初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)47：配方法

1、初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（47）配方法一、內(nèi)容提要1. 配方：這里指的是在代數(shù)式恒等變形中，把二次三項式a2±2ab+b2寫成完全平方式（a±b）2. 有時需要在代數(shù)式中添項、折項、分組才能寫成完全平方式.常用的有以下三種：由a2+b2配上2ab， 由2 ab配上a2+b2， 由a2±2ab配上b2.2. 運用配方法解題，初中階段主要有： 用完全平方式來因式分解例如：把x4+4 因式分解.原式x4+44x24x2=(x2+2)24x2這是由a2+b2配上2ab. 二次根式化簡常用公式：，這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.例如：化簡.我們把52寫成 2232（

2、）2.這是由2 ab配上a2+b2. 求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運用實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，零就是最小值.即a20， 當(dāng)a=0時，a2的值為0是最小值.例如：求代數(shù)式a2+2a2 的最值.a2+2a2= a2+2a+13=(a+1)23當(dāng)a=1時, a2+2a2有最小值3.這是由a2±2ab配上b2 有一類方程的解是運用幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個非負(fù)數(shù)都是零，有時就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+140.配方的可化為（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必須且只需.解得此外在解二次方程中應(yīng)用根的判

3、別式，或在證明等式、不等式時，也常要有配方的知識和技巧.1 / 5二、例題例1. 因式分解：a2b2a2+4abb2+1.解：a2b2a2+4abb2+1a2b2+2ab+1+(a2+2abb2)（折項，分組）（ab+1）2(ab)2（配方）（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本題的關(guān)鍵是用折項，分組，樹立配方的思想.例2. 化簡下列二次根式：； ；.解：化簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配方2.=2.例3. 求下列代數(shù)式的最大或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . 解：x2+5x+1x2+2×x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即當(dāng)x=時，x2+5x

4、+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2(x2+2×x+) 2（x+）2+2（x+）20，其中0是最大值，當(dāng)x=時，2x26x+1有最大值.例4. 解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折項，分組） (x21)2+(x+y)2=0.（配方）根據(jù)“幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個非負(fù)數(shù)都應(yīng)等于零”.得 或 x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折項，分組)(x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0.(x+y+3)2+(y1)20.（配方）例5

5、. 已知：a,b,c,d 都是整數(shù)且m=a2+b2, n=c2+d2,則mn也可以表示為兩個整數(shù)的平方和，試寫出其形式.解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分組，添項)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整數(shù)解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添項)（x4）2+(y+5)225（配方）25折成兩個整數(shù)的平方和，只能是0和25；9和16.由得同理，共有12個解三、練習(xí)471. 因式分解：x4+x

6、2y2+y4 ； x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2-2ax-a2+1.2. 化簡下列二次根式：（x<）；(1<x<2)；（146）÷（3）；（）2.3求下列代數(shù)式的最大或最小值：2x2+10x+1 ； x2+x-1.4.已知：a2+b24a2b+5 . 求：的值.5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.6.已知：實數(shù)a, b, c 滿足等式a+b+c=0, abc=8 . 試判斷代數(shù)式值的正負(fù).7.已知：x= . 求：. 8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求證：a=b=c.9. 解方程：x2-4xy+5y2-6y+9 ； x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整數(shù)解：（2x-y2）2(x+y+2)2=5； x2-6xy+y2+10y+25=0.練習(xí)47參考答案：1.（xy3）2 2. 8，0.5x，32，2，3，72x（x3）3.當(dāng)x=時，有最小值x=1時，有最大值4.a=2,b=1 代數(shù)式值是325.±136.負(fù)數(shù)。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc<04. 值為5。先化簡已知為4，代入分母值為2，可知x28x+13=0分子可化為（x2