《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(復(fù)旦大學(xué)出版社)第五章習(xí)題

1、習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4 次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì) P10< X<18.4【解】設(shè) Xi 表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則XX ii 1E( X i) 1 12 13 14 1666622121212E( X i) 1626364從而D( X i )E( Xi2 )又 X1,X2,X3,X4 獨(dú)立同分布 .5 16 17,66215216219 1 ,66662 E( X i )291735.6212444 7從而 E(X)E(Xi )E( Xi )14,i 1i1244D ( X i ) 4 35 35.D(X) D(Xi )i1i 1123所以P10X 18P| X14| 41 35/30

2、.271,422. 假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與 84%之間的概率不小于 90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？若第個(gè)產(chǎn)品是合格品,【解】 令 Xi1,i0,其他情形 .而至少要生產(chǎn)n 件，則 i=1,2, ,n且X1， X2， ， Xn 獨(dú)立同分布， p=P Xi=1=0.8.現(xiàn)要求 n,使得nXiP0.76i 10.840.9.n即nP 0.76 nXi0.8n0.8n 0.8ni 10.84n0.9n 0.80.2n 0.80.2n 0.80.2由中心極限定理得0.84n0.8n0.76n0.8n0.9,0.16n0.16n整理得n0.95,

3、查表n101.64,10n 268.96,故取 n=269.3. 某車(chē)間有同型號(hào)機(jī)床 200 部，每部機(jī)床開(kāi)動(dòng)的概率為 0.7，假定各機(jī)床開(kāi)動(dòng)與否互不影響，開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能 15 個(gè)單位 .問(wèn)至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】 要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車(chē)間同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿(mǎn)足 200 部機(jī)床中同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過(guò)m 的概率為95%, 于是我們只要供應(yīng)15m 單位電能就可滿(mǎn)足要求.令 X表同時(shí)開(kāi)動(dòng)機(jī)床數(shù)目，則XB（ 200， 0.7） ,E(X )140,D(X)42,0.95m140P0 X m P( X m).4

4、2查表知m 140,m=151.1.64,42所以供電能151×15=2265（單位） .4. 一加法器同時(shí)收到 20 個(gè)噪聲電壓 Vk（ k=1， 2， ，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，20且都在區(qū)間（0， 10）上服從均勻分布.記 V=Vk，求 P V 105 的近似值 .k 1100 ,20【解】 易知 :E(Vk)=5,D (Vk)=,k=1,2,12由中心極限定理知，隨機(jī)變量20Vk205V 205近似的Zk 1100100 N (0,1).20201212V 205105 20 5于是 PV 105 P1010020201212PV 1001(0.387)0.348

5、,0.387102012即有P V>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問(wèn)其中至少有30 根短于 3m 的概率是多少？【解】 設(shè) 100 根中有 X 根短于 3m，則 XB（100， 0.2）從而PX 30 1P X301301000.21000.20.81(2.5)10.99380.0062.6. 某藥廠斷言， 該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查 100 個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言 .（ 1） 若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的

6、治愈率是0.8，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？（ 2） 若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.7，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？1,第i人治愈 ,i 1,2, ,100.【解】 X i其他.0,100令 XX i .i 1(1) XB(100,0.8) ，100751000.8PXi 75 1P X7511000.80.2i11(1.25)(1.25) 0.8944.(2) XB(100,0.7) ，100751000.7PXi75 1 PX 75 10.70.3i11001 ( 5 ) 1(1.09) 0.1379. 217. 用 Laplace 中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為0.05 的產(chǎn)

7、品中，任取1000 件，其中有20 件廢品的概率 .【解】 令 1000 件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05) ，E(X)=50 ，D (X)=47.5.故12050130P X2047.547.56.8956.8951304.510 6.6.8956.8958. 設(shè)有 30 個(gè)電子器件 .它們的使用壽命T1， ，T30 服從參數(shù)=0.1 單位：（小時(shí)） -1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類(lèi)推 .令 T 為 30 個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T 超過(guò) 350 小時(shí)的概率 .【解】 E (Ti )1110,D (Ti)1100,0.12E(T

8、 )1030300,D(T )3000.故P T3501350300151(0.913) 0.1814.3000309. 上題中的電子器件若每件為a 元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306 個(gè)工作日，每個(gè)工作日為8小時(shí)）.【解】 設(shè)至少需 n 件才夠用 .則 E(Ti)=10 ， D(Ti)=100 ，E(T)=10n，D (T)=100 n.n0.05306810n .從而 PT306 80.95, 即i 1i10n故0.9510n2448 ,1.64n 244.8,n 272.10 nn所以需 272a 元 .10. 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的

9、家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、 2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有 400 名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（ 1） 求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X 超過(guò) 450 的概率？（ 2） 求有 1 名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340 的概率 .【解】（ 1） 以 Xi(i=1,2, ,400)記第 i 個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù).則 Xi 的分布律為Xi012P0.050.80.15易知 E（ Xi=1.1） ,D(Xi )=0.19,i=1,2, ,400.400而 XX i,由中心極限定理得i400iX i4001.1X40

10、01.1近似地4000.19419N (0,1).于是 PX4501P X45014504001.14191(1.147)0.1357.(2) 以 Y 記有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù).則 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得3404000.8PY340(2.5)0.9938.4000.8 0.211. 設(shè)男孩出生率為 0.515，求在 10000 個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】 用 X 表 10000 個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（ 10000， 0.515）要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩個(gè)數(shù)的概率，即求P X 5000.由中心極限定理有P X5000100000.515(3) 0.

11、00135.50000.515(3)1100000.48512. 設(shè)有 1000個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以 95%概率估計(jì)，在一次行動(dòng)中：（ 1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？（ 2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】 用 Xi 表第 i 個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（i=1,2, ,1000） .令Sn=X1+X2+X1000.(1) 設(shè)至少有m 人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求n 1000 0.，95事件P mS m Sn m1000 0.9Sn 90010000.90.190.由中心極限定理知：P m Sn 1 P Snm1m10000.910000.90.95.0.1從而m 9000

12、.05,90故m9001.65,90所以m=900- 15.65=884.35 884人(2) 設(shè)至多有 M 人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0 Sn M 0.95.P Sn M M9000.95.90查表知 M 900=1.65,M=900+15.65=915.65 916人.9013. 在一定保險(xiǎn)公司里有10000 人參加保險(xiǎn)，每人每年付12 元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000 元賠償費(fèi) .求：（ 1）保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率為多大；（ 2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000 元的概率為多大？【解】 設(shè) X 為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（

13、10000， 0.006） .(1) 公司沒(méi)有利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)“ 1000X=10000 × 12即”“X=120 ”.于是所求概率為P X 1201120100000.0060.0060.994100000.0060.99410000160111 (60/59.64 )259.6459.642e 259.640.0517e 30.18110(2) 因?yàn)?“公司利潤(rùn) 60000當(dāng)”且僅當(dāng) “ 0X 60”于是所求概率為60100000.0060100000.006P0 X 600.0060.994100000.0060.99410000(0)600.5.59.6414. 設(shè)隨機(jī)變量 X

14、和 Y 的數(shù)學(xué)期望都是 2，方差分別為1 和 4，而相關(guān)系數(shù)為0.5 試根據(jù)契比雪夫不等式給出 P| X-Y| 6的估計(jì) .（ 2001 研考）【解】 令 Z=X-Y，有E(Z) 0,D(Z) D( XY) D(X )D(Y)2XPD(X )D(Y) 3.所以P| Z E(Z)| 6P| XY |6D ( XY )31 .62361215. 某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶(hù)中， 被盜索賠戶(hù)占 20%，以 X 表示在隨機(jī)抽查的 100 個(gè)索賠戶(hù)中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶(hù)數(shù).（ 1） 寫(xiě)出 X 的概率分布；（ 2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶(hù)不少于14 戶(hù)且不多于 30戶(hù)的概率近似值 .

15、（ 1988 研考）【解】（ 1） X 可看作 100 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶(hù)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶(hù)出現(xiàn)的概率是0.2，因此， XB(100,0.2) ，故 X 的概率分布是P Xk C100k 0.2k0.8100k ,k 1,2,100.(2) 被盜索賠戶(hù)不少于14 戶(hù)且不多于30 戶(hù)的概率即為事件14 X 30的概率 .由中心極限定理，得301000.2141000.2P14 X 300.20.81000.20.8100(2.5)( 1.5)0.994 9.330.927.16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50 千克，標(biāo)準(zhǔn)差為 5 千克，若用最大載重量為 5 噸的汽車(chē)承運(yùn)， 試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】 設(shè) Xi（ i=1,2, ,n）是裝運(yùn)i 箱的重量（單位：千克）， n 為所求的箱數(shù)，由條件知，可把 X1，