第五章數(shù)學(xué)信號變換與處理技術(shù)基礎(chǔ)

1、第五章 數(shù)學(xué)信號變換與處理技術(shù)基礎(chǔ)數(shù)字信號分析是振動測試中的一種重要方法，也是近年來測試技術(shù)的發(fā)展方向。數(shù)字信號的測試，先由傳感器測量產(chǎn)生出模擬信號，然后將模擬信號轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號，再利用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行分析與處理。傅里葉變換是動態(tài)信號分析的基礎(chǔ)，它起源于傅里葉級數(shù)，并通過長期發(fā)展逐步形成一套動態(tài)信號時頻變換的基本方法，它不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析，而且還是功率譜（自功率譜和互功率譜）估計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過傅里葉反變換，還可以由功率譜密度求出相關(guān)函數(shù)（自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)）。此外，傅氏變換還是卷積、數(shù)學(xué)濾波等信號處理的中間環(huán)節(jié)。早期，運(yùn)用模擬儀器進(jìn)行傅里葉分析是很不方便的，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代

2、動態(tài)信號分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn)，其核心是離散傅里葉變換（DFT）。特別是1965年公布了快速傅里葉變換方法以后，離散傅里葉變換算法開辟了動態(tài)信號分析的新紀(jì)元，也大大推動了現(xiàn)代模態(tài)分析技術(shù)的發(fā)展。第一節(jié) 傅里葉變換一、傅里葉級數(shù)如果振動波形是任何形式的周期函數(shù)，則可利用傅里葉級數(shù)將其分解為若干個簡諧振動，這些簡諧振動的頻率成諧波（即整數(shù)倍）關(guān)系。設(shè)周期性振動的時間函數(shù)為，周期，它可展開成為傅里葉級數(shù)如下： （5-1）是一個時間域的函數(shù)，式中 （5-2）式中的為在周期內(nèi)的平均值或常數(shù)部分，和稱為傅里葉系數(shù)。傅里葉級數(shù)法乃是用許多曲線、去湊成曲線，這些曲線的峰值和的大小按誤差平方和最小的要求去確定。

3、為了應(yīng)用上的方便，可將傅氏級數(shù)的形式轉(zhuǎn)換為復(fù)指數(shù)的形式，利用歐拉公式： （5-3）式中得，則式（5-1）可寫成：（5-4）由于，因此將以上兩式代入式（5-4），并考慮到（當(dāng)時），可得（5-5）令（5-6）則（5-7）這就是傅氏級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，用復(fù)指數(shù)展開周期函數(shù)，就是將頻率范圍從擴(kuò)展到，但其譜線仍為離散的，稱為的傅氏變換，稱為的傅氏逆變換。將傅氏級數(shù)系數(shù)的表達(dá)式代入式（5-6），可得： （5-8）二、傅里葉積分對于非周期振動，其周期T無限長的，在整個時間，無限長是不存在，可以在一個有限區(qū)間中分析，對于無窮域中的數(shù)據(jù)，考慮有限區(qū)間 （5-9）為譜線間隔，、與有如下關(guān)系，因此當(dāng)時，令 （5-10

4、） （5-11）與周期函數(shù)一樣，稱為的傅氏變換，稱為的傅氏逆變換。非周期函數(shù)傅里葉積分是傅里葉級數(shù)的推廣，與周期函數(shù)不同的是，其譜線是連續(xù)的，即能量在頻域內(nèi)呈連續(xù)分布。第二節(jié) 離散傅里葉變換（DFT）由于是一個時間連續(xù)的信號，因此對于式（5-8）及（5-10）均不宜直接用于計算機(jī)運(yùn)算，因?yàn)橛嬎銠C(jī)只可能對有限長度的離散序列進(jìn)行運(yùn)算和存貯。因此，必須對連續(xù)的時域信號進(jìn)行抽樣（離散化）和截斷，這也就是離散傅里葉變換的由來。首先來看一下，傅里葉級數(shù)的離散算法，傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)形式的原始表達(dá)式為（5-12）對于周期函數(shù)，其頻譜也是周期變化，因此取時間信號的一個周期來分析即可，如圖5-1（a）一周期函數(shù)，設(shè)

5、其時間周期長度（也稱為采樣周期），在一個采樣周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為（往往也稱之為分析點(diǎn)數(shù)），采樣間隔為，即每經(jīng)過時間，計算機(jī)將模擬信號上的對應(yīng)點(diǎn)量化為數(shù)字信號，這個過程等效于將頻率為的采樣脈沖（如圖5-1（b）對連續(xù)時域模擬信號進(jìn)行調(diào)制和量化過程，、的關(guān)系為，實(shí)際上，但一般往往很大，因此為了計算方便取。稱之為采樣頻率，其物理意義是每秒采樣點(diǎn)數(shù)。周期的倒數(shù)為譜線間隔，即（），即在頻率內(nèi)其幅頻曲線是由條離散譜線獨(dú)立組成。也稱之為頻率分辨率，越小則頻率分辨率越高，頻率分辨率、分析點(diǎn)數(shù)、采樣頻率三者之間關(guān)系為，它說明在分析點(diǎn)數(shù)一定下采樣頻率越高分辨率越低、在采樣頻率不變下分析點(diǎn)數(shù)越大分辨率越高。圖5-1

6、連續(xù)信號離散在進(jìn)行了如圖5-1（a）所示的離散之后，式（5-12）所表示達(dá)的積分，可用乘積之和來代替：式（5-12）中，用代替，表示第條譜線；用代替；積分符號用求和來表示，則一個周期內(nèi)積分（5-13）相應(yīng)的，離散傅立葉逆變換（5-14）對于非周期信號的傅里葉變換關(guān)系式為 由上式可知，其正變換和逆變換都是連續(xù)函數(shù)，但是，在計算處理時，不能把無限長時間歷程內(nèi)的整個信號都拿來處理，必須進(jìn)行截斷采樣處理。這時傅里葉變換就轉(zhuǎn)換為傅里葉級數(shù)，其周期為采樣長度，這實(shí)際上就是對非周期信號的離散傅里葉分析。從實(shí)質(zhì)上來講是一種等效的傅里葉級數(shù)分析。其計算公式與式（5-13）的形式相同。當(dāng)是周期函數(shù)時，T就是周期；

7、當(dāng)不是周期函數(shù)時，T就是截斷的樣本長度。通過以上分析，離散傅里葉變換的真正意義在于：可以對任意連續(xù)的時域信號進(jìn)行抽樣和截斷，然后進(jìn)行傅里葉變換，得到一系列離散型頻譜，該頻譜的包絡(luò)線，即是原來連續(xù)信號真實(shí)頻譜的估計值。當(dāng)然，也可以對給定的連續(xù)頻譜，在抽樣截斷后作傅里葉逆變換，以求得相應(yīng)時間歷程的函數(shù)。 第三節(jié) 快速傅里葉變換（FFT）上一節(jié)已給出離散傅立葉變換（DFT）及其逆變換（IDFT）的表示式為DFT: （5-13）IDFT: （5-14）令用表示，則有 （5-15）于是（為簡單起見，將記為，將記為 DFT： (5-16)IDFT: (5-17)寫成矩陣形式為 DFT： （5-18） ID

8、FT： （5-19）其中 （5-20） （5-21）從式（5-18）中可以看出，若計算某一個頻譜，則需進(jìn)行與的N次復(fù)數(shù)乘式運(yùn)算和N-1次的復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。若將N個頻譜全部計算完，則需進(jìn)行復(fù)數(shù)次，復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次。在振動測試中，若信號的樣本數(shù)據(jù)長度取為N=1024（210），此時需要進(jìn)行2096128次復(fù)數(shù)運(yùn)算。在普通微機(jī)上進(jìn)行200多萬次復(fù)數(shù)運(yùn)算，計算時間是相當(dāng)長的，不僅達(dá)不到實(shí)時分析的要求，而且浪費(fèi)機(jī)時。正因?yàn)槿绱?，雖然DFT的主要性質(zhì)，早已為人們所了解，卻未能得到有效的應(yīng)用。只是在1965年由庫列和圖基提出了一種適合計算機(jī)用的DFT的快速算法，即后來為人們稱道的FFT，之后，數(shù)字信號分析技術(shù)才

9、得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。FFT的出現(xiàn)，使科學(xué)分析的許多領(lǐng)域面貌一新。快速傅里葉變換法的其本思想是巧妙地利用了復(fù)指數(shù)函數(shù)的周期性和對稱性，充分利用中間運(yùn)算結(jié)果，合理安排重復(fù)出現(xiàn)的相同運(yùn)算，以減少DFT的運(yùn)算工作量。圖5-2用單位圓的等分向徑表示的值，圖中N=8（1）的周期性 以為變量，為周期，即 （5-22）或?qū)懽?（5-23）其中，表示和的積被整除所得余數(shù)。例如，對于，有，等等。的所有值可用復(fù)平面上將一單位圓等分的條向徑來表示。圖5-2表示了時，將單位圓八等分得到的八個值，即： 其它則可以由周期性得到，如，等等。（2）的對稱性 可表為 （5-24）仍以為例，有，等等。這也可以由圖5-2中，

10、如與、與相應(yīng)向徑大小相等，方向相反看出。根據(jù)的周期性和對稱性可知，式（5-20）的 矩陣中N2個元素中，實(shí)際上只含有N個不同值，而且其中N/2個數(shù)是由其余N/2個數(shù)取反號得到。FFT算法的關(guān)鍵就在于避免與的相乘運(yùn)算中重復(fù)運(yùn)算，基本途徑是通過奇、偶分組方法將長序列的DFT逐步分解為最短序列的DFT。說明如下：DFT通常取等于2的整次冪，即 （5-25）為正整數(shù)首先把的DFT運(yùn)算按為偶數(shù)和為奇數(shù)分解為兩個序列。用表示偶數(shù)、表示奇數(shù)，則有 （5-26） 由于 W因此式（5-26）可寫成 （5-27）或?qū)懽?（5-28） ， (5-29)式（5-29）表示，兩個子時間序列與的傅里葉變換，這樣一個N點(diǎn)的

11、DFT被分解為兩個N/2點(diǎn)的DFT。注意到和只有N/2個點(diǎn)，而應(yīng)該有N個點(diǎn)。為了求得全部的，可利用和的一個重復(fù)周期 ，和的對稱性 由此可得 即 (5-30)于是，式（5-29）和（5-30）分別給出的前N/2個點(diǎn)和后N/2個點(diǎn)的值。同樣道理，子序列和也可重復(fù)前面的方法，將其所對應(yīng)的時間子序列與再分成更短的子序列。依此類推，直至每個子序列只包含有一項，而單項的傅里葉變換就等于本身。以N4為例，有這四個式子實(shí)際上只需進(jìn)行兩次乘法運(yùn)算，即和，以及四次加（減）運(yùn)算。Y0、Y1、Z0、Z1的值由x0、x1、x 2、x 3按奇、偶分組求得，即Y0x0x2Y1x0x2Z0x1x3Z1x1x3這四個式子也只包

12、含兩次乘法運(yùn)算，即x2和x3，及四次加（減）運(yùn)算?？梢姡瓿蒒224的DFT只需進(jìn)行2×4次乘和2×N=8次加（減）運(yùn)算，而不是N216次乘和N（N1）12次加（減）運(yùn)算。圖5-3 N=4的FFT流程圖式（5-29）和（5-30）中每兩個等式的運(yùn)算過程可以用一個稱為蝴蝶結(jié)的“X”形圖來表示。八個等式對應(yīng)四個蝴蝶結(jié)，如圖5-3所示。這種圖形稱為FFT的蝶形運(yùn)算流程圖。運(yùn)算自左向右進(jìn)行，兩直線的匯交點(diǎn)表示兩個數(shù)值相加；線旁標(biāo)有WN的冪次的，表示與相應(yīng)復(fù)指數(shù)做乘法運(yùn)算。初看似乎每個蝴蝶結(jié)包含兩次復(fù)數(shù)乘和兩次復(fù)數(shù)加，實(shí)則只有一次復(fù)數(shù)乘和兩次復(fù)數(shù)加。以左上角的蝴蝶結(jié)為例，積可從積變號

13、而得。其它蝴蝶結(jié)也類似。對于N22=4情況，只需進(jìn)行一次奇偶分解，全部FFT運(yùn)算過程采用兩級蝶形流程圖即可解決。對于N2M的任意情況，可將這種奇偶分解方法逐級進(jìn)行下去。例如N23=8時，可繪出三級蝶形流程。由于每一級蝶形流程各需做N/2次乘和N次加運(yùn)算，三級流程共需做3×12次乘和3×N=24次加運(yùn)算，而不必做N264次乘和N（N-1）56次加運(yùn)算。可見FFT的運(yùn)算次數(shù)已大為減少。由于加運(yùn)算機(jī)時與乘運(yùn)算機(jī)時相比可忽略不計，N8的FFT運(yùn)算速度大致提高64÷125.3倍。同理，當(dāng)N2101024時，F(xiàn)FT運(yùn)算可分解為十級蝶形流程，需做10×5120次乘運(yùn)算

14、，如用原始的DFT，則需做N21048576次乘運(yùn)算，兩者相比，F(xiàn)FT的速度提高約205倍！在一般情況下，當(dāng)N2M時，F(xiàn)FT運(yùn)算分解為M級蝶形流程，每一級都包含N/2次乘和N次加運(yùn)算，總的運(yùn)算量為：×Mlog2M次復(fù)數(shù)乘，N×MNlog2M次復(fù)數(shù)加。與原始DFT運(yùn)算相比，N值越大，F(xiàn)FT運(yùn)算速度提高的倍數(shù)越高。第四節(jié) 采樣定理與迭混由于計算機(jī)不可能對無限長連續(xù)的信號進(jìn)行分析處理，在數(shù)字信號分析的過程中，只能將其截斷變成有限長的離散數(shù)據(jù)，即有限離散傅立葉變換要求對連續(xù)信號進(jìn)行采樣。而不恰當(dāng)?shù)牟蓸訒謩e帶來頻率混淆和功率泄漏誤差，甚至使頻率分析完全失效。解決的辦法是恰當(dāng)選擇采樣

15、頻率，引進(jìn)抗混濾波器。 將連續(xù)的無限長的模擬信號轉(zhuǎn)換成離散的數(shù)字信號，一般通過模數(shù)轉(zhuǎn)換電路（A/D轉(zhuǎn)換器）來完成，這里將涉及到采樣頻率問題。采樣頻率的選擇是一個重要問題，采樣頻率高，采樣間隔小，意味著對一定長度的波形記錄（也稱為樣本）取較多的離散數(shù)據(jù)，要求計算機(jī)有較大的內(nèi)存容量及較長的處理機(jī)時，如縮短記錄的長度，則可能產(chǎn)生較大的分析誤差。采樣頻率過低，即采樣間隔過大，則離散時間序列可能不足以反映原來信號的波形特征，頻率分析會出現(xiàn)頻率混淆或稱為混疊（Aliasing）的現(xiàn)象。 數(shù)字頻率分析要求采樣頻率必須高于信號成分中最高頻率的兩倍，即 (5-30)為采樣間隔。這就是所謂采樣定理。圖5-4表示對

16、兩個不同頻率的簡諧信號和，采用相同采樣間隔采樣的情況。由于該采樣頻率對來說太低了，結(jié)果兩個不同信號的采樣得到相同的時間序列，就是說兩個不同頻率被混淆了。 圖5-4 高低頻混疊現(xiàn)象 頻率混淆現(xiàn)象可進(jìn)一步用圖5-5和5-6來說明。由于時間歷程的采樣序列的頻譜由連續(xù)信號的頻譜與抽樣函數(shù)頻譜的卷積，得到的采樣序列的頻譜。該頻譜是頻率的周期函數(shù)，且周期等于采樣頻率。圖5-5中，信號的上限頻率與采樣頻率之間滿足采樣定理，即，其采樣時間序列的頻譜在0范圍內(nèi)能代表的真實(shí)頻譜。圖5-6中，由于，不滿足采樣定理，采樣時間序列的頻譜在兩個頻譜周期之間將發(fā)生混疊現(xiàn)象。比大得越多，混疊范圍就越寬，混疊區(qū)域的頻譜不是原來

17、信號的真實(shí)頻譜，而產(chǎn)生虛假的頻譜線，因此，在實(shí)測中應(yīng)嚴(yán)加注意。在給定采樣頻率或采樣間隔時，稱 （5-32）為混疊頻率或乃奎斯特（Nyquist）頻率。圖5-5 時，無頻率混淆圖5-6 時，產(chǎn)生頻率混淆由采樣定理可知，消除頻率混疊的途徑有兩種：1）提高采樣頻率即縮短采樣時間間隔，使。然而實(shí)際的信號處理系統(tǒng)不可能達(dá)到很大的采樣頻率。所以，靠提高采樣頻率避免頻率混疊是有限制的。因此，2）一般使信號在進(jìn)入A/D之前，先通過一個模式式低通濾波器，也可在A/D之后，經(jīng)過一個數(shù)字式低通濾波器，濾除信號中不必考慮的高頻成分。這種用途的濾波器特稱為抗混濾波器?？够鞛V波器的截止頻率通常取其等于選定的最高分析頻率。

18、無論是模式式還是數(shù)字式濾波器都不可能有理想的濾波特性如圖5-7所示，在其截止頻率以外，總存在一段逐漸衰減的過渡帶。因此，一般數(shù)字信號分析儀取采樣頻率為抗混濾波器截止頻率的2.5至4倍。圖5-7 濾波器特性第五節(jié) 泄漏與加窗如前所述，數(shù)字信號分析儀只能對有限長度的離散時間序列進(jìn)行DFT運(yùn)算，這意味著對時域信號的截斷。截斷信號，即截取測量信號中的一段信號，一般會帶來截斷誤差，截取的有限長信號不能完全反映原信號的頻率特性，其效果是使得本來集中于某一頻率的功率（或能量），部分被分散到該頻率的鄰近頻域，這種現(xiàn)象稱為“泄漏”效應(yīng)。理解泄漏最直觀的例子是，直流信號的頻譜是位于零頻率處的函數(shù)，如圖5-8(a)

19、所示。當(dāng)截取其中一段長為的信號后，其傅氏譜變?yōu)楦采w整個頻率軸上的連續(xù)譜，如圖5-8(b)所示，即原信號零頻率處的能量泄漏到整個頻率軸上。如果將信號視為力信號，原信號相當(dāng)于常力，而截斷信號相當(dāng)于矩形脈沖力，兩種信號的性質(zhì)顯然不同。圖5-8 泄漏現(xiàn)象的簡單例子從數(shù)字意義上講，無限長連續(xù)信號的截斷相當(dāng)于用一高度為1寬度為的矩形窗函數(shù)去乘原信號，則截斷信號及其傅氏譜為（5-33）（5-34） 以余弦信號為例，如圖5-9（a）表示一余弦信號 被截斷前后的頻譜變化。無限長度的余弦信號具有單一的頻率，其雙邊譜是在一和出的兩根對稱分布的離散譜線，即（5-35）信號被截斷相當(dāng)于被乘以一個矩形窗函數(shù)。矩形窗函數(shù)及

20、其頻譜（5-36）（5-37）如圖5-9(b)所示。截斷信號的頻譜等于原信號的頻譜與窗函數(shù)的卷積。由于矩形窗函數(shù)的頻譜是包含主瓣和許多旁瓣的連續(xù)譜，卷積的結(jié)果，截斷信號的頻譜由原來的信號的離散譜變?yōu)樵谔幍墓β?，泄漏到臨近很寬的頻帶上，如圖5-9(c)。圖5-9 余弦信號截斷過程及泄漏現(xiàn)象如果原來信號就具有連續(xù)頻譜，則由于窗函數(shù)頻譜旁瓣的影響，截斷信號的頻譜包絡(luò)線會出現(xiàn)所謂“皺波”效應(yīng)。由以上分析可知，泄漏是由于對無限長信號的截斷造成的。因此，自然想到，如果能改變這種突然截斷方式，泄漏會得到改善。因此，為了抑制“泄漏”，需采用特種窗函數(shù)來替換矩形窗，也即對截斷的時間序列進(jìn)行特定的不等加權(quán)。這一過

21、程，稱為窗處理，或加窗。加窗的目的，是在時域上平滑截斷信號兩端的波形突變，在頻域上盡量壓低旁瓣的高度。雖然壓低旁瓣通常會伴隨主瓣變寬，不過在一般情況下，旁瓣的泄漏是主要的，主瓣變寬的泄漏是第二位的。圖5-10 四種窗函數(shù)的時域圖形 數(shù)字信號分析儀常用的窗函數(shù)有：（1） 矩形（Rectangular）窗 （5-38）（2） 漢寧（Hanning）窗 （5-39）（3） 凱塞貝塞爾（Kaiser-Bessel）窗 （5-40）（4） 平頂（Flat Top）窗 （5-41）圖5-11 四種窗函數(shù)的幅值譜圖5-10給出上述四種窗函數(shù)的時域圖像。為了保持加窗后的信號能量不變，要求窗函數(shù)曲線與時間坐標(biāo)軸

22、所包圍的面積相等。對于矩形窗，該面積為。因此，對于任意窗函數(shù)，必須滿足積分關(guān)系式 （5-42） 圖5-11分別給出上述四種窗函數(shù)的頻譜，其主要參數(shù)的比較如表5-1所給出。數(shù)字頻率分析中要求對不同類型的時間信號，選用適宜的窗函數(shù)。表5-1 常用窗函數(shù)的頻譜參數(shù)主瓣有效噪聲帶寬（）或主瓣3dB帶寬（）或旁瓣最大值（dB）旁瓣滾降率（dB/Decade）矩形窗1.000.89-13.320漢寧窗1.501.44-31.560凱塞窗1.801.71-66.620平頂窗3.773.72-93.60隨機(jī)過程的測量，通常選用漢寧窗。因?yàn)樗梢栽诓惶訉捴靼甑那闆r下，較大地壓低旁瓣的高度，從而有效地減少了功率

23、泄漏。圖5-12表示一寬帶隨機(jī)信號用漢寧窗加權(quán)后的波形。對于本來就具有離散頻譜的信號，例如周期信號或準(zhǔn)周期信號，分析時最好是選用旁瓣極低的凱塞-貝塞爾窗或平頂窗。圖5-13表示一簡諧信號被平頂窗加權(quán)后的波形，加窗后的波形似乎發(fā)生了很大的變化，但其頻譜卻能較準(zhǔn)確地給出原來的信號的真實(shí)譜值，因?yàn)檫@兩種窗的頻譜主瓣較寬，對下文所述“柵欄效應(yīng)”導(dǎo)致的測量偏差較小。沖擊過程和瞬態(tài)過程的測量，一般選用矩形窗而不宜用漢寧窗、凱塞窗或平頂窗，因?yàn)檫@些窗起始端很小的權(quán)會使瞬態(tài)信號加權(quán)后失去其基本特性。有時為了平滑沖擊或瞬態(tài)過程終結(jié)后的隨機(jī)干擾噪聲，采用一種截短了的矩形窗（適用于沖擊過程）和指數(shù)衰減窗（適用于衰減

24、振動過程），這種方式主要用于沖擊激勵情況下的頻響函數(shù)測量。 圖5-12 隨機(jī)信號加漢寧前后的波形 圖5-13 正弦信號加平頂窗前后的波形3. 柵欄效應(yīng)（Picket fence Effect）圖5-14 常用窗函數(shù)的柵欄效應(yīng)從頻域看，窗函數(shù)的作用就像是模擬分析儀的帶通濾波器，窗函數(shù)的傅立葉頻譜就相當(dāng)于帶通濾波器特性。條譜線就相當(dāng)于個并聯(lián)的逐級恒帶寬濾波器，他們的中心頻率各等于相應(yīng)的頻率抽樣。如果信號中某頻率分量的頻率恰好等于。即恰好與顯示或輸出的頻率抽樣完全重合，那么該譜線可給出精確的譜值；反之，若與頻率抽樣不重合，就會得出偏小的譜值。這種測量誤差，屬于譜估計的偏度誤差，這種現(xiàn)象則稱為“柵欄效

25、應(yīng)”。圖5-14表示出前面所述四種常用窗函數(shù)由于柵欄效應(yīng)可能產(chǎn)生的最大偏度誤差，即 矩形窗 3.92dB 或 36.3 漢寧窗 1.42dB 或 15.1 凱塞貝塞爾窗 1.02dB 或 11.1 平頂窗 0.01dB 或 0.1%最大偏度誤差出現(xiàn)在被分析的頻率恰好等于的情況下，為整數(shù)。雖然平頂窗的偏度誤差很小，但它的主瓣帶寬很寬，等于3.77。選用平頂窗時要求被測信號的所有頻率分量之間的間隔不小于5，否則難于分辨，應(yīng)予注意。從以上分析可知，由于信號的突然截斷，在整個時間域上重建所有數(shù)據(jù)如果在截斷處信號處不連續(xù)，即有突變，則將產(chǎn)生泄漏問題，為了解決這個問題，我們進(jìn)行了加窗，采用了特別設(shè)計的窗函

26、數(shù)，使得信號加窗后在截斷處衰減到零，從而消除函數(shù)截斷的始末端的不連續(xù)性。顯然所有的窗均會使信號失真，窗函數(shù)在所測量的頻響函數(shù)中總是會扭曲峰的幅值、以及總是使阻尼看起來變大，而這兩項是我們要估計的兩個重要參數(shù)。如對于矩形窗幅值最大將影響36.3，漢寧窗是15.1。對于瞬態(tài)響應(yīng)，采用指數(shù)窗函數(shù)，將增加信號的阻尼。因此如果我們能夠在信號截斷時，能夠捕捉到信號的一個周期或整數(shù)倍周期，保證將窗中信號的拓展依次連接后能保證在連接處連續(xù)，那么就可以不用加窗了，從而避免了加窗后帶來“柵欄效應(yīng)”以及阻尼的不準(zhǔn)確。如在頻響函數(shù)測量時采用偽隨機(jī)、觸發(fā)隨機(jī)、線性調(diào)頻正弦以及數(shù)字階段正弦在很好控制下都能滿足這個要求。第

27、六節(jié) 細(xì)化在第四節(jié)所述中的快速傅里葉變換中，其分析頻帶總是由到某一最高頻率。這種分析方法稱為基帶分析法。在基帶分析中，若采樣頻率為，采樣點(diǎn)數(shù)為，采樣長度為，其中為采樣間隔，頻率分析率為（頻率分辨率指的是兩條譜線之間的頻率差）（5-43）根據(jù)采樣定理，應(yīng)有，一般信號分析儀考慮到抗混濾波器的濾波特性，取，即頻率分辨率（5-44）輸出或顯示的譜線線數(shù)（5-45）例如，對于，時，則顯示譜線數(shù)為；若，則顯示譜線數(shù)為；以上分析稱為基帶分析，顯示有效譜線數(shù)為，分析頻率范圍為。在模態(tài)試驗(yàn)中，通常所作基帶分析的頻率分辨率較低。因?yàn)槌Ｒ?guī)的傅里葉變換中，固定數(shù)量的頻率線（如400條）分布在整個頻率范圍上。因而，對給定的最高分析頻率，就限定了頻率分辨率。為了提高頻率分辨率，人們往往首先想到增加采樣點(diǎn)數(shù)或延長采樣周期。但采樣點(diǎn)數(shù)一般頻率分析儀中是固定的，不能隨意變動（如10