cd， ac db；求證： abc dcb；adbc分析： 由已知可得 ab cd，ac db，又由于 bc 是兩個(gè)三角形的公共邊， 所以依據(jù) sss可得出 abc dcb；證明： 在 abc 和 dcb 中，ab cdac db，bccb abc dcb （sss）評(píng)析： 證明格式：點(diǎn)明要證明的兩個(gè)三角形；列舉兩個(gè)三角形全等的條件（留意寫在前面的三角形，條件也

2、放在前面），用大括號(hào)括起來(lái)；條件依據(jù) “ sss”次序排序；得出結(jié)論，并把判定的依據(jù)注在后面；1（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或bebcef“ asa ”；表示方法：如下列圖，在abc 和 def 中， abc def（ asa ）；cf ，例 2. 如下列圖， ab cd，afde， becf，求證： ab cd；abefcd分析： 要證明 ab cd，由于 ab 、cd 分別是 abf 和 dce 的邊，可嘗試證明 abf dce，由已知易證： b c， afb dec ，下面只需證明有一邊對(duì)應(yīng)相等即可；事實(shí)上，由 becf 可證得 bfce，由 asa

3、即可證明兩三角形全等；證明： ab cd， b c（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又 afde， afc deb（同上） afb ced（等角的補(bǔ)角相等）又 becf， be ef cfef，即 bfce在 abf 和 dce 中，bcbfce已證 已證 afbced已證 abf dce（ asa ）ab cd（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2（3）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角a db e角邊”或“ aas ”；表示方法：如下列圖，在abc 和 def 中， abc def（aas ）；bcef ，例 3. 如下列圖， rt abc 中， acb 90°，ac b

4、c，ad cd 于 d，bfcd 于 f，ab 交 cd 于 e，求證： ad bf df；adefc b分析：要證 ad bfdf，觀看圖形可得 cfcddf，只需證明 cfad ，cdbf 即可，也就是要證明 cfb adc ；由已知 bcac ， cfb adc 90°，只要再證明有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等即可，由bfcd， acb 90°，易證得 cbf acd ，問(wèn)題便得到證明；證明： acb 90°， bfcd acd bcd90°， cbf bcd 90° cbf acd （同角的余角相等） 又 ad cd， cfb adc 90

5、6;cbfacdcfbadc在 cfb 和 adc 中，bcac（已知） cfb adc （ aas ）cfad ，bfcd （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 又 cfcd dfad bfdf評(píng)析：由條件 ac bc 和垂直關(guān)系可得， ac、bc 為兩個(gè)直角三角形的斜邊， 仍需要一對(duì)角相等即可用aas 證三角形全等；由條件可用余角性質(zhì)轉(zhuǎn)換角度證 明角相等；3（ 4） 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“sas”；abdebe表示方法：如下列圖，在abc和 def中，（ sas）；bcef ， abc defa例 4. 已知：如下列圖， ab de， b def，bebd c

6、f；求證： ac df；cadbecf分析：欲證 ac df，可通過(guò)證明 acb f，由平行線的判定定理即可得證；而 acb 與 f 分別是 abc 和 def 的內(nèi)角，所以應(yīng)先證明 abc def；由 becf 易得 bcef，再結(jié)合已知條件ab de， b def 即可達(dá)到目的；證明： becf，beeccfec，即 bc ef；abdeabcdef在 abc 和 def 中，bcef， abc def（ sas）； acb f；ac df；評(píng)析： 通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等可以供應(yīng)角相等、線段相等，進(jìn)而解決其它問(wèn)題；這里大括號(hào)中的條件依據(jù)“sas”次序排列4（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩

7、個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“ hl ”；表示方法：如下列圖，在rtabc 和 rtdef 中，ab de，bcef， rtabc rt def（hl ）；adbcef留意：三角形全等的判定方法中有一個(gè)必要條件是：有一組對(duì)應(yīng)邊相等；兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情形，可以畫圖試驗(yàn)，如下圖，在abc 和 abd中， ab ab ，ac ad ， b b，明顯它們不全等；三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不肯定全等，如兩個(gè)大小一樣的等邊三角形；5例 5. 如下列圖， rt abc 中， c90°， ac 10cm，bc5cm，一條線段 pqab ，p、q 兩點(diǎn)分別在 ac 上和過(guò)

8、a 點(diǎn)且垂直于 ac 的射線 am 上運(yùn)動(dòng)；問(wèn)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ac 上什么位置時(shí)， abc 才能和 pqa 全等？mqbcap分析： 要使 abc 與 pqa 全等，由于 c paq90°， pqab ，就只需 apcb 或 apca ，由 hl 即可知道它們?nèi)龋?從而簡(jiǎn)單確定p 點(diǎn)的位置；解： 由題意可知， c paq 90°，又 ab pq， 要使 abc pqa，就只需 ap cb 或 apca 即可，從而當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)至 ap5cm，即 ac 中點(diǎn)時(shí)， abc qpa； 或點(diǎn) p 與點(diǎn) c 重合時(shí)，即 apca 10cm 時(shí)， abc pqa；評(píng)析： 要證某兩個(gè)三

9、角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探究出來(lái)；解決這類題要從結(jié)論動(dòng)身， 借助相關(guān)的幾何學(xué)問(wèn)， 探討出訪結(jié)論成立所需的條件，從而使問(wèn)題得以解決； 此題中涉及到分類爭(zhēng)論的思想，要求同學(xué)們分析摸索問(wèn)題要全面，把各種情形都考慮到；例 6. 如圖， abc 和 ebd 都是等腰直角三角形， a 、b、d 三點(diǎn)在同始終線上，連結(jié) cd、ae ，并延長(zhǎng) ae 交 cd 于 f；（1）求證： abe cbd ；（2）直線 ae 與 cd 相互垂直嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；分析： 依據(jù)已知條件易得ab bc，be bd ，abc cbd 90°正好是 abe 和 cbd 全等的條件；對(duì)于ae 與 cd 垂

10、直關(guān)系的證明需要推證出 cfa90°；證明：（1） abc 和 ebd 都是等腰直角三角形，ab cb，be bd ， abc cbd 90° abe cbd（ ssa）（2）aecd，在 abe 和 cef 中， eab ecf， aeb cef， 且 abe90°， ecf cef eab aebc ecf cef180°（ eab aeb ） 即 afc abe 90°aecd；ef評(píng)析：利用已知，結(jié)合圖形探究三角形全等的條件，逐步分析解決問(wèn)題，把握解題思路；a bd6拓展提高1.07北京中考 我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

11、類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特別四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；a（2）如圖，在 abc 中，點(diǎn) d， e 分別在 ab，ac 上，1de設(shè) cd， be 相交于點(diǎn) o ，如a60°，dcbebca 2o請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與a 相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形bc是等對(duì)邊四邊形；（ 3）在 abc 中，假如a 是不等于60°的銳角，點(diǎn)d，e分別在ab，ac 上，且dcbebc你的結(jié)論1.解：1a 探究：滿意上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明 2（ 1）平行四邊形、等腰梯形等滿意條件的即可.（ 2）與 a 相等

12、的角是bod（或 coe）四邊形 dbce是等對(duì)邊四邊形.（ 3）此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形dbce.證明 1：如圖，作cg be于 g點(diǎn)，作 bf cd交 cd的延長(zhǎng)線于f 點(diǎn). dcb=1ebc=2 a，bc為公共邊 bgc cfb bf=cg bdf=abc+ dcb= abe+ ebc+ dcb= abe+ a gec=abe+ a bdf ceg bd=ce故四邊形dbce是等對(duì)邊四邊形；證明 2：如圖，在be上取一點(diǎn)f，使得 bf=cd，連接 cf.易證 bcd cbf，故 bd=cf， fcb=dbc. cfe= fcb+ cbf=dbc+ cbf= abe+2 cbf= abe+ac

13、ef= abe+ a cf=ce bf=ce故四邊形dbce是等對(duì)邊四邊形.72.09宣武一模 已知等邊三角形abc中，點(diǎn) d、e、f 分別為邊 ab、ac、bc的中點(diǎn)， m為直線 bc上一動(dòng)點(diǎn)， dmn為等邊三角形（點(diǎn)m 的位置轉(zhuǎn)變時(shí)， dmn也隨之整體移動(dòng)）（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) m在點(diǎn) b 左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你連結(jié)en，并判定 en與 mf有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn) f 是否在直線 ne上？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由；（ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) m在 bc上時(shí)，其它條件不變， （1）的結(jié)論中 en與 mf的數(shù)量關(guān)系是否仍舊成立 . 如成立，請(qǐng)利用圖2 證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3）如圖 3，如點(diǎn) m在點(diǎn)

14、 c 右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判定（ 1）的結(jié)論中 en與 mf的數(shù)量關(guān)系是否仍舊成立 . 如成立 , 請(qǐng)直接寫出結(jié)論；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由adebmfcnadebnmfcade ebfcm（第 23 題圖 1）（第 23 題圖 2）（第 23 題圖 3） 2解：（ 1）判定：en=mf ，點(diǎn) f 在直線 ne 上證明：如答圖1, 連結(jié) de、df 、ef abc 是等邊三角形， ab=ac=bc 又 d、e、f 是三邊的中點(diǎn)，a de、df 、ef 為 abc 的中位線 de=df=ef ， fde= dfe 60° dmn 是等邊三角形， mdn 60°， dm=dn fde nd

15、f= mdn+ ndf ， mdf= nde debfmpcn在 dmf 和 dne 中， df=de ， mdf= nde ， dm=dn ，（第 23 題答圖1） dmf dne mf=ne 設(shè) en 與 bc 交點(diǎn)為 p，連結(jié) nf 由 abc 是等邊三角形且d 、f 分別是 ab 、bc 的中點(diǎn)可得 dbf 是等邊三角形， mdn= bdf 60°,a8den mdn bdn = bdf bdn ，即 mdb= ndf.在 dmb 和 dnf 中， dm=dn ， mdb= ndf ， db=df ， dmb dnf dbm= dfn abc =60°， dbm =

16、120° ， nfd =120°.（第 23 題答圖 2） nfd+ dfe =120°+60°=180°. n、f、e 三點(diǎn)共線， f 與 p 重合，f 在直線 ne 上4 分（ 2）成立；證明：如答圖2，連結(jié) de 、df、 ef abc 是等邊三角形，ab=ac=bc 又 d ，e， f 是三邊的中點(diǎn)，nade ， df， ef 為 abc 的中位線de=df=ef ， fde=60° 又 mdf+ fdn=60° ，dende+ fdn=60° ， mdf= nde 在 dmf 和 dne 中， df=de

17、 ，mdf= nde ， dm=dn ，bfcm dmf dne mf=ne 6 分（ 3） mf=ne 仍成立7 分（第 23 題答圖9°°3.09崇文一模 在等邊 d abc 的兩邊 ab、ac所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n，d 為vabc 外一點(diǎn)，且. mdn60 ,. bdc120,bd=dc.探究：當(dāng) m、n 分別在直線 ab、ac上移動(dòng)時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng) l 的關(guān)系d amn的周長(zhǎng) q與等邊d abc圖 1圖 2圖 3（ i ）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) m、n 邊 ab、ac上，且 dm=dn時(shí)， bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) q = ；

18、l（ ii ）如圖 2，點(diǎn) m、n 邊 ab、ac上，且當(dāng) dm1 dn時(shí)，猜想（ i ）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論仍成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（ iii） 如圖 3，當(dāng) m、n分別在邊 ab、ca的延長(zhǎng)線上時(shí)，如 an=x ，就 q= （用 x 、l 表示）3.解：（i）如圖 1， bm 、nc 、mn 之間的數(shù)量關(guān)系bm+nc=mn此時(shí)q2 l3（ ii ）猜想：結(jié)論仍舊成立證明：如圖，延長(zhǎng)ac 至 e，使 ce=bm ，連接 de bdcd ,且bdc120dbcdcb30又abc 是等邊三角形，mbdncd90o 在mbd 與ecd 中：bm mbdbdceecd dcmbdecd sas 1

19、0dm=de,bdmcdeednbdcmdn60在mdn 與edn 中：dm mdndndeedn dnmdnedn sas mn=ne=nc+bmamn 的周長(zhǎng) q=am+an+mn=am+an+nc+bm=am+bm+an+nc=ab+ac=2ab而等邊abc 的周長(zhǎng) l=3abq2ab2.l3ab3（ iii ）如圖 3，當(dāng) m 、n 分別在 ab 、 ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)，如an= x ，就 q=2 x + 2 l3（用 x 、 l 表示）11課堂試題 （答題時(shí)間： 60 分鐘） 一. 挑選題a.有兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等b.有三邊分別對(duì)應(yīng)相等c. 有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等d.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等

20、2. 以下條件能判定兩個(gè)三角形全等的是（）a.有三個(gè)角相等b.有一條邊和一個(gè)角相等c. 有一條邊和一個(gè)角相等d.有一條邊和兩個(gè)角相等1. 以下條件不能判定兩個(gè)三角形全等的是（）ab cd第8題3. 如下列圖，已知ab cd，ad bc，那么圖中共有全等三角形（）a. 1 對(duì)b. 2 對(duì)c. 4 對(duì)d. 8 對(duì)ado4. 如下列圖，已知 a d， 1 2，那么要得到 abc def，仍應(yīng)給出的條件是（）a. e bb. ed bcc. abefd. af cdbc第3題5. 如下列圖，點(diǎn) e 在 abc 外部，點(diǎn) d 在 bc 邊上， de 交 ac 于 f，如 1e 2， e c，ae ac

21、，就 （）a2a. abc afe b. afe adc1fc. afe dfc d.abc adeb3cd第5題6. 我們學(xué)過(guò)的判定兩個(gè)直角三角形全等的條件，有（）a. 5 種b. 4 種c. 3 種ed. 2 種7. 如下列圖， ab efcd， abc 90°，ab dc，那么圖中的全等三角形有（）a. 1 對(duì)b. 2 對(duì)c. 3 對(duì)d. 4 對(duì)af1d2cb第4題8. 如圖，在 abc 中，ab ac ，ad bc，垂足為 d，且 bc 6cm，就 bd的值（）a. 1cmb. 2cmc. 3cmd. 4cm12adecbf第7題9. 如 圖 所 示 ， de ab ， df

22、 ac ， ae af ， 就 下 列 結(jié) 論 成 立 的 是（）a. bd cdb. de dfc. b cd. ab acaefbdc第9題二. 填空題10. 如下列圖， ac bd， ac bd ，那么 ，理由是 .bcoda第10題11. 已知 abc a'b'c' ，ab 6cm， bc 7cm，ac 9cm， a' 70°， b'80°，就 a'b' ，b'c' ， a'c' c' ， c .12. 如下列圖， 已知 ab ac ，在 abd 與 acd 中，要使 a

23、bd acd ， 仍需要再添加一個(gè)條件是 .a13. 如下列圖，已知 abc def，ab 4cm，bc6cm， bac 5cm， cf 2cm， a 70°， b 65°，就 d ， f ，de ， be .dc第12題14. 如圖，點(diǎn) d、e 分別在線段 ab 、ac 上，be、cd 相交于點(diǎn) o，ae ad ，要使 abe acd ，需添加一個(gè)條件是 （只要求寫一個(gè)條件） .1315. 如圖，ac 、bd 相交于點(diǎn) o，a d，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件， 使得 aob doc，你補(bǔ)充的條件是 .三. 解答題16. 已知：如圖， 1 2， c d，求證： ac ad.ca1b

24、217. 如圖， a 、e、b、d 在同始終線上，在abc和 def中， ab de，ac df，ac ddf. （1）求證： abc def；（2）你仍可以得到的結(jié)論是 （寫出一個(gè)即可，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其它字母）feadbc18. 你肯定玩過(guò)蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn) o 上下轉(zhuǎn)動(dòng)， 立柱 oc 與地面垂直 . 當(dāng)一方著地時(shí)， 另一方上升到最高點(diǎn) . 問(wèn)： 在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過(guò)程中，兩人上升的最大高度aa' 、bb' 有何數(shù)量關(guān)系？為什 么？14a'b'oabc19. mn 、pq 是校內(nèi)里的兩條相互垂直的小路，小強(qiáng)和小明分別站在距交叉口c 等距離的 b、e 兩處，這時(shí)他們分別從b、e 兩點(diǎn)按同一速度沿直線行走，如下列圖，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，同時(shí)到達(dá)a 、d 兩點(diǎn)，他們的行走路線ab 、de 平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由 .m20. 有一塊不規(guī)章的魚池，下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的aepbcq dn能夠粗略地測(cè)量出魚池兩端a 、b 的距離的方案， 請(qǐng)你分析一下兩種方案的理由.方案一：小明想出了這樣一個(gè)方法，如圖所示，先在 ab 的垂線 bf 上取兩點(diǎn) c、d，使 cdbc，再定出 bf 的垂線 de，使 a 、c、e 在同一條直線上， 測(cè)得 de 的長(zhǎng)就是 ab 的長(zhǎng). 你能說(shuō)明一下這是為什么嗎？方案二