最新上海市長寧青浦寶山嘉定四區(qū)高三4月聯(lián)考數(shù)學理試卷含答案

1、 長寧、青浦、寶山、嘉定四區(qū)第二學期高三教學質(zhì)量檢測 數(shù)學試卷（理科） 20xx.04.（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意：1本試卷共4頁，23道試題，滿分150分考試時間120分鐘2本考試分設試卷和答題紙試卷包括試題與答題要求作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分3答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙上將姓名、學校、班級等信息填寫清楚，并將核對后的條形碼貼在指定位置上一填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否則一律得零分1設集合，則_2已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則_3設且，若函數(shù)的反函數(shù)的圖

2、像經(jīng)過定點，則點的坐標是_4計算：_5在平面直角坐標系內(nèi)，直線，將與兩條坐標軸圍成的封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_6已知，則_7設定義在上的奇函數(shù)，當時，則不等式的解集是_8在平面直角坐標系中，有一定點，若線段的垂直平分線過拋物線（）的焦點，則拋物線的方程為_9曲線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的公共點的坐標為_10記）的展開式中第項的系數(shù)為，若，則_11從所有棱長均為的正四棱錐的個頂點中任取個點，設隨機變量表示這三個點所構(gòu)成的三角形的面積，則其數(shù)學期望_12已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（），則_13甲、乙兩人同時參加一次數(shù)學測試，共有道選擇題，每題均有個選項，答對得分，答錯或不答得分甲

3、和乙都解答了所有的試題，經(jīng)比較，他們有道題的選項不同，如果甲最終的得分為分，那么乙的所有可能的得分值組成的集合為_14已知，函數(shù)（）的圖像的兩個端點分別為、，設是函數(shù)圖像上任意一點，過作垂直于軸的直線，且與線段交于點，若恒成立，則的最大值是_二選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且僅有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，每題選對得5分，否則一律得零分15“”是“”的（ ）（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充分必要條件 （d）既不充分也不必要條件16下列命題正確的是（ ）（a）若直線平面，直線平面，則；（b）若直線上有兩個點到平面的距離相等，則；

4、（c）直線與平面所成角的取值范圍是；（d）若直線平面，直線平面，則.17已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）（a） （b） （c） （d）18已知函數(shù) 若存在實數(shù)，滿足，其中，則的取值范圍是（ ） （a） （b） （c） （d）三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分abca1b1c1d如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，為側(cè)棱的中點（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20（本題滿分14分）本題

5、共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分已知函數(shù)（，），且函數(shù)的最小正周期為（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角，所對的邊分別為，若，且，求的值21（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界（1）設，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界組成的集合；若不是，也請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍22（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分ypofabx如圖，設是橢圓的下焦

6、點，直線（）與橢圓相交于、兩點，與軸交于點（1）若，求的值；（2）求證：；（3）求面積的最大值23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分已知正項數(shù)列，滿足：對任意，都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列，的通項公式；（3）設，如果對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍二模理科數(shù)學參考答案一填空題1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 121348，51，54，57，60 14二選擇題15b 16d 17c 18b三解答題19（1）因為底面是等腰直角三角形，且，所以，（2分）因為平面，所以， （4分）所以

7、，平面 （5分）（2）以為原點，直線，為，軸，建立空間直角坐標系，則， 由（1），是平面的一個法向量， （2分），設平面的一個法向量為，則有 即 令，則，所以， （5分）設與的夾角為，則， （6分）由圖形知二面角的大小是銳角，所以，二面角的大小為 （7分）20（1）， （3分）又，所以， （5分）所以， （6分）（2），故，所以，或（），因為是三角形內(nèi)角，所以（3分）而，所以， （5分）又，所以，所以，所以， （8分）21（1），則在上是增函數(shù)，故，即， （2分）故，所以是有界函數(shù) （4分）所以，上界滿足，所有上界的集合是 （6分）（2）因為函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，故在上恒成立，即，所以

8、，（）， （2分）所以（），令，則，故在上恒成立，所以，（）， （5分）令，則在時是減函數(shù)，所以；（6分）令，則在時是增函數(shù)，所以（7分）所以，實數(shù)的取值范圍是 （8分）22.（1）由得，所以，設，則， （2分）因為，所以，代入上式求得。 （4分）（2）由圖形可知，要證明，等價于證明直線與直線的傾斜角互補，即等價于。 （2分）。 （5分）所以，。 （6分）（3）由，得，所以， （3分）令，則，故（當且僅當，即，取等號）。 （5分）所以，面積的最大值是。 （6分）23（1）由已知， ， （1分）由可得， ， （2分）將代入得，對任意，有，即，所以是等差數(shù)列 （4分）（2）設數(shù)列的公差為，由，得，

9、（1分）所以，所以， （3分）所以， （4分）所以， （5分） （6分）（3）解法一：由（2）， （1分）所以，（3分）故不等式化為，即當時恒成立， （4分）令，則隨著的增大而減小，且恒成立。 （7分）故，所以，實數(shù)的取值范圍是。 （8分）解法二：由（2）， （1分）所以，（3分）故不等式化為，所以，原不等式對任意恒成立等價于對任意恒成立， （4分）設，由題意，當時，恒成立； （5分）當時，函數(shù)圖像的對稱軸為，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故只需即可，由，得，所以當時，對恒成立綜上，實數(shù)的取值范圍是 （8分）答案解析一、填空題1.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關方程

10、與代數(shù)的基本知識.【知識內(nèi)容】方程與代數(shù)/集合與命題/交集，補集，并集.【參考答案】【試題分析】，所以.故答案為.2.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或漲掌握初等數(shù)學中有關數(shù)與運算的基本知識.【知識內(nèi)容】數(shù)與運算/復數(shù)初步/復數(shù)的四則運算.【參考答案】1【試題分析】因為，所以，則.故答案為1.3.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)/指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像、反函數(shù).【參考答案】（3,1）【試題分析】因為函數(shù)經(jīng)過定點（1,3），根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關系知，函數(shù)的反函數(shù)經(jīng)過定點（3,1），故答案

11、為（3,1）.4.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初數(shù)學中有關方程與代數(shù)的基本知識.【知識內(nèi)容】方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學歸納法/數(shù)列的極限.【參考答案】【試題分析】，故答案為.5.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關圖形與幾何的基本知識.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/簡單幾何體的研究/錐體.【參考答案】【試題分析】設直線與條坐標軸的交點分別為a,b,則，b（0,2），于是繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓錐，所以，故答案為.6.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/三角比/二倍角及

12、半角的正弦、余弦、正切.【參考答案】【試題分析】由得，所以，因為，所以，又，故答案為.7.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).【參考答案】【試題分析】當時，因為，所以，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，并且，所以，綜上，不等式的解集為，故答案為.8.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關圖形與幾何的基本知識.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/曲線與方程/拋物線的標準方程和幾何性質(zhì).【參考答案】【試題分析】設拋物線的焦點坐標為，線段的中點坐標為，因為,所以經(jīng)過拋物線焦點的

13、線段oa的垂直平分線的斜率，所以，則拋物線的標準方程為，故答案為.9.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/能按照一定的規(guī)則和步驟進行計算、畫圖和推理.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/參數(shù)方程和極坐標/參數(shù)方程. 【參考答案】【試題分析】因為，所以將代入 代入得，解得或,將、代入求得或，因為，所以只有符合題意，故答案為.10.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關圖形與幾何的基本知識.【知識內(nèi)容】數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計/排列、組合、二項式定理/二項式定理.【參考答案】5【試題分析】的展開式中第項為的系數(shù)，因為，所以，即，得，故答案為5.11. 【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/能按照

14、一定的規(guī)則和步驟進行計算、畫圖和推理.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/簡單集合體的研究/椎體；數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計/概率與統(tǒng)計/隨機變量的分布及數(shù)字特征.【參考答案】【試題分析】如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，因為,所以,所以,從正四棱錐的5個頂點中任取個點，可以構(gòu)成的三角形的個數(shù)為，其中頂點在側(cè)面的三角形的有4個，在對角面的有2個，在底面的有4個，故.第11題圖 cna112.【測量目標】運算能力/能通過運算，對問題進行推理和探求.【知識內(nèi)容】方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學歸納法/簡單的遞推數(shù)列.【參考答案】【試題分析】因為，所以，當時，-得，所以,也適合此式，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列，所以

15、，故答案為.13.【測量目標】邏輯思維能力/具有對數(shù)學問題或資料進行觀察、分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和論證的能力.【知識內(nèi)容】數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計/概率與統(tǒng)計初步/隨機變量的分布及數(shù)字特征.【參考答案】【試題分析】因為20道選擇題每題3分，甲最終的得分為54分，所以甲答錯了2道題，又因為甲和乙有兩道題的選項不同，則他們最少有16道題的答案相同，設剩下的4道題正確答案為aaaa,甲的答案為bbaa,因為甲和乙有兩道題的選項不同，所以乙可能的答案為bbcc,bcba,ccaa,caaa,aaaa等，所以乙的所有可能的得分值組成的集合為，故答案為.14.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/能按

16、照一定的規(guī)則和步驟進行計算、畫圖和推理.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/平面直線的方程/直線的一般式方程；方程與代數(shù)/不等式/基本不等式.【參考答案】【試題分析】如圖，設由題意得，所以直線的方程為，化為一般式方程為，所以, 所以，當且僅當，即時取等號，因為恒成立，所以，,所以的最大值為，故答案為.第14題圖 cna2二、選擇題15.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/三角比/同角三角比.【正確選項】b【試題分析】由于，且，得到，故充分性不成立；當時，故必要性成立.故答案為b.16.【測量目標】空間想象能力/能正確地分析圖形中的基本元

17、素和相互關系.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關系.【正確選項】d【試題分析】直線與可能是與平面平行的平面中的相交直線，故a選項不正確；直線上的點可能是位于平面兩側(cè)的點，故b選項不正確；直線與平面所形成的角大小可以取到0和，故c選項不正確；垂直同一平面的兩直線平行，故d選項正確.故答案為d.17.【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學中有關平面與幾何的基本知識.【知識內(nèi)容】平面與幾何/平面向量的坐標表示/向量的度量計算.【正確選項】c【試題分析】由于且，那么，所以，即，由于，所以的最大值為.故答案為c.18.【測量目標】分析問題與解決問題的能力/能綜合運用

18、基本知識、基本技能、數(shù)學基本思想方法和適當?shù)慕忸}策略，解決有關數(shù)學問題.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)/對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像；函數(shù)與分析/三角函數(shù)/正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像. 【正確選項】b【試題分析】因為存在實數(shù)滿足，所以函數(shù)與直線的圖像有4個交點，如圖，因此，因為，所以，又因為的圖像關于直線對稱，所以，所以，因為，所以,故答案為b.第18題圖 cna3三、解答題19.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題5分，第2小題7分.【測量目標】（1）空間想象能力/能正確地分析圖形中的基本元素和相互關系.（2）空間想象能力/能正確地分析圖形中的基本元素和相互關系.【知識內(nèi)容】（1）

19、圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關系.（2）圖形與幾何/空間向量及其應用/距離和角.【參考答案】（1）因為底面是等腰直角三角形，且，所以，2分因為平面，所以， 4分所以，平面 5分（2）以為原點，直線，為，軸，建立空間直角坐標系，則， 由（1），是平面的一個法向量， 7分，設平面的一個法向量為，則有 即 令，則，所以， 10分設與的夾角為，則， 11分由圖形知二面角的大小是銳角，所以，二面角的大小為 12分20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.【測量目標】（1）運算能力/能根據(jù)法則準確地進行運算、變形.（2）運算能力/能通過運算，對問題進行推理和探求.

20、【知識內(nèi)容】（1）函數(shù)與分析/三角函數(shù)/函數(shù)的圖像與性質(zhì).（2）函數(shù)與分析/三角比/正弦定理和余弦定理；圖形與幾何/平面向量的坐標表示/平面向量的數(shù)量積.【參考答案】（1）， 3分又，所以， 5分所以， 6分（2），故，所以，或（），因為是三角形內(nèi)角，所以9分而，所以， 11分又，所以，所以，所以， 14分21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.【測量目標】（1）邏輯思維能力/會進行演繹、歸納和類比推理，能合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點.（2）分析問題與解決問題的能力/能自主地學習一些新的數(shù)學知識（概念、定理、性質(zhì)和方法等），并能初步應用.【知識內(nèi)容】（1

21、）函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).（2）函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).【參考答案】（1），則在上是增函數(shù)，故，即， 2分故，所以是有界函數(shù) 4分所以，上界滿足，所有上界的集合是 6分（2）因為函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，故在上恒成立，即，所以，（）， 8分所以（），令，則，故在上恒成立，所以，（）， 11分令，則在時是減函數(shù)，所以；12分令，則在時是增函數(shù)，所以13分所以，實數(shù)的取值范圍是 14分22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.【測量目標】（1）運算能力/能通過運算，對問題進行推理和探求.（2）邏輯思維能力/會正確而簡明地表述推理過程，能合理地、符合邏輯地解釋演繹推理的正確性.（3）分析問題與解決問題的能力/能綜合運用基本知識、基本技能、數(shù)學思想方法和適當?shù)慕忸}策略，解決有關數(shù)學問題.【知識內(nèi)容】（1）圖形與幾何/曲線與方程/橢圓的標準方程和幾何性質(zhì).（2）圖形與幾何/平面直線的方程/直線的斜率與傾斜角.（3）圖形與幾何/曲線與方程/橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)；方程與代數(shù)/不等式/基本不等式.【參考答案】（1）由得，所以，設，則， 2分因為，所以，代入上式求