復(fù)變函數(shù)積分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法柯西定理推論及應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)物理方法李曉紅西南科技大學(xué)理學(xué)院西南科技大學(xué)理學(xué)院2021-11-14n復(fù)變函數(shù)積分的定義復(fù)變函數(shù)積分的定義n復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)n柯西定理柯西定理n柯西積分公式柯西積分公式復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分.積分的定義： x y 0za 1kz kz k nzb 圖 3 .1 111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)( )d(i )(did )ddi( dd )f zzuxyu xyxu yvvv說(shuō)明：說(shuō)明： (1) 當(dāng)當(dāng) 是連續(xù)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，且l是是光滑曲線時(shí)，積分光滑曲線時(shí)，積分 一定存在；一定存在； (

2、2) 可以通過(guò)兩個(gè)二元可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算.( )fz( )dlf zz( )dcfzz復(fù)積分的基本性質(zhì)復(fù)積分的基本性質(zhì) (1)若若 f(z) 沿沿l 可積，且可積，且 l 由由 l1 和和 l2 連連接而成，則接而成，則 (2) 常數(shù)因子常數(shù)因子 k 可以提到積分號(hào)外，即可以提到積分號(hào)外，即 (3) 函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即（差），即 12( )d( )d( )dlllf z zf z zf z z( )d( )dllkf zzkf zz1212 ( )( )d( )d( )dlllf zf z

3、 zf z zf z z(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào).即即 其中，其中， l- 為為 l 的負(fù)向曲線的負(fù)向曲線 ( )d( )dllf zzf zz 閉曲線的正方向：曲線上點(diǎn)順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，鄰近p點(diǎn)曲線內(nèi)部始終位于p點(diǎn)的左方0 xy111+i0 xy111+icxxccccxdyixxdyixdxidydxxzdzba221)(re解：解法一解法一22122121re)(102102iyiydyixzdzacc1ydy1x, 0dy212121re)(10112102cccccxdyxdyixdyixxzdzb在第二段曲線上，在第一

4、段曲線上對(duì)于) 10(ttzcnzzdz10)(例 計(jì)算 其中 c 以 z0為中心，r為半徑的正方向，n 為整數(shù)解：的方程為c200irezz所以：2020)1(110)(inncnininedriderirezzdz00,2cdznizz當(dāng)時(shí)結(jié)論：與積分路線的圓周中心及半徑無(wú)關(guān)rzznnnizzdz00002)(1021000cos()sin()0()nncndzinindzzr當(dāng)時(shí)柯西定理如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析那么函數(shù)沿內(nèi)任何一條封閉曲線的積分為零)(zfd)(zfdc 柯西定理：cdzzf0)(如果曲線是區(qū)域的邊界，在內(nèi)及上解析即在閉區(qū)域上解析ccd)(zfcdd則cdzzf0)

5、(柯西古薩積分定理注：經(jīng)修改后的柯西古薩積分定理成立的條件可以注：經(jīng)修改后的柯西古薩積分定理成立的條件可以弱化為弱化為在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)以后使用中，以后使用中，當(dāng)滿足此條件時(shí)柯西積分定理仍然成立當(dāng)滿足此條件時(shí)柯西積分定理仍然成立這個(gè)定理是柯西這個(gè)定理是柯西(cauchy)(cauchy)于于18251825年發(fā)表的，年發(fā)表的，古薩古薩(goursat(goursat) )于于19001900年提出了修改，故又稱為年提出了修改，故又稱為柯西古薩定理柯西古薩定理. .柯西定理推論這個(gè)定理可用來(lái)計(jì)算周線內(nèi)部有奇點(diǎn)這個(gè)定理可用來(lái)計(jì)算周線內(nèi)部有奇點(diǎn)的積分的積分!123

6、10,( )nccccdi c 定定理理 . . 設(shè)設(shè)是是復(fù)復(fù)周周線線1( )d( )d0,knckcf zzf zz ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kcc1( )(dd,)kcnckf zzzf z ,1 (2 ( )(), ) ( f zac ddf z 如如( )( )果果 ( )( ): : dc1c2c3cnc柯西定理柯西定理2柯西積分公式柯西積分公式有界區(qū)域的單連通柯西積分公式有界區(qū)域的單連通柯西積分公式 定理定理 （柯西積分公式）（柯西積分公式） 如果如果 在有界在有界區(qū)域區(qū)域d處處解析，處處解析，l為為d內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，且其內(nèi)部全含于曲線

7、，且其內(nèi)部全含于d, 為為l內(nèi)的任一點(diǎn)，內(nèi)的任一點(diǎn)，那么那么 稱為柯西積分公式。稱為柯西積分公式。( )fz0z001( )()d2ilf zf zzzz柯西積分公式柯西積分公式001( )()d2ilf zf zzzz意義意義:對(duì)于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上對(duì)于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上的值，那么通過(guò)上述積分公式，區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)上的的值，那么通過(guò)上述積分公式，區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)上的值就完全確定了值就完全確定了結(jié)論：如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相結(jié)論：如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們?cè)谡麄€(gè)區(qū)域上也相等等，則它們?cè)谡麄€(gè)區(qū)域上也相等 1!,1,2,2nnlfnfzdniz設(shè)

8、 f (z) 在區(qū)域 d 內(nèi)解析，在邊界 c 上連續(xù)，則1. 任意階導(dǎo)數(shù)任意階導(dǎo)數(shù) 在區(qū)域 d 內(nèi)函數(shù) f (z) 的任意階導(dǎo)數(shù)存在，且： 2. morera 定理定理：設(shè)函數(shù) f (z) 在區(qū)域 d 內(nèi)連續(xù)，且沿區(qū)域內(nèi)任意圍線積分為零，則該函數(shù)在區(qū)域 d 內(nèi)解析。柯西積分公式的重要推論柯西積分公式的重要推論cnzzdz10)(例 計(jì)算 其中 c 以 z0為中心，r為半徑的正方向，n 為整數(shù)rzznnnizzdz00002)(10 1!,1,2,2nnlfnfzdnizlnnnidzz1012)( 1 y1c1 o l x1c212222212121dddlcczzzzzzzzzzzz1122

9、11 dd111 dd1 02i2i04icccczzzzzzzz解題思路 1 y1c1 o l x1c22122111dd111 dd111 dd1 2i 2i4icczzzzzzzzzzzzzzzizd , :i1;icezczz2| | 2d(5)(i)zzzzz計(jì)算積分計(jì)算積分 【解】（【解】（1）注意到）注意到 在復(fù)平面內(nèi)解析，而在復(fù)平面內(nèi)解析，而 -i 在積分環(huán)路在積分環(huán)路c內(nèi)，由柯西積分公式得內(nèi)，由柯西積分公式得 （2）注意到函數(shù)）注意到函數(shù) 在在 內(nèi)解析，內(nèi)解析，而而 i 在在 內(nèi)，內(nèi)， 由柯西積分公式得由柯西積分公式得i( )zf zeiiii 1d2i2 iizzzzeze

10、ez 2( )5zf zz2z 2z 222| | 2i25dd(5)()i1 2i53zzzzzzzzzzizzz 【解解】根據(jù)柯西積分公式，得到22| | 52371( )d2i(371)| 2i(371)zf zzzz故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1 i)2i6( 1 i)7= 122i zfzf )(zf任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)不定積分的定義不定積分的定義: .)(d)( , )( )( )( )( czfzzfzfcczfzf 記作記作的不定積分的不定積分為為為任意常數(shù)為任意常數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱稱定理定理101001 ( ) ,

11、( ) ( ) , ( )d()() , .zzf zdzf zf zzzzzzf 如如果果函函數(shù)數(shù)在在單單連連通通域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析為為的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) 那那末末這這里里為為域域內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)( (復(fù)積分的復(fù)積分的newton-leibnitznewton-leibnitz公式公式) )例題例題例2 計(jì)算積分計(jì)算積分 1idzzz212zz12122ii11d|1(i) 122z zz【解法【解法1】 在整個(gè)復(fù)平面上解析，且在整個(gè)復(fù)平面上解析，且 例3 計(jì)算積分可用分部積分法得可用分部積分法得i0sin dzz zsinzzii00ii00sin dd( cos ) ( cos )( cos )dzz zzzzzz z ii1icosi sinii(cosi isini)iiee【解】【解】 由于由于 在復(fù)平面內(nèi)處處解析，在復(fù)平面內(nèi)處處解析，復(fù)變函數(shù)積分