平面向量知識點與習題

1、學習必備歡迎下載平面向量必修 4第2章平面向量§ 2.1 向量的概念及其表示重難點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量，掌握平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系考綱要求：了解向量的實際背景理解平面向量的概念及向量相等的含義理解向量的幾何表示經(jīng)典例題：下列命題正確的是（）A. 與共線，與共線，則與c 也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行當堂練習：1.下列各量中是向量的是()A. 密度B.體積C.重力D.質(zhì)量2 下列說法中正確的是（）A. 平行向量就是

2、向量所在的直線平行的向量B. 長度相等的向量叫相等向量C. 零向量的長度為零D.共線向量是在一條直線上的向量3設(shè) O 是正方形 ABCD 的中心，則向量 AO 、OB 、CO 、OD 是（）A 平行向量B 有相同終點的向量C相等的向量D模都相同的向量4.下列結(jié)論中 ,正確的是()A.零向量只有大小沒有方向B. 對任一向量 a ,| a |>0 總是成立的C.|AB|=|BA|D. | AB |與線段 BA 的長度不相等5.若四邊形 ABCD 是矩形 ,則下列命題中不正確的是()A.AB與CD共線B.AC與BD相等C.AD與 CB 是相反向量D.AB 與 CD 模相等6已知 O 是正方形

3、ABCD 對角線的交點，在以O(shè)， A， B， C，D 這 5 點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，（ 1）與 BC 相等的向量有；學習必備歡迎下載（ 2）與 OB 長度相等的向量有；（ 3）與 DA 共線的向量有7在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長度相等的向量是相等向量；平行于同一個向量的兩個向量是共線向量中， 不正確的命題是并對你的判斷舉例說A明E8如圖，O 是正方形 ABCD 對角線的交點， 四邊形 OAED ，OCFB都是正方形，在圖中所示的向量中：D（ 1）與 AO 相等的向量有；（ 2）寫出與 AO 共線的向有；（ 3）寫出與

4、 AO 的模相等的有；（ 4）向量 AO 與 CO 是否相等？答9O 是正六邊形 ABCDE 的中心，且 OAa ， OBb ， ABc ，在以 A， B， C，D ，E， O 為端點的向量中：（ 1）與 a 相等的向量有；FBFOCEDCO（ 2）與 b 相等的向量有；A（ 3）與 c 相等的向量有B10在如圖所示的向量 a ， b ， c ， d ， e中（小正方形的邊長為1），是否存在：（ 1）是共線向量的有；（ 2）是相反向量的為；（ 3）相等向量的的；（ 4）模相等的向量11如圖， ABC 中， D ，E， F 分別是邊 BC ，AB ，CA 的中點，在以A、B 、C、D 、E、F

5、為端點的有向線段中所表示的向量中，（ 1）與向量 FE 共線的有AFEBDC學習必備歡迎下載（ 2）與向量DF的模相等的有（ 3）與向量ED相等的有12如圖，中國象棋的半個棋盤上有一只“馬”，開始下棋時，它位于A 點，這只 “馬 ”第一步有幾種可能的走法？試在圖中畫出來若它位于圖中的 P 點，這只 “馬 ”第一步有幾種可能的走法？它能否從點 A 走到與它相鄰的 B ？它能否從一交叉點出發(fā)， 走到棋盤上的其它任何一個交叉點？必修 4第2章平面向量§ 2.2 向量的線性運算重難點：靈活運用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則解決向量加法的問題，利用交換律和結(jié)合律進行向量運算；靈活運用三角

6、形法則和平行四邊形法則作兩個向量的差，以及求兩個向量的差的問題；理解實數(shù)與向量的積的定義掌握實數(shù)與向量的積的運算律體會兩向量共線的充要條件考綱要求：掌握向量加法，減法的運算，并理解其幾何意義掌握向量數(shù)乘的運算及其意義。理解兩個向量共線的含義了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義經(jīng)典例題：如圖，已知點D, E, F 分別是ABC 三邊 AB, BC , CA 的中點，求證： EA FB DC0 .當堂練習：1 a、 b為非零向量，且| a b| | a | | b| ，則（）A a與 b 方向相同B a bC abD a與 b方向相反2設(shè) ( ABCD )( BCDA ) a ，而 b是一非零向量，

7、則下列各結(jié)論：a / b；學習必備歡迎下載 aba ； ab b； a bab，其中正確的是（）A BCD 3 3在 ABC 中， D 、E、 F 分別 BC 、CA 、 AB 的中點，點 M 是 ABC 的重心，則MAMBMC 等于（）A OB 4MDC 4MFD 4ME4已知向量 a與 b 反向，下列等式中成立的是（）A | a | | b | | a b | B | a b | | a b |C | a | | b | | a b | D | a | | b | | a b |5若 a b c化簡 3(a 2b) 2(3bc)2(ab)（）A aB bC cD 以上都不對6已知四邊形 A

8、BCD 是菱形，點 P 在對角線 AC 上（不包括端點A、C），則 AP =（）( ABBC ).2)A (ABAD ).(0,1)(0,B2( ABAD ).(0,1)( ABBC ).(0,2 )CD27已知 | OA |a |3 ， | OB | | b |3 ， AOB=60 ，則 | ab |_ 。8當非零向量 a和 b滿足條件時，使得 ab 平分 a 和 b 間的夾角。9如圖， D、 E、F 分別是ABC 邊 AB 、 BC、CA 上的中點，則等式：C FDDAAF0 FDDEEF0FE DEDABE0 ADBEAF0ADB學習必備歡迎下載10若向量 x 、 y滿足 2 x 3 y

9、 a,3 x2 y b， a 、 b 為已知向量，則x =_ ； y=_ 11一汽車向北行駛 3 km，然后向北偏東60 方向行駛 3 km ，求汽車的位移 .12.如圖在正六邊形ABCDEF 中，已知： AB =a,AF =b,試用a b、 表示向量 BC ,CD , AD，BE.必修 4第2章平面向量§ 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示重難點：對平面向量基本定理的理解與應用；掌握平面向量的坐標表示及其運算考綱要求：了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標表示會用坐標表示平面向量的加法，減法于數(shù)乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件經(jīng)典例題：已知點A( x

10、,0), B(2 x,1), C (2, x), D (6,2 x) 求實數(shù) x 的值，使向量AB 與 CD 共線；學習必備歡迎下載當向量 AB 與 CD 共線時，點A, B, C , D 是否在一條直線上？當堂練習：1若向量a=(1,1),b=(1, 1),c=( 1,2)，則 c 等于（）13133131A 2 a2 b B 2 a2 b C 2 a2 b D2 a+ 2 b2若向量 a=(x 2,3)與向量 b=(1,y+2) 相等，則（）A x=1,y=3 B x=3,y=1Cx=1,y= 5D x=5,y= 13已知向量 a(3,4), b(sin, cos), 且 a b ，則 t

11、an= （）3344A 4B 4C 3D 34已知ABCD 的兩條對角線交于點E，設(shè) ABe1 ，ADe2 ，用 e1 ,e2 來表示 ED的表達式（）1 e11 e21 e11 e21e1A 22B 22C 25已知兩點P（， 6）、（ 3，），點成的比為 ，則 、的值為（）1112 e2D 2 e12 e27P（ 3 ，）分有向線段P1 P2 所1111A 4 ，8B 4 ，8C 4，8D4， 86 下列各組向量中：e1( 1,2) e1 (3,5) e1 (2, 3) e2 (5,7)e2 (13e2 (6,10),)24有一組能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正學習必備歡迎下載確

12、的判斷是 A （B ）C D 7若向量a =（2， m）與b =（m， 8）的方向相反，則m 的值是8已知a =（ 2，3）， b=（ -5， 6），則 | a + b |=， | a - b |=9設(shè) a =（2，9），b=（ ,6），c =(-1, ),若 a + b = c ,則 =10ABC的頂 點A(2 ，3)，B( 4，2)和重心G(2，, = 1) ，則.C點坐標為.11已知向量e1、 e2 不共線，(1) 若 AB =e1 e2， BC =2e1 e2， CD =3e1 e2，求證： A 、B 、 D 三點共線 .(2) 若向量 e1 e2 與 e1 e2 共線，求實數(shù) 的值

13、.12如果向量 AB =i 2j, BC =i+mj, 其中 i、j 分別是 x 軸、 y 軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù) m 的值使 A 、 B 、C 三點共線 .必修 4第2章平面向量§ 2.4 平面向量的數(shù)量積重難點：理解平面向量的數(shù)量積的概念，對平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)的理解考綱要求：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量數(shù)量積于向量投影的關(guān)系掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系經(jīng)典例題：在ABC 中，設(shè) AB2,3 , AC1, k , 且 ABC 是直角三角形，求 k 的學習必

14、備歡迎下載值當堂練習：1已知 a =（ 3，0），b =（ -5，5）則 a 與 b 的夾角為（）A450B、 600C、1350D、 12002已知 a =（ 1，-2），b =（ 5，8），c =（ 2，3），則 a ·（ b ·c ）的值為（）A34B、（ 34，-68）C、 -68D、（ -34， 68）3已知 a =（ 2，3），b =（ -4，7）則向量 a 在 b 方向上的投影為（）A 131365D、 65B、 5C、 54已知 a =（ 3， -1）， b =（ 1， 2），向量 c 滿足 a · c =7，且 bc ，則 c 的坐標是（）A （

15、 2， -1）B、（ -2， 1）C、（ 2， 1）D 、（ -2， -1）5有下面四個關(guān)系式 （ 1）0 ·0 = 0 ；（ 2）（ a ·b ）c = a（ b ·c ）；（ 3）a ·b = b ·a ；（ 4） 0 a =0，其中正確的個數(shù)是（）A 、 4B 、 3C、 2D 、16已知 a =（m-2， m+3）， b =（ 2m+1 ，m-2）且 a 與 b 的夾角大于90°，則實數(shù) m（）A 、 m 2 或 m -4/3B、 -4/3 m 2C、 m 2D、 m 2 且 m-4/37已知點 A（1，0），B（ 3，1），

16、C（ 2，0）則向量 BC 與 CA 的夾角是。8已知 a =（ 1，-1）， b =（ -2，1），如果（a b) (ab) ，則實數(shù) =。9若 |a |=2， |b |=2 ， a 與 b 的夾角為45°，要使 k b - a 與 a 垂直，則 k=10已知 a + b =2 i-8 j， a b =-8 i+16 j，那么 a · b =學習必備歡迎下載11已知 2 a + b =（-4， 3）， a -2 b =（ 3， 4），求 a · b 的值。12已知點若能，求點A（ 1，2）和 B（ 4，-1），試推斷能否在C 的坐標；若不能，說明理由。y 軸上找

17、到一點C，使ACB=900 ？必修 4第2章平面向量§ 2.5 平面向量的應用重難點：通過向量在幾何、物理學中的應用能提高解決實際問題的能力考綱要求：會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學問題于其他一些實際問題經(jīng)典例題：如下圖，無彈性的細繩OA, OB 的一端分別固定在 A, B 處，同質(zhì)量的細繩OC 下端系著一個稱盤，且使得OB OC ，試分析 OA, OB,OC 三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大？當堂練習：1已知A、B、C為三個不共線的點，P 為ABC所在平面內(nèi)一點，若PA PB PC AB ，則點 P 與 ABC 的位置關(guān)系是（）A、點 P 在

18、ABC 內(nèi)部B、點 P 在 ABC 外部C、點 P 在直線 AB 上D、點 P在 AC 邊上2已知三點 A（ 1，2），B（ 4，1），C（ 0，-1）則 ABC 的形狀為（）學習必備歡迎下載A 、正三角形B 、鈍角三角形C、等腰直角三角形D 、等腰銳角三角形3當兩人提起重量為|G|的旅行包時，夾角為，兩人用力都為|F|，若 |F|=|G|，則的值為（）A 、 300B 、 600C、 900D、 12004某人順風勻速行走速度大小為a，方向與風速相同，此時風速大小為v，則此人實際感到的風速為（）A 、 v-aB、 a-vC、 v+aD 、 v5一艘船以5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，

19、船的實際航行方向與水流方向成300 角，則水流速度為km/h。6兩個粒子a， b 從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為 Sa=（ 3，-4），Sb=（ 4，3）（， 1）此時粒子 b 相對于粒子a 的位移；（ 2）求 S 在 Sa 方向上的投影。7如圖，點P 是線段 AB 上的一點，且AP PB= m n ，點 O 是直線 AB 外一點，設(shè) OAa ， OBb ，試用 m, n,a, b的運算式表示向量 OP AaPObB8如圖， ABC 中， D ， E 分別是 BC ， AC 的中點，設(shè)AD 與 BE 相交于 G，求證：AG GD=BG GE=2 1AEGBD

20、COG1 (OAOBOC)9如圖，O 是 ABC 外任一點，若3，求證： G 是 ABC重心（即三條邊上中線的交點）AGBCO學習必備歡迎下載10一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方向收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿南偏東750，以 9mile/h10mile 處有一只貨船的速度向前航行，貨船以21mile/h的速度前往營救，并在最短時間內(nèi)與漁船靠近，求貨的位移。北A東450 750CB必修 4第2章平面向量§ 2.6 平面向量單元測試1在矩形 ABCD 中，O是對角線的交點，若 BC5e1 , DC3e2則OC =（）1115e1 )13e1 )(5e1 3e2 )B

21、 2(5e1 3e2 )(3e2(5e2A 2C 2D 22對于菱形 ABCD ，給出下列各式：AB BC|AB| |BC|AB CD| |AD BC| AC |2|BD|24| AB|2其中正確的個數(shù)為（）A1個 B2 個 C3個 D4 個3在ABCD 中，設(shè) ABa, ADb, ACc, BDd ，則下列等式中不正確的是（）A a b cB a b dC b a dD c a b4已知向量 a與 b 反向，下列等式中成立的是（）學習必備歡迎下載A | a | | b | | a b | B | a b | | a b |C | a | | b | | a b |D | a | | b |

22、| a b |5已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（1，0），（ 3，0），（ 1， 5），則第四個點的坐標為（）A （ 1， 5）或（ 5， 5） B （ 1，5）或（ 3， 5）C（ 5， 5）或（ 3， 5） D（ 1， 5）或（ 3， 5）或（ 5， 5）6與向量 d(12,5) 平行的單位向量為（）(12,5)(12 ,5 )(12, 5)(12 ,5 )( 12,5 )A 13B 1313C 13 13或1313 D13137若 | a b |41203 ，| a | 4, | b | 5 ，則 a與b 的數(shù)量積為（）A103B 10 3 C10 2D 108若將向量 a ( 2,

23、1) 圍繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)4 得到向量 b ,則 b 的坐標為(）(232(232322(3 2,2 ),),)(,)D A 22B22C22229設(shè) k R，下列向量中，與向量Q(1,1) 一定不平行的向量是（）A b (k ,k )B c( k, k )C d(k 21, k 21)D e(k 21, k 21)3( )(a1b3610已知 | a |10, | b | 12)，則 a與b 的夾角為，且5（）A60°B 120°C 135°D 150°11非零向量 a,b滿足 | a | | b | ab |，則 a, b 的夾角為.12在四邊形 A

24、BCD 中，若 ABa, ADb,且 | ab | | ab | ,則四邊形 ABCD 的形狀是學習必備歡迎下載13已知 a(3,2) ， b(2, 1)，若ab與ab 平行，則 =.| a | =4 ， a與e 的夾角為214 已知 e 為單位向量，3，則 a在 e 方向上的投影為.15已知非零向量 a, b 滿足 | a b | ab |,求證 : ab16已知在 ABC 中， AB(2,3) ， AC (1, k ), 且 ABC 中 C 為直角， 求 k 的值 .17、設(shè) e1 ,e2 是兩個不共線的向量，AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 ,CD2e1e2 ，若 A、 B、

25、 D 三點共線，求 k 的值 .18已知 | a | 2| b | 3 , a與b 的夾角為 60o, c 5a 3b , d3a kb ,當當實數(shù) k 為何值時， c d c d學習必備歡迎下載19如圖， ABCD 為正方形， P 是對角線 DB 上一點， PECF 為矩形，求證： PA=EF； PA EF.20如圖，矩形 ABCD 內(nèi)接于半徑為 r 的圓 O，點 P 是圓周上任意一點，求證： PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.學習必備歡迎下載參考答案第 2章平面向量§ 2.1 向量的概念及其表示經(jīng)典例題：解：由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學中研究的向量是

26、自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應選C.當堂練習：1.C;2.C; 3.D; 4.C; 5.B;6. (1)AD(2)OA, OC,OD, BO, AO,CO, DO(3)AD,BC,CB. ; 7. ;8.（1） BF（ 2 ） DE,CO, BF（

27、 3 ）AE, DE,DO, BO,CO, BF,CF（ 4）不相等 ; 9. （ 1） DO,CB （ 2）EO, DC（ 3）OC, ED ;10.（1） a, d（2） a, d（3）不存在（ 4） a, d ， c ;11.（ 1） BD, DB, DC,CD, BC,CB（ 2） AE, EA, EC,CE（3） FB, AF ;12. 3 種， 8 種，可以（轉(zhuǎn)化為相鄰兩個中的互跳）;§ 2.2 向量的線性運算經(jīng)典例題：證明：連結(jié) DE, EF , FD 因為 D , E, F 分別是ABC 三邊的中點， 所以四邊形ADEF為平行四邊形由向量加法的平行四邊形法則，得EDE

28、FEA （ 1），同理在平行學習必備歡迎下載四邊形BEFD中，F(xiàn)D FE FBCFDE，在平行四邊形在 中 ，(2)DFDEDC(3)將（ 1） (2) (3) 相加，得EAFBDCEDEFFDFEDEDF( EFFE )( EDDE )( FDDF )0當堂練習：1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. | a | | b |; 9. ， ; 10. （ 1） a, d（ 2） a, d（ 3）不存在（ 4） a,d ， c ;11. 北偏東 30°方向，大小為 3 3 km12. BCAOAB BOABAFab ；CDAFb ；AD2BC2 a

29、b ；BE 2 AF 2b§ 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示經(jīng)典例題：解 （1） AB( x,1) ， CD (4, x) AB / CD ， x24, x2 （ 2）由已知得 BC(22x, x 1) 當 x 2 時， BC(2,1) ， AB(2,1) ，AB 和 BC 不平行，此時 A,B,C,D 不在一條直線上；當 x2時， BC(6,3)， AB( 2,1)AB / BC ，此時 A, B,C 三點共線又AB/CD ，A, B, C, D 四點在一條直線上綜上當 x2 時， A, B, C , D 四點在一條直線上學習必備歡迎下載當堂練習：1.B; 2.B; 3.A;

30、 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 310 , 58 ; 9. -3 ， 15; 10. (8,-4);11解析： (1)BD = BC + CD =2e1-8e2+3(e1+e2) e1-5e2 ABBD與AB又直線 BD 與 AB 有公共點B，A 、B、D(2) e1-e2 與 e1- e2存在實數(shù)k，使 e1 e2（ e1 e2 ） e1+(k )e20 e1、 e2由平面向量的基本定理可知： 且 解得 ±，故 12解法一： A 、B 、 C 三點共線即AB 、 BC存在實數(shù) 使得 AB BC即 i-2j= （ i+mj ）1于是m 2即 m= 2 時， A 、

31、B 、 C 三點共線 .解法二：依題意知： i=(1,0),j=(0,1)則 AB =(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m)而AB、BC故當 m=2 時， A、 B、 C 三點共線 .§ 2.4 平面向量的數(shù)量積經(jīng)典例題：解：若A 900 ,則 ABAC ，于是 2 1 3 k 02k解得3 ；學習必備歡迎下載若B900,則 ABBC ，又 BCACAB1, k3 ,故得213k30 ，k11解得3 ；若C900,則 ACBC ，故11k k30 ，k313211313解得2所求 k 的值為3 或 3或2當堂練習：151.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8.2; 9.2; 10. - 63;11.a =(-1,2)b =(-2,-1)a · b =012.令 C(0,y), 則 AC =(-1,y-2)CB(4,1y)因為ACB=900, 所以 ACCB =0,即 -4+(y-2)(-1-y)=0y2-y+2=0, 此方程無實數(shù)解 ,所以這樣的點不存在.§ 2.5 平面向量的應用經(jīng)典例題：解：設(shè)OA,OB ,OC 三根繩子所受力分別是a, b, c，則 a b c 0 ， a,b 的合力為c ' ab,| c ' | | c | ， 如 上