第六章非平衡熱力學信息理論(2)

1、第六章 信息理論Jaynes1957（參見Jaynes 1963）首先介紹了信息理論的統(tǒng)計力學，并且已經發(fā)現(xiàn)了它們存在著許多的應用（參見Levine和Tribus 1979；Grandy 1988；Zubarev等，1997；Eu 1998 Luzzi等人，2001，2002）。我們在這里討論的主要問題是跟這些有關的基本理論和它們的應用擴展-不可逆熱力學基礎的分析（EIT）。在EIT和信息論的一些配方之間有很強的類比，因為信息是通過一個廣義熵，它取決于不同的方法測量（平衡和非平衡）以及作用于系統(tǒng)的約束。此外，信息理論是不局限于二次順序的近似，這些理論開拓了一個對于高度非線性描述的途徑。信息論中

2、的一個關鍵問題是引入了考慮約束乘子的物理識別。在平衡時，通過這些拉格朗日乘子的性質，可以用來表達比較宏觀的吉布斯方程的熵的微分以及它們的微觀表達式。平衡的主要問題是找到相應的宏觀吉布斯方程的非經典參數(shù)與非平衡約束的非經典參數(shù)。在目前的研究基礎上，不可逆熱力學基礎的分析是唯一一個可以提供吉布斯方程理論的方法。為簡單起見，我們把分析的重點放在穩(wěn)定狀態(tài)，即平衡狀態(tài)的最直接的概括。通常，信息包含在變量的行為研究中，有了信息就可以獲得關于他們最可能的未來發(fā)展的預測；這導致一個輸運方程的配方的自然方式（羅伯森1967；學校¨OGL 1980；Luzzi等人，2001）。這使我們在擴大吉布斯集合態(tài)

3、的概念的非均衡狀態(tài)更感興趣，從而可以更好理解非平衡熵，更好的在狀態(tài)方程的基礎上提供進一步的不可逆熱力學基礎的分析。6.1基本概念考慮一個具有N個粒子的位置和動量系統(tǒng)的特點， .假設我們有儀器測量的平均值,這組值位于一組廣泛的觀測值中。問題是要獲得概率密度，它最大化有關的一些測量量兼容系統(tǒng)的信息。換句話說，其目的是確定哪些最大化S，按定義的全局熵的概率密度 (6.1)受約束 (6.2a) (6.2b) 與用于觀測在任何點r的平均值指定值。在（6.1-6.2a）dr1dp1. drN dpN是在相空間的體積元，h普朗克常數(shù)，和KB玻爾茲曼常數(shù)。一組正確觀察量的選擇對形式主義有重要作用;一組不完整的

4、變量會導致不令人滿意的分布函數(shù)。變量的選擇取決于理論論證和實驗準確性的程度。信息論要求組變量的適當選擇，以產生令人滿意的預測，因此，不對應于該變量的純粹主觀選擇。在非平衡的情況下變量的選擇仍然是一個需要進一步討論的問題（Vasconcellos等1991;魯茲等1998，2001）。根據(jù)眾所周知的拉格朗日計算過程，實現(xiàn)s對象的制約最大化（6.2a），一個具有最大限度的量 (6.3a)其中是對應于數(shù)量拉格朗日乘數(shù)和標量積。在不均勻系統(tǒng)，依賴于位置，因此拉格朗日乘子一定要具有位置功能。因為具有固定值，不受變化，（6.3a）最大化等價于 (6.3b)在（6.3），是拉格朗日乘數(shù)計算的規(guī)范化，并且在下

5、文中下標開始以i= 1開始。非平衡熱力學中的數(shù)量可以通過內部能量，粒子密度和通量確定。例如，一個簡單的情況將包括具有內部能U的封閉系統(tǒng)受到的熱流量Q;在這種情況下，約束條件是U和Q（圖6.1）。圖6.1封閉系統(tǒng)在不同溫度下放置在兩個熱容器之間。系統(tǒng)上的限制是熱力學能U的平均值和熱密度Q表達式（6.3b）的條件下一個極值滿足 (6.4)其中是一個功能性衍生物。這個收益率 (6.5)其中 (6.6)為配分函數(shù)， 是歸一化條件遵循廣義分區(qū)函數(shù)。拉格朗日乘子是來自于約束（6.2a）的。后者可能寫成緊湊的形式 (6.7)從Z和關系（6.2a）的定義（6.6）如下。介紹在定義（6.1）下，用于熵結果分布密

6、度（6.5） (6.8)在均衡狀態(tài)下，人們可采取觀察的量能U系統(tǒng)，其中是微觀哈密頓運營商， .如分布函數(shù)（6.5），然后對應于所述一個正則系綜 (6.9)在這里我們寫成，因為它在統(tǒng)計力學中通常這樣寫。如果除了能量的粒子數(shù)被選擇為具有可觀察量規(guī)定的平均值，那么所述分布函數(shù)的形式為 (6.10)其中N為微觀粒子數(shù)運算符。到現(xiàn)在為止，拉格朗日乘子和（6.9）或（6.10）未分配一個物理意義。鑒于他們的物理解釋，讓我們采用不同（6.8）的表達，即 (6.11)Z的差異表達（6.6）在如下的第二個等式對于拉格朗日乘數(shù)中，導致了。 通過（6.11）認同的經典熱力學吉布斯方程， (6.12)這樣就引出了確定

7、值 其中T是絕對溫度，是化學勢在一個非平衡狀態(tài)特征值Pv和q作為附加變量，其中一個方程應該寫成 (6.13)注意，拉格朗日乘子及不具有任何古典模擬熱力學特征，因此不能用平衡理論來確定。在非平衡熱力學中，這樣的吉布斯方程為（3.11）中給出，并與（6.13）比較后讓我們識別拉格朗日乘數(shù)，通量高達二級，如 (6.14)前述分析所關注的主要問題是計算作用在系統(tǒng)上約束的熵的可能性。在非平衡穩(wěn)定狀態(tài)，典型約束是熱力學通量和力，這因而可以引入作為熵表達式（6.8）的變量。是否在上述通量允許條件下描述具有足夠的信息系統(tǒng)不能回答的問題，但通過與實驗進行比較可以得出結論。值得注意的是，對于熵流的表達式可以類似于

8、導引出（6.11）（Dom'nguez和Jou 1995年b）的方式來獲得。熵流被定義為 (6.15)用VK表示顆粒k的速度，平均速度用表示。引入（6.15）表達式（6.5）將fN和表示變量的流量，即 (6.16)我們可以很直接的注意到 (6.17)請注意，與Ai具有相同的張量排名，而JAi是一個等級較高的張量，因而其內部的量確實是一個向量。當能量和粒子通量都被考慮進來時，熵流（6.17）簡化為經典的表達式，但如果其他通量考慮進來，將包含更多的方面。需要特別強調的是，分布函數(shù)（6.5）是不準確的一個，但它給出了作為約束變量的精確結果的近似分布函數(shù)，但不適用于其他變量。為了有一個自相一致

9、的描述，應該引入作為約束所有的慢變量的內部一致性變量（即所有的時間尺度是觀察的時間尺度順序變量）（Luzzi等，2002）。此外，表達式（6.5）缺乏關于不包括在如最大熵描述約束快速變量的動態(tài)的耗散和系統(tǒng)的微觀動力學，即信息。沿著這些線路的一般方法是所謂的最大墑-NESOM（非平衡統(tǒng)計算子法），它已經被應用到一些問題，但超出了本書的水平;有興趣的讀者可以去閱讀Luzzi等人的作品（2001年，2002年）。請注意，上述信息理論方法不指定哪些變量是用來描述系統(tǒng)所必需的。原則上應該包括所有的變量及松弛時間與實驗時間衰減進行對比。因此，使用截斷過程是不嚴謹?shù)?。事實上，一些系統(tǒng)是由變量描述的，其弛豫時

10、間千差萬別，其高階變量往往通過非零速度的層次結構描述。在其他系統(tǒng)中，如理想氣體，而不是所有的非保守變量衰變，幾乎弛豫時間有相同的值，這將表明，原則上，松弛變量的無限數(shù)量應該被考慮到，并不僅僅是它們的數(shù)量有限。在本章中，我們限制了我們考慮到非平衡穩(wěn)定狀態(tài)的條件。動力學方程也可通過以下幾種方法獲得，如那些羅伯遜（1967），Zubarev等而獲得的，（1997年），非平衡統(tǒng)計算符方法（魯茲等，2001，2002），或廣義投影算（Ichiyanagi1990年，1991）。然而，在許多情況下，進化的協(xié)調方程與H-定理是一個有爭議的問題（巴拿赫1987年;1990年內特爾頓; Eu 1991）。6.2

11、 熱流和粘性壓力下的理想氣體作為應用考慮的理想單原子氣體，應當進行熱流和粘性壓力平衡。這個問題或密切相關的人已被一些作者處理（1974年科比特;尼斯貝特和格尼1974;柔等人1984年;1988年內特爾頓）。在每個位置，粒子數(shù)密度n的平均值，每單位體積能量密度，動量密度，熱流q和壓力張量P的成分都被認為是公知的。由于平衡壓力p被u和n固定，P的獨立認知是對壓力張量的粘性部分值Pv的約束。我們現(xiàn)在使用的信息理論，就是推導出一個表達式的非平衡分布函數(shù)與非平衡熵。我們假設一粒子分布函數(shù)，這是令人滿意的獨立粒子移動，因為它們不相互作用，除了通過瞬時碰撞。約束（6.2a）的分布函數(shù)可以寫為 (6.18)

12、 (6.19) (6.20) (6.21) (6.22)C具有特殊的分子速度。當在（6.21）中TrPV = 0 時，推測粘性壓力為零。在上一節(jié)中證明了分布函數(shù)最大熵 (6.23)受條件限制（6.18 - 6.22）有形式 (6.24)在exp(-)指定的一個粒子的分區(qū)函數(shù)Z和拉格朗日乘數(shù)中已經確保了對相對速度值的約束。下一步是確定, , 和系數(shù)，我們假設系數(shù)和 值很小，相對Pv和 q,，一個假設得到證實后驗證。擴大指數(shù)（6.24）一階在這些方面的結果如下 (6.25)在（6.18-6.22）取代（6.25）后，可以得到，最多在通量第一順序， (6.26) (6.27)有了這些結果，（6.25

13、）就成了(6.28)這只不過是對分布函數(shù)的表達式（4.36）衍生在十三矩的近似，在4章討論。然而背后的理念是非常不同的形式。研究的方法、分布函數(shù)的Hermite多項式展開，通過這樣一種方式，高階項將包含高階Hermite多項式。在信息論中，有的量需要考慮到系統(tǒng)的約束，并限制了指數(shù)只是一階的擴張。高階擴展顯然不同于研究理論的對應，然而，近似的呈現(xiàn)順序與來自信息理論和研究的形式主義的熵的表達式是相同的。結果（6.14），一起進行的拉格朗日乘數(shù)的計算（6.27）的產量表現(xiàn)和即等同于那些在動力學理論得到的。宏觀吉布斯方程似乎是對非平衡信息理論的一個有用補充。一個類似于這里介紹的分析，但主要集中在擴散通

14、量與兩個不連續(xù)的系統(tǒng)之間，已由Ghosh等人進行研究（2006），當然這些都是建立在微流體系統(tǒng)中流量波動分布的實驗分析基礎上，在5章提到。6.3 剪切流下的理想氣體：非線性分析最簡單的例子，讓一個非線性分析在剪切作用下進行，這是個經典理想氣體的問題（熱效應是不存在的）（比德爾等人。1997；柔等人。2001）（6.22 - 6.18）。對于最大熵的分布函數(shù)，拉格朗日乘子的算法在下面表達式中的結果 (6.29)其中，和拉格朗日乘子對應的能量上的約束，以及對粘性壓力張量的組成部分和z是一個粒子的分區(qū)函數(shù)。分區(qū)函數(shù)的顯式集成z（見數(shù)學恒等式（6.78） (6.30)其中是矩陣的行列式 (6.31)拉

15、格朗日乘子的約束，可以認為是 (6.32)如果一個重寫（6.29）成緊湊的形式 (6.33)并介紹了這一結果（6.23），它給出了熵遵循的表達式 (6.34)此外，考慮到引入，可以寫成 (6.35)從而降低了平衡表達，當時?？紤]到表達式（6.30），（6.35）和表示M的P，熵（6.34）可以寫成如下 (6.36)其中。在平衡狀態(tài)下，有和，所以對P的表達降低到，如預期。注意（6.36）非線性的，并超越二次非平衡近似。這是很容易用表達拉格朗日乘子。事實上，由于和另一方面，如下 (6.37)在（6.37）的右手側的括號內的術語可擴展為一系列的，并限制這到第一個形式，其中 (6.38)將這一結果引入

16、到吉布斯方程的表達式（6.11）中，寫作每單位質量，它被寫成 (6.39)根據(jù)著名的動力學理論的結果，人們發(fā)現(xiàn)（6.39）恰逢宏觀表現(xiàn)（3.11），除了dv和dq和dpv的條款。這是因為我們已經采取了變量的內部能量和粘性壓力Pv，但不是體積也不是其他通量。然而， dv這個詞可以直接從微分得到（6.36），其收益率，如（3.27）。當系統(tǒng)被提交到一個固定的剪切粘性壓力,，對應于一個平面Couette流，非零的拉格朗日乘子和，有 (6.40)圖6.2 不同溫度下庫愛特流理想氣體是繪制函數(shù)的無量綱比值。美國的溫度顯示為：局部平衡溫度（水平軸），熱力學溫度Tneq；動力學溫度在x軸和y軸，在z軸，這正

17、好與Tneq一致;和波動有效散熱溫度Teff一致（轉載自克里亞桑等人。（2006）物理快報一350:339）拉格朗日乘子可以通過和獲得 (6.41),。注意接近平衡，即當趨于零，我們看到，和。因此，當，恢復從（6.33）標準的麥斯威爾-玻爾茲曼分布與功能。相反，平衡時一個有趣的情況出現(xiàn)在哪個溫度產生不同的結果的幾種定義（例V´azquez和Jou 2003）。在圖6.2中，有繪制的拉格朗日乘子，對應的熱力學溫度的倒數(shù)，在x和y軸（方向1和2）的動力學溫度，與總動能，和一個有效的溫度定義T，通過一個非平衡漲落-耗散定理有關的粘度的粘性壓力波動。這說明溫度的形式具有多樣性的平衡（克里亞桑

18、等人.2006）熵現(xiàn)在有在非線性非二次表達式的形式通量，即 (6.42)其中，是平衡熵.6.4 理想氣體的熱流：非線性分析考慮一種理想的非相對論氣體在固定的能量和熱量下的其他通量。他們的分布函數(shù)，根據(jù)最大熵形式主義，是由（DOM´nguez和Jou1995）給出 (6.43)因子保證平均速度為零。這種分布發(fā)散的分子速度具有高值，因為第二執(zhí)行者在指數(shù)中的術語是奇數(shù)的速度，為避免這種發(fā)散，讓我們擴大（6.43）到第二級 (6.44)研究的結果是如果在一階截斷展開恢復。通過保持到二階，發(fā)現(xiàn)和有以下表達式 (6.45a) (6.45b)表達與從格拉德的擴張取得一致。 這并不令人驚訝，因為（6

19、.43）和（4.36）第一級相同。值得強調的是該拉格朗日乘數(shù)與不同，并且它取決于熱流。在格蘭特的方法，即在q二階項省略有。這就是為什么這個問題之間的差異，絕對非平衡溫度和局部平衡溫度不出現(xiàn)在動力學理論，其中后者總是使用的是其定義。要注意的是（6.44）產生不同的平均值，和。如果熱流具有y軸上的方向，如實施例（3.25）中，可以發(fā)現(xiàn) (6.46)根據(jù)不同教程的基礎.3.4衍生。6.5 能量流下的相對論理想氣體作為進一步的說明，考慮相對論理想氣體在一個非平衡穩(wěn)定狀態(tài)，與規(guī)定的內能U和集成的能量流，其中V是體積和q的能量通量（費雷爾和Jou1995年）。分布函數(shù)最大化熵寫做 (6.47)其中是對于第

20、i個粒子和能量的微觀表達式對能量流的粒子貢獻（所有粒子都應該是以光速c的速度移動）。根據(jù)（6.6），該分區(qū)函數(shù)定義為 (6.48)其中因子V N是積分出來的粒子位置。在傳統(tǒng)研究的經典氣體的對比6.4，分布函數(shù)（6.47）不發(fā)散因為能量通量在條款的依賴處于一階，而不是三階作為經典的氣體。這得以獲得用于分函數(shù)的顯式表達而不會引入任何指數(shù)截斷。明確的結果（6.48）是 (6.49)我們現(xiàn)在確定的拉格朗日乘子和是根據(jù)U和Vq確定的。 我們根據(jù)條件，分別獲得了平均能量和平均通量， (6.50) (6.51)請注意，（6.49）（6.51）有，它設置的最大值為，這將在下面解釋其功能。調換（6.50）和（6

21、.51）的收益率和 (6.52)和 (6.53)其中，y代表 (6.54)（6.50-6.51）遵循，其中存在和; 在此外，（6.49）減少到平時的平衡表達式分區(qū)功能。一般來說，非平衡溫度，是由下式給出。此外，可以看出與對于分歧，即當V q趨于Uc。 該域名的有效性很容易解釋，因為Uc是最大的能量流，可以預期：它對應于能量以最大可能的速度進行，這正是C?；仡櫫遂厥怯山o出并且引入計算式（6.49）和（6.53），它被發(fā)現(xiàn) (6.55)這表明熵可能取決于在一個非二次能量通量矢量量化的方式。很容易從（6.47）得到壓力相應表達張量，其具有的一般形式 (6.56)其中非平衡壓力由界定，b由條件給出，

22、p為當?shù)氐胤狡胶鈮毫ΑＰ枰⒁獾氖撬羌赡芰客縑 q，而不是密度q，其在分化過程中保持恒定。通過區(qū)分微分熵V，可以得到 (6.57a)因此 (6.57b)插入這兩個表達式到 (6.56) 可以得到 (6.58)觀察到對于y=2，壓力張量降低至，這是平衡壓力張量。在qq術語成為主導的時候能量通量接近cU（即y趨于1），起著輻射重要作用的流體力學，其中壓力張量被表示為（Mihalas和Mihalas1985） (6.59)是愛丁頓因素。通過比較（6.58）和（6.59），有 (6.60)該表達式為愛丁頓因子，已經由Anile等人獲得的（1991），基于非平衡熱力學的合理制定、論證和要求洛倫茲不

23、變性（見問題17.2）（1996年Levermore;Dom'nguez-卡斯坎特和Faraudo1996）。讓我們對熵的行為簡短的評論時，能量通量接近其最大值。根據(jù)（6.55），熵是發(fā)散代替的消失，如使用傳統(tǒng)的，而不是量子統(tǒng)計的結果，如果一個人希望研究電磁輻射，相關的統(tǒng)計數(shù)據(jù)是BoseEinstein和最大化熵相應的表現(xiàn)，亦即 (6.61)這產生了分布函數(shù) (6.62)在這里，我們不考慮顆粒固定數(shù)目，因為我們正在處理光子的粒子數(shù)不固定。和計算相當繁瑣（Larecki1993年），最終結果是 (6.63)和 (6.64)在這里，是出現(xiàn)在眾所周知表達的內部能量的輻射平衡輻射常數(shù)?，F(xiàn)在熵的

24、表達式 (6.61) 變成了 (6.65)其趨向于預期的值在平衡()過程中消失，因為.6.6 線性諧波鏈中的熱流諧波鏈闡明熱力學原始光理想系統(tǒng)。耦合每一端諧波鏈熱流量，以及研究在不同溫度下的熱貯存， SPOHN和萊博維茨（1977），米勒和拉爾森（1979年）和其他許多人一直在研究。在一個諧波鏈，聲子平均自由程是無限的，從而使沿著它的能量通量是不成比例的溫度梯度，但對應于其容器兩端之間的溫度差。為了避免與邊界條件產生沖突，米勒和拉森（1979）通過考慮鏈兩段的鏈接，消除了邊界在一起形成的環(huán)。在這種情況下，系統(tǒng)被證明是一個“超導體'熱能，由于它的無限的熱導率：熱流持續(xù)無限期持續(xù)下去，沒有

25、可適用的邊界條件以維持它。這樣的鏈環(huán)其特征在于，所受約束 (6.66)其中H是系統(tǒng)的哈密頓，J熱流操作者，U是平均鏈的（內部）能量， Q是沿著環(huán)的平均熱流。該系統(tǒng)由N個粒子線性鏈組成，每個質量為m。每個粒子由虎克彈簧連接到其最近的K,第N個顆粒是通過一個彈簧連接到所述第一顆粒，從而使鏈形成一個封閉的環(huán)。人們可以選擇無量綱量，其中的一個系統(tǒng)質量被表示為m，時間方面單位，能量單位。讓代替每個粒子的平衡，為它們的共軛勢頭。哈密頓H(q1; P1; ：qN; pN)由下式給出 (6.67)微觀算子熱流 (6.68)為了獲得這種形式，考慮到這個系統(tǒng)在意識上被分為一個右子系統(tǒng)和左子系統(tǒng)。我們可以識別所有顆

26、粒哪里的是固定的，是右子系統(tǒng)，和那些顆粒，如左子系統(tǒng)。這兩家子系統(tǒng)通過一個單一的耦合彈簧相互作用。一半的耦合彈簧的勢能是由于每個子系統(tǒng)產生的。讓對系統(tǒng)進行能量增加凈率。通過的工作率由耦合彈簧對它進行了，加上一半的速度增加潛在能量耦合彈簧，。這就產生了 (6.69)取（6.69）平均值所有對還給（6.68），因為取消了，由于這樣的事實，該金額被模N.從漢密爾頓方程運動的同時，還檢查了J是運動的一個常數(shù)?，F(xiàn)在，我們變換H和J在正常坐標條款的規(guī)范動量和，從而降低了勢能為規(guī)范二次的形成。該變換矩陣q和由A界定，由戈爾茨坦給出（1975） (6.70)在正常的坐標表示，該系統(tǒng)的哈密頓變成 (6.71)這

27、里的是所述這個模式的角頻率，由下式給出?？紤]到矩陣A由（6.70）給出的垂直對稱（A =A1），熱流運算符（6.68） (6.72)如果是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，。我們?yōu)榇耸褂媒Y果，這是從定義的。我們正在研究的系統(tǒng)的相位空間的維數(shù)是2N，但是通過假設該系統(tǒng)的質量中心保持固定時，尺寸降低至2（N-1）。接下來的問題是要找到降低的概率分布函數(shù)最大化熵 (6.73)受約束（6.66）。在這里，。 注意在因子N!（6.1）中不出現(xiàn)在（6.73），因為粒子被保持在一個給定的順序，不再區(qū)分。f的結果為，如圖節(jié).6.1， (6.74)其中，和是各自的拉格朗日乘子，Z是分區(qū)函數(shù) (6.75)為獲取分區(qū)的功能，請注意

28、，和H都可以被表示為一求和對和正常坐標共享相同的特性頻率，即和 (6.76a) (6.76 b)因此，分函數(shù)可以表示為一個乘積 (6.77)為了計算這些積分，人們可以采用一般的結果 (6.78)其中r和R分別是n維矢量和M正定方陣。為了評估，r被認為是由組件四維向量組成，其中，R是零矢量，M的矩陣由下式給出 (6.79)其中，事實證明，所以有 (6.80)總的分區(qū)功能可以在熱力學極限時指出來計算，可被轉換成一整體在N的極大上限，由于變得任意小。人們發(fā)現(xiàn)了漸近認定 (6.81)用于Z的最終結果可以寫成 (6.82)拉格朗日乘子和可以通過U和Q找到約束（6.66），其類似于（6.7）表示 (6.8

29、3)當（6.84）被引入到（6.83）中，可以得到和y (6.84)取和。根據(jù)這些量，（6.82）變?yōu)?(6.85)對于x = 0恢復平常的平衡結果，而,和發(fā)散。因此，以上考慮存在一個臨界熱流的問題。熵和廣義拉格朗日乘數(shù)值得特別評論。根據(jù)（6.73）和（6.74），熵可以被寫為 (6.86)在熱力學極限趨于無窮大時，粒子的熵變在外顯形式（6.82）的Z (6.87)正如所料，熱流的存在改變s的值。對于小值熱流，（6.87）變成 (6.88)這種表達為熱流q提供了進一步的佐證，依賴擴展不可逆熱力學的基本斷言，說明熵是一個函數(shù)的熱流的平衡，并允許存在探索熱流的高階項。拉格朗日乘數(shù)可以用一個廣義的絕

30、對角度來解釋溫度是多少, 定義為 ;從（6.84）中得出 (6.89)表明廣義溫度不同于通常的局部平衡溫度至少由x2或Q得到同樣的結果，從（6.87）和定義得到。當，熵（6.87）發(fā)散，即當絕對溫度趨于零（該極限熱流趨于最大值）。這是因為使用了經典的統(tǒng)計而非量子統(tǒng)計。事實上，當非平衡溫度變得比愛因斯坦的溫度低，有必要訴諸玻色 - 愛因斯坦的，而不是經典統(tǒng)計學（卡馬喬和柔1995年）;因此，米勒和拉爾森獲得不再有效的熱流大于給定值?？紤]諧波鏈的線性色散關系，c是聲子速度，波矢的幅值。系統(tǒng)的量子分析在一個固定的能量密度q和固定的能量通量的約束下，為分布函數(shù)最大化熵 (6.90)其中，和是拉格朗日乘

31、子，。在量子極限時，當（用表示熵行為的德拜能量）為 (6.91)拉格朗日乘子和已經給出 (6.92) (6.93)其中是當?shù)氐钠胶鉁囟龋?在平衡時Q=0，因此（6.90）成為平衡玻色-愛因斯坦分布函數(shù)。T和之間的關系服從低的量子態(tài)的量子方程，即 (6.94)請注意，目前存在的問題是，結果（6.84）未在經典極限恢復， 已經代替了精確色散關系。注意，有趣的是，對于以恒定熱量的比熱的表達通量定義為 (6.95)需要注意的是在極限點消失，即當非平衡絕對溫度是趨于零，與此相對應的第三定律樣行為（卡馬喬和1995年柔）。這提供了第三定律推廣到非平衡穩(wěn)定狀態(tài)的依據(jù)：的確，處于平衡狀態(tài)，與平衡相一致溫度，使

32、的消失即T的消失;然而，在非平衡，即使在T的非零值，可以在足夠高的接近零熱流的值。在能量通量高值類似的量子行為也被發(fā)現(xiàn)于弗羅利希分析誰的聲子玻色 - 愛因斯坦凝聚在能量通量的高值非線性系統(tǒng)（弗羅利希和Kramer，1983）。6.7 信息論和非平衡波動圍繞非平衡穩(wěn)定狀態(tài)的波動結合動力和統(tǒng)計非平衡的成果（特倫布萊等人1981年;1984年特倫布萊;奧爾蒂斯·薩拉特和Singer2006）。在這里，我們把注意力集中在統(tǒng)計方面。信息論是研究變量的波動，對周圍的非平衡的穩(wěn)定狀態(tài)是特別有用的。有了這個目標，讓我們表達觀測宏觀值的第二矩在他們的平均值;直接簡單的分化檢查（6.7）后有 (6.96

33、)考慮到數(shù)學關系的熵，表達式（6.96）可寫成廣義的二階導數(shù) (6.97)使用（6.7）和（6.11），（6.97）可作為替代表示 (6.98)從中，與逆相關；因此，波動的第二時刻可能寫為 (6.99)這表明，最大熵形式主義把二階矩非平衡態(tài)熱力學量的漲落和廣義熵的二階導數(shù)聯(lián)系起來。形式上，這是相同的情況，然而，有一個重要的區(qū)別，熵函數(shù)不再是經典的，而是包含作為補充變量在系統(tǒng)中作為約束的通量。在非平衡態(tài)動力學波動的常用方法中（Tremblay等人。1981；Tremblay 1984），它是假定的流體動力學噪聲，由于對q和PV快速波動，保持局部的平衡形式，確定局部溫度，壓力和速度。這種假設支持直觀論證，這些波動是如此之快，以至于他們沒有足夠的受到系統(tǒng)非平衡條件的影響。然而，如果對通量的波動衰減的時間小到是可以忽略不計的，噪聲可以'知道'系統(tǒng)是不平衡的，并可能會發(fā)生一些變化。當然，這種修改的噪音分鐘比通量弛豫時間的逆低得多，如在液體中的光散射。然而，他們可以被感知到的頻率相媲美的逆弛豫時間，如氣體或中子散射中的光散射液體。 為獲得用于波動的概率的表達，我們定義一個廣義具體的自由能g為 (6.100