第十三章 期權(quán)的定價(金融市場學(xué),武漢大學(xué))

1、一、內(nèi)在價值和時間價值l期權(quán)價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。（一）期權(quán)的內(nèi)在價值l期權(quán)的內(nèi)在價值（intrinsicvalue）是指多方行使期權(quán)時可以獲得的收益的現(xiàn)值。l歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為(st-x)的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值等于s-xe-r(t-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值等于s-d-xe-r(t-t)。l無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格等于歐式看漲期權(quán)價格,其內(nèi)在價值也就等于s-xe-r(t-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值也等于s-d-xe-r(t-t)。l無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為xe-r(t-t)-s，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為xe

2、-r(t-t)+d-s。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值等于x-s，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值等于x+d-s。l當(dāng)然，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)市價低于協(xié)議價格時，期權(quán)多方是不會行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價值應(yīng)大于等于0。（二）期權(quán)的時間價值l期權(quán)的時間價值（timevalue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。l此外，期權(quán)的時間價值還受期權(quán)內(nèi)在價值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當(dāng)s=xe-r(t-t)時，期權(quán)的時間價值最大。當(dāng)s-xe-r(t-t)的絕對值增大時，期權(quán)的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。二、期

3、權(quán)價格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格（二）期權(quán)的有效期（三）標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風(fēng)險利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益三、期權(quán)價格的上、下限（一）期權(quán)價格的上限1看漲期權(quán)價格的上限l在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過標(biāo)的資產(chǎn)的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價格都是看漲期權(quán)價格的上限：（13.1）l其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，c代表美式看漲期權(quán)價格，s代表標(biāo)的資產(chǎn)價格。cscs和2看跌期權(quán)價格的上限l由于美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價值為協(xié)議價格（x），因此，美式看跌期權(quán)價格（p）的上限為x：（13.2）l由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（t時刻）執(zhí)行，在

4、t時刻，其最高價值為x，因此，歐式看跌期權(quán)價格（p）不能超過x的現(xiàn)值：（13.3）其中，r代表t時刻到期的無風(fēng)險利率，t代表現(xiàn)在時刻。px()r t tpxe1歐式看漲期權(quán)價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限l為了推導(dǎo)出期權(quán)價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合b：一單位標(biāo)的資產(chǎn)lt時刻，組合a的價值為：而組合b的價值為st。max(,)tsx()r t txel由于，因此，在t時刻組合a的價值也應(yīng)大于等于組合b，即:c+xe-r(t-t)s所以cs-xe-r(t-t)l由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為（13.4）

5、（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限l我們只要將上述組合a的現(xiàn)金改為+d，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：（13.5）()max,0r t tcsxemax(,)ttsxs()max,0r t tcsdxe()r t txe2歐式看跌期權(quán)價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限l考慮以下兩種組合：組合c：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合d：金額為的現(xiàn)金l在t時刻，組合c的價值為：max（st，x）l假定組合d的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，則在t時刻組合d的價值為x。由于組合c的價值在t時刻大于等于組合d，因此組合c的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合d，即：(

6、)()r t tr t tpsxepxes()r t txel由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：（13.6）（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限l我們只要將上述組合d的現(xiàn)金改為+d就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：（13.7）l從以上分析可以看出，歐式期權(quán)的下限實際上就是其內(nèi)在價值。()max,0r t tpxes()max,0r t tpdxes()r ttxe四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1看漲期權(quán)l(xiāng)由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判

7、斷提前執(zhí)行是不明智的。l為了精確地推導(dǎo)這個結(jié)論，我們考慮如下兩個組合：組合a：一份美式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合b：一單位標(biāo)的資產(chǎn)lt時刻組合a的價值為max（st，x），而組合b的價值為st，可見組合a在t時刻的價值一定大于等于組合b。即如果不提前執(zhí)行，組合a的價值一定大于等于組合b。()r t txel若在時刻提前執(zhí)行，則此時組合a的價值為：，而組合b的價值為。由于因此即：若提前執(zhí)行美式期權(quán)，組合a的價值將小于組合b。l比較兩種情況可得：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，同一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價值是相同的，即：c=c（13.8）l根據(jù)（13.4）

8、，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限：（13.9）()r tsxxes,0tr()r t txex()max,0r t tcsxe2看跌期權(quán)l(xiāng)為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)是否合理，我們考察如下兩種組合：組合a：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合b：金額為的現(xiàn)金l若不提前執(zhí)行，則到t時刻，組合a的價值為max（x，st），組合b的價值為x，組合a的價值大于等于組合b。l若在t時刻提前執(zhí)行，則組合a的價值為x，組合b的價值為xe-(t-)，因此組合a的價值也高于組合b。()r t txel故：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額（x-s）、無風(fēng)險利率水

9、平等因素。一般來說，只有當(dāng)s相對于x來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。l由于美式期權(quán)可提前執(zhí)行，因此其下限比（13.6）更嚴格：（13.10）pxs（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1看漲期權(quán)l(xiāng)由于在無收益的情況下，不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，據(jù)此可知：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。l我們先來考察在最后一個除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時刻提前執(zhí)行，則期權(quán)多方獲得sn-x的收益。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到sn-dn。l根據(jù)式（13.5），在tn時刻期權(quán)的價值（cn）()max,0nr

10、 t tnnnnccsdxel因此，如果：即：（13.11）則在tn提前執(zhí)行是不明智的。l相反，如果（13.12）l則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實際上，只有當(dāng)tn時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格足夠大時，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。l同樣，在ti時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是：（13.13）l由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：l（13.14）()nr t tnnnsdxesx()1nr t tndxe()1nr t tndxe1()1iir ttidxe()max,0r t tccsdxe2看跌期權(quán)l(xiāng)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式

11、期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。l通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：l由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：（13.15）1()()11iinr ttir t tndxedxemax(,0)pdxs五、期權(quán)價格曲線的形狀（一）看漲期權(quán)價格曲線l無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價格曲線如圖13-2所示。l有收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價格曲線與圖13.2類似，只是把xe-r(t-t)換成xe-r(t-t)+d。（二）看跌期權(quán)價格曲線1歐式看跌期權(quán)價格曲線l無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線如圖13-3所示。圖13.3無

12、收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線l有收益資產(chǎn)期權(quán)價格曲線與圖13.3相似，只是把換為()r t txe()r t tdxe2美式看跌期權(quán)價格曲線l無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價格曲線如圖13-4所示。l有收益美式看跌期權(quán)價格曲線與圖13.4相似，只是把x換成d+x。六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系1無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合b：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)l在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(st,x)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的

13、價值，即：（13.16）l這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系。它表明歐式看漲期權(quán)的價值可根據(jù)相同協(xié)議價格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價值推導(dǎo)出來，反之亦然。l如果式（13.16）不成立，則存在無風(fēng)險套利機會。套利活動將最終促使式（13.16）成立。()r t txe()r t tcxepsl在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合a中的現(xiàn)金改為+d，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：（13.17）()r t tcdxeps()r t txe（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系1無收益資產(chǎn)美式期權(quán)。l由于pp,從式（13.16）中我們可得：l對于無收益

14、資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=c，因此：（13.18）l為了推出c和p更嚴密的關(guān)系，我們考慮以下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為x的現(xiàn)金組合b：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)l如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在t時刻組合b的價值為max(st,x)，而此時組合a的價值為。因此組合a的價值大于組合b。l如果美式期權(quán)在時刻提前執(zhí)行，則在時刻，組合b的價值為x，而此時組合a的價值大于等于x。因此組合a的價值也大于組合b。()r t tpcxes()r t tpcxes()r t tcpsxel這就是說，無論美式組合是否提前執(zhí)行，組合a的價值都高于組合b，因此在t時刻，組合a的價值也應(yīng)高于組合

15、b，即：c+xp+sl由于c=c，因此，c+xp+sc-ps-xl結(jié)合式（13.18），我們可得：（13.19）l由于美式期權(quán)可能提前執(zhí)行，因此我們得不到美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確平價關(guān)系，但我們可以得出結(jié)論：無收益美式期權(quán)必須符合式（13.19）的不等式。()r t tsxcpsxel同樣，我們只要把組合a的現(xiàn)金改為d+x，就可得到有收益資產(chǎn)美式期權(quán)必須遵守的不等式：s-d-xc-ps-d-xe-r（t-t）（13.20）l期權(quán)交易的精妙之處在于可以通過不同的期權(quán)品種構(gòu)成眾多具有不同盈虧分布特征的組合。l投資者可以根據(jù)各自對未來標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格概率分布的預(yù)期，以及各自的風(fēng)險-收益偏好，選擇

16、最適合自己的期權(quán)組合。l在以下的分析中同組合中的期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)均相同。 一、標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)組合一、標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)組合l通過組建標(biāo)的資產(chǎn)與各種期權(quán)頭寸的組合，我們可以得到與各種期權(quán)頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同的盈虧圖，如圖13.5表示。l圖13.5（a）反映了標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看漲期權(quán)空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔(dān)保的看漲期權(quán)（coveredcall）空頭。標(biāo)的資產(chǎn)空頭與看漲期權(quán)多頭組合的盈虧圖，與有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭剛好相反。l圖13.5（b）反映了標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看跌期權(quán)多頭組合的盈虧圖，標(biāo)的資產(chǎn)空頭與看跌期權(quán)空頭組合的盈虧圖剛好相反。從圖13.5可以看出,組合的盈虧曲線可以直接由構(gòu)成這個組

17、合的各種資產(chǎn)的盈虧曲線疊加而來。二、二、 差價組合差價組合差價（spreads）組合是指持有相同期限、不同協(xié)議價格的兩個或多個同種期權(quán)頭寸組合（即同是看漲期權(quán)，或者同是看跌期權(quán)），其主要類型有牛市差價組合、熊市差價組合、蝶式差價組合等。1牛市差價（bullspreads）組合。牛市差價組合是由一份看漲期權(quán)多頭與一份同一期限較高協(xié)議價格的看漲期權(quán)空頭組成。由于協(xié)議價格越高，期權(quán)價格越低，因此構(gòu)建這個組合需要初始投資。l牛市差價組合在不同情況下的盈虧可用表13.2表示。 表表13.2 13.2 牛市差價期權(quán)的盈虧狀況牛市差價期權(quán)的盈虧狀況l表13.2結(jié)果可用圖13.6表示，從圖可看出，到期日現(xiàn)貨價

18、格升高對組合持有者較有利，故稱牛市差價組合。標(biāo)的資產(chǎn)價格范圍看漲期權(quán)多頭的盈虧看漲期權(quán)空頭的盈虧總盈虧stx2stx1c1x2st+c2x2x1+c2c1x1stx2stx1c1c2stx1+c2c1stx1-c1c2c2c1l通過比較標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價與協(xié)議價格的關(guān)系，我們可以把牛市差價期權(quán)分為三類：兩虛值期權(quán)組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格高；多頭實值期權(quán)加空頭虛值期權(quán)組合，指多頭期權(quán)的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格低，而空頭期權(quán)的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格高；兩實值期權(quán)組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格低。l此外，一份看跌期權(quán)多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價格的看跌期權(quán)空頭組合也是牛市差價組合，如圖13.7所示。l比

19、較看漲期權(quán)的牛市差價與看跌期權(quán)的牛市差價組合可以看，前者期初現(xiàn)金流為負，后者為正，但前者的最終收益可能大于后者。2熊市差價組合l熊市差價（bearspreads）組合剛好跟牛市差價組合相反，它可以由一份看漲期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看漲期權(quán)空頭組成（如圖13.8所示）也可以由一份看跌期權(quán)多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看跌期權(quán)空頭組成（如圖13.9所示）。l看漲期權(quán)的熊市差價組合和看跌期權(quán)的熊市差價組合的差別在于，前者在期初有正的現(xiàn)金流，后者在期初則有負的現(xiàn)金流，但后者的最終收益可能大于前者。l通過比較牛市和熊市差價組合可以看出，對于同類期權(quán)而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價策略

20、，而“買高賣低”的即為熊市差價策略，這里的“低”和“高”是指協(xié)議價格。兩者的圖形剛好與x軸對稱。 3 蝶式差價組合蝶式差價組合蝶式差價（butterflyspreads）組合是由四份具有相同期限、不同協(xié)議價格的同種期權(quán)頭寸組成。l若x1x2x3，且x2=（x1+x3）/2，則蝶式差價組合有如下四種：看漲期權(quán)的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看漲期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價格為x2的看漲期權(quán)空頭組成，其盈虧分布圖如圖13.10所示；看漲期權(quán)的反向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看漲期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價格為x2的看漲期權(quán)多頭組成，其盈虧圖剛好與圖13.10相反；看跌期權(quán)的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看跌期權(quán)多頭和兩份協(xié)議價格為x2的看跌期權(quán)空頭組成，其盈虧圖如圖13.11所示?？吹跈?quán)的反向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看跌期權(quán)空頭和兩份協(xié)議價格為x2的看跌期權(quán)多頭組成，其盈虧圖與圖13.11剛好相反。 三、三、 差期組合差期組合l差期（calendarspreads）組合是由兩份相同協(xié)議價格、不同期限的同種期權(quán)的不同頭寸組成的組合。它有四種類型：一份看漲期權(quán)多頭與一份期限較短的看漲期權(quán)空頭的組合，稱看漲期權(quán)的正向差期組合。一份看漲期權(quán)多