第七章 平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

1、第七章 平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法基本內(nèi)容一、概述1、 時(shí)間序列取自某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果此隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化，則我們稱(chēng)過(guò)程是平穩(wěn)的；假如該隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化，則稱(chēng)過(guò)程是非平穩(wěn)的。2、 寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：設(shè)時(shí)間序列，對(duì)于任意的,和，滿(mǎn)足：則稱(chēng)寬平穩(wěn)。 3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。他們的工作為實(shí)際工作者提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，以及對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計(jì)上的完善性和牢固的理論基礎(chǔ)。 4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regre

2、ssive），移動(dòng)平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。（1） 自回歸模型AR(p)：如果時(shí)間序列滿(mǎn)足其中是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿(mǎn)足：， 則稱(chēng)時(shí)間序列服從p階自回歸模型?；蛘哂洖椤?平穩(wěn)條件：滯后算子多項(xiàng)式的根均在單位圓外，即的根大于1。（2） 移動(dòng)平均模型MA(q)：如果時(shí)間序列滿(mǎn)足 則稱(chēng)時(shí)間序列服從q階移動(dòng)平均模型?；蛘哂洖?。 平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。 （3） ARMA(p,q)模型：如果時(shí)間序列滿(mǎn)足則稱(chēng)時(shí)間序列服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型?；蛘哂洖?。特殊情況：q=0,模型即為A

3、R(p)，p=0, 模型即為MA(q)。二、時(shí)間序列的自相關(guān)分析1、自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方法，它簡(jiǎn)單易行、較為直觀(guān)，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初步地識(shí)別平穩(wěn)序列的模型類(lèi)型和模型階數(shù)。利用自相關(guān)分析法可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。2、自相關(guān)函數(shù)的定義：滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為：，則的自相關(guān)函數(shù)為：，其中。當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫(xiě)為：。3、 樣本自相關(guān)函數(shù)為：，其中，它可以說(shuō)明不同時(shí)期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到1之間，值越接近于1，說(shuō)明時(shí)間序列的自相關(guān)程度越高。4、 樣本的偏自相關(guān)函數(shù)： 其中，。5、 時(shí)間序列的隨

4、機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則： 若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性； 若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外，則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。6、 判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是：若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時(shí)都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性。7、 ARMA模型的自相關(guān)分析 AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自相關(guān)函數(shù)拖尾。MA(q)模

5、型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾。這兩個(gè)性質(zhì)可以分別用來(lái)識(shí)別自回歸模型和移動(dòng)平均模型的階數(shù)。ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的。三、單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)1、單位根檢驗(yàn)利用迪基福勒檢驗(yàn)（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯佩榮檢驗(yàn)（Philips-Perron Test）,我們也可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性，這是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗(yàn)方法，與前者不同的事，后一個(gè)檢驗(yàn)方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況。隨機(jī)游動(dòng)如果在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中，的每一次變化均來(lái)自于一個(gè)均值為零的獨(dú)立同分布，即隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足：，其中獨(dú)立同

6、分布，并且： ，稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)游動(dòng)。它是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程。單位根過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足：，其中，為一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程并且，。2、協(xié)整關(guān)系如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其某個(gè)現(xiàn)性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時(shí)間序列間就被稱(chēng)為有協(xié)整關(guān)系存在。這是一個(gè)很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法和Johansen協(xié)整檢驗(yàn)法可以測(cè)定時(shí)間序列間的協(xié)整關(guān)系。四、ARMA模型的建模1、模型階數(shù)的確定 基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法對(duì)于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)。具體方法如下：i、對(duì)于每一個(gè)q,計(jì)算 ，（M取為或者），考察其中

7、滿(mǎn)足或者的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。如果，都明顯地異于零，而，均近似于零，并且滿(mǎn)足上述不等式之一的的個(gè)數(shù)達(dá)到其相應(yīng)的比例，則可以近似的判定是步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列為MA()。ii、類(lèi)似，我們可通過(guò)計(jì)算序列，考察其中滿(mǎn)足或者的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。即可以近似的判定是步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列為AR().iii、如果對(duì)于序列和來(lái)說(shuō)，均不截尾，即不存在上述的和，此時(shí)屬于情況iii，則可以判定平穩(wěn)時(shí)間序列為ARMA模型。此外常用的方法還有：基于F-檢驗(yàn)確定階數(shù)；利用信息準(zhǔn)則法定階（AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則）2、模型參數(shù)的估計(jì)初估計(jì)i、 AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walke

8、r估計(jì)特例：對(duì)于一階自回歸模型AR(1)，對(duì)于二階自回歸模型AR(2)， 。ii、MA(q)模型參數(shù)估計(jì)特例：對(duì)于一階移動(dòng)平均模型MA(1), ，對(duì)于二階移動(dòng)平均模型MA(2)， 。iii、ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)模型很復(fù)雜，一般利用統(tǒng)計(jì)分析軟件包完成。精估計(jì)ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計(jì)，一般采用極大似然估計(jì)，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，無(wú)法直接給出參數(shù)的極大似然估計(jì)，只能通過(guò)迭代方法來(lái)完成，這時(shí)，迭代初值常常利用初估計(jì)得到的值。3、ARMA(p,q)序列預(yù)報(bào) 設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列是一個(gè)ARMA(p,q)過(guò)程，則其最小二乘預(yù)測(cè)：。i、AR(p)模型預(yù)測(cè)，ii、ARMA(p,q)模型預(yù)測(cè) ，其中。iii、