定積分的概念,曲邊圖形求面積

1、曲邊圖形求面積 2xy 例：如何求由與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積呢？ 解解：在：在區(qū)間區(qū)間0, 1上等間隔的插入上等間隔的插入n-1個點，將他等分成個點，將他等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間(i1 2 n1) nxi1(i1 2 n) 2xy 例：如何求由與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積呢？1,1,.2,1,1,0nnnnn記第i個區(qū)間為nini,1(i 1, , n),其區(qū)間長度為分別過上述n-1個點做x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形他們的面積記作n21SSS，顯然n1iiSS 2xy 例：如何求由與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積呢？2xxf）（記記當(dāng)當(dāng)n

2、n很大時，即很大時，即S很小時，在區(qū)間很小時，在區(qū)間nin1-i，上，可以認為函數(shù)上，可以認為函數(shù)2xy 的值變化很小，近似的等于的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為近似的等于左端點一個常數(shù)，不妨認為近似的等于左端點n1-i處的函數(shù)值處的函數(shù)值n1-if從圖形上看就是用平行于從圖形上看就是用平行于x x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊（圖軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊（圖1.5-41.5-4）這樣，在區(qū)間這樣，在區(qū)間nin1-i，上，用小矩形的面積上，用小矩形的面積/iS近似的代替近似的代替iS即在局部小范圍內(nèi)即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲以直代曲”則有則有Xn1-iXn1-ifS

3、S2/iin1n1-i2(i 1, 2, , n) n1n1-ixi1-ifS2n1in1in1i/inSn1n1-nn1n1n1022 22231-n21n1 1-n21-nn61n13n21-1n1-131從而得到S的近似值n21-1n1-131nSS分別將區(qū)間【0,1】等分成8,16,20.等份（圖1.5-5），可以看到，當(dāng)向于無窮大，即x趨向于0時，n21-1n1-131nS趨向于S，從而有n1-ifn1limlimn1innnSS31n21-1n1-131limn 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負、連續(xù). 由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形

4、, 其中曲線弧稱為曲邊. abxyoy=f(x)x=bx=a曲邊梯形曲邊梯形如何計算其面積？abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積：顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與

5、曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯

6、形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系abxyo)(xfy ? AOxyab1x1ixix)(xfy n 令 . )(lim :1nniiixfS曲曲邊邊梯梯形形面面積積分割近似代替求和取極限 abxyo)(xfy ? A由直線x=0，x=2，y=0與曲線2xy 所圍成曲邊圖形的面積 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了曲邊圖形面積的求法，具體步驟為分割，近似代替，求和，取極限。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們還掌握了化歸轉(zhuǎn)化，以直代曲，極限逼近的數(shù)學(xué)思想。1. 定積分的定義(i1, 2, n), niiixf1)( 作和(i1, , n), 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點i 記xi=xi-xi1 入n-1個分點: ax0 x1x2 xn1xnb; 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界. 極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分 badxxf)( 即 二、定積分的定義二、定積分的定義在區(qū)間a, b內(nèi)平均插如果當(dāng)n 時, 上述和式的此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .na-b )( if求求 記記做做 )(li