第一章 函數極限連續(xù)

1、 一一. 函數函數: 自變量自變量, 因變量因變量, 定義域定義域, 值域值域 若變量x在允許范圍d內的每一個確定的值，變量y按照某個確定的規(guī)則總有相應的值與之對應，則稱y為x的函數，記為y=f(x). x自變量； y函數； d定義域； 二要素定義域、對應規(guī)則。 010001xxx q0q1xx二、二、 函數的表示法函數的表示法: 列表法列表法, 圖示法圖示法, 解析法解析法三、解析法表示的幾個例子與運算三、解析法表示的幾個例子與運算1、例、例(1) 取整函數取整函數 y=x (xr), (2) 符號函數符號函數 sgn x =(3) 狄利克萊函數狄利克萊函數d(x) =其中其中x表示不超過表

2、示不超過x的最大整數的最大整數. 2、 四則運算四則運算設函數設函數f, g的定義域分別為的定義域分別為d(f ), d(g),則可以定義則可以定義f與與g的的, , , :(fg)(x)=f(x)g(x) d(fg)=d(f )d(g),(fg)(x)=f(x) g(x) d(f g)=d(f )d(g),(f /g)(x)=f(x)/g(x)d(f /g)=d (f )d(g)x | g(x)=0. 四四. . 函數的幾種特性函數的幾種特性 有界性有界性, 單調性單調性, 奇偶性奇偶性, 周期性周期性(1) 有界性有界性設有函數設有函數y = f(x), 區(qū)間區(qū)間i d(f ), m0 s

3、.t., xi, |f(x)| m, 例如例如y=x2在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間a, b上有界上有界,但在但在( , +)上無界上無界.若若f(i)為有界集為有界集, i.e.,則稱則稱f在區(qū)間在區(qū)間i上上. (2) 單調性單調性設有函數設有函數y = f(x), 區(qū)間區(qū)間i d(f ),若若 x1, x2i, x1 x2f(x1) f(x2),則稱則稱f在區(qū)間在區(qū)間i上上;若若 x1, x2i, x1x2f(x1) f(x2),則稱則稱f在區(qū)間在區(qū)間i上上.若若 x1, x2i, x1x2 f(x1) f(x2),則稱則稱f在區(qū)間在區(qū)間i上上;若若 x1, x2i, x1f(x2),則稱則

4、稱f在區(qū)間在區(qū)間i上上. 2,2例如例如y = sin x在在上嚴格單調增上嚴格單調增, 因此因此, 在說明一個函數的單調性時在說明一個函數的單調性時, 要指明要指明單調區(qū)間單調區(qū)間, 不能籠統(tǒng)地說一個函數是單調不能籠統(tǒng)地說一個函數是單調增的還是單調減的增的還是單調減的.23,2上嚴格單調減上嚴格單調減.在在 (3) 奇偶性奇偶性 設函數設函數 f 的定義域關于原點對稱的定義域關于原點對稱, 若若 xd(f ), f( x) = f(x), 則稱則稱f為一個為一個.若若 xd(f ), f( x) = f(x), 則稱則稱f為一個為一個.易見在平面直角坐標系中易見在平面直角坐標系中, 奇奇(偶

5、偶)函數的圖象函數的圖象關于原點關于原點(y軸軸)對稱對稱. (4) 周期性周期性設有函數設有函數y=f(x)與常數與常數t 0, 則稱則稱f為一個為一個, 并稱并稱t為為f的一個的一個, 若若 常數常數t = mint | t是是 f 的周期的周期, 例如例如2 是是y = sin x的最小正周期的最小正周期.若若 xd(f ), 有有x+td(f ), 且且f(x+t)=f(x), 則稱則稱t為為f的的. 1. 1. 反函數反函數 設函數設函數y=f(x) 是是 dw=r(f )與與 x=g(y) 是是wd的函數，則稱的函數，則稱g為為f 的的, 記為記為g = f -1-1. 2. 2.

6、 基本初等函數基本初等函數 （1） 冪函數冪函數 y = x ( r) 冪的定義與性質冪的定義與性質 設設a r, n n+, 我們把我們把n個個a的連乘積稱的連乘積稱為為a的的或或. 記為記為an. 即即anaaa個個an = ).0( )(/ aaaamnnmnm 設設a, b都是實數都是實數, m, n都是正整數都是正整數, 則有則有:二項展開式二項展開式aman = am+n, am/an = am n (a 0), (ab)n = anbn, (a/b)n = an/bn (b 0),(am)n = (an)m = amn,.)0( )0( 0 )0( |2 aaaaaaannnnn

7、nnnnnbabcbacbacaba 1122211)(.0 nkkknknbac (2)幾個具體的例子幾個具體的例子這些圖象這些圖象有那些共有那些共同點同點? 冪函數冪函數 y = x ( r)的圖象的圖象都經過點都經過點(1,1), 當當 0時時, y = x 在第一象限內在第一象限內單調遞增單調遞增 當當 0, 且且a 1)(1) 當當0 a 1時時, y = ax單調遞增單調遞增.共同點共同點: 圖象都經過點圖象都經過點(0,1), 都位于都位于x軸上方軸上方. （3）對數函數）對數函數: y = logax (a 0, 且且a 1)定義定義設設a 0, 且且a 1, 若若ay = x

8、, 則稱則稱y為為. 記為記為y = logax(a=10) y = lg x (a=e) y = ln x , 1log aa, 01log a,loglog)(logvuuvaaa ,logloglogvuvuaaa ,log)(loguvuava ,logloglogauubba .log1logabba 運算性質運算性質(0 a 1, 0 0, v 0)aaxa log( x 0),xaxa )(log( x r), 當當0 a 1時時, y = log ax單調遞增單調遞增.共同點共同點: 圖象都經過點圖象都經過點(1,0), 都位于都位于y軸右邊軸右邊. （4）三角函數三角函數表達

9、式及圖象表達式及圖象 相互關系相互關系平方關系平方關系:倒數關系倒數關系:弦切關系弦切關系:sin2x + cos2x = 1,tan2x + 1 = sec2x,cot2x + 1 = csc2x.sinxcscx = 1,tanxcotx = 1,cosxsecx = 1,sinx/cosx = tanx,cosx/sinx = cotx. 三角公式三角公式: , 3 , 1 , 0 )(, 4 , 2 , 0 )()2(ncofnfnf )2( n 誘導公式誘導公式(“奇變偶不變奇變偶不變, 符號看象限符號看象限”):所處的象限確定所處的象限確定.其中其中“ ”號由角號由角如如,cos)

10、2sin( ,sin)2cos( sin( + )= sin , cos( + )= cos ,cos)23sin( .sin)23cos( 和角公式和角公式:.tantan1tantan)tan( 積化和差公式積化和差公式:sin( )= sin cos cos sin ,cos( )= cos cos sin sin ,sin cos = sin( + ) + sin( ),21cos cos = cos( + ) + cos( ),21sin sin = cos( + ) cos( ),21 和差化積公式和差化積公式:,2cos2sin2sinsin ,2sin2cos2sinsin ,

11、2cos2cos2coscos .2sin2sin2coscos 降冪公式降冪公式:,22cos1sin2 .22cos1cos2 （5）反三角函數反三角函數 3. 3. 復合函數復合函數函數函數y=xx是由是由y=ux與與u=x復合而成的嗎復合而成的嗎?y=xx=exlnx是由一元函數是由一元函數y=eu與與u=xlnx 復合而成的復合而成的. y=arctanex是由一元函數是由一元函數y=arctanu與與一元函數一元函數u=ex復合而成的復合而成的. 4. 4. 初等函數初等函數設函數設函數 f 可以用一個數學式子表示可以用一個數學式子表示, 且這個且這個式子是由基本初等函數經過式子是

12、由基本初等函數經過四則運四則運算與算與復合運算而成的復合運算而成的, 則稱則稱f 為一個為一個. 例如上述取整函數例如上述取整函數, 符號函數符號函數, 及狄利及狄利克萊函數都不是初等函數克萊函數都不是初等函數. tttt220,)2(22 t 112xexxx,)1(11(21)1(11(21222xexxxxx 112xexxx但不要以為分段函數都不是初等函數但不要以為分段函數都不是初等函數.事實上事實上, f(t)=g(x)=都是初等函數都是初等函數.但但h(x)=就不是初等函數就不是初等函數. 1.1.引例引例-割圓術割圓術 一一. .數列極限數列極限 用半徑為用半徑為1的圓內接正的圓

13、內接正62n-1邊形的面積邊形的面積sn來來近似求圓周率的近似值。近似求圓周率的近似值。2 2. .引例引例-追及悖論追及悖論 t時刻時刻ab之間的距離之間的距離l: t(s)11.11.111.111l(m) 0.1 0.01 0.0010.0001 3.數列的概念數列的概念 一列有次序的數一列有次序的數xn排成一列排成一列 x1,x2, ,xn, ,稱為稱為數列數列,記為記為xn. 其中其中x1稱為首項稱為首項, xn稱為一般項或通項稱為一般項或通項. 有限數列有限數列,無限數列無限數列.4.例子例子5.數列與函數數列與函數 若若xn =f(n),n=1,2, ,則無限數列則無限數列xn是

14、定是定義在正整數集上的函數義在正整數集上的函數.4.4.實例觀察實例觀察 1) 追及悖論追及悖論 t時刻時刻ab之間的距離之間的距離l: t(s)11.11.111.111 10/9l(m) 0.1 0.01 0.0010.0001 0 2)圓周率圓周率（3） 考察考察n+, 1/n的變化趨勢的變化趨勢: 5.5.定義定義:aannlim設設an為一個數列為一個數列, ar,若若n無限變大時an與a之間的距離趨于0 ,則稱數列則稱數列an, 或稱或稱a為數列為數列an的的.記為記為或或 ana (n).例例 數列數列1, 1, 1, 1, , ( 1)n 1, 發(fā)散發(fā)散. 6 6、 性質性質(

15、一一) 就某個給定的數列而言就某個給定的數列而言 (二二) 某個給定的數列與其子數列某個給定的數列與其子數列數列收斂數列收斂,則其子數列也收斂則其子數列也收斂;反之不然反之不然. 前面我們學習了數列的極限前面我們學習了數列的極限,知道了數列極知道了數列極限的定義與意義。請看下例限的定義與意義。請看下例 引例引例：研究數列：研究數列 arctann 的極限。的極限。 作數列作數列arctann 的散點圖的散點圖 y=/2 從散點圖可以看到從散點圖可以看到 arctann 的極限為的極限為/2 。 思考思考：把上述散點圖用比較好的曲線連起來，這：把上述散點圖用比較好的曲線連起來，這條曲線是什么？條

16、曲線是什么？ y=arctanx圖像的一部分。圖像的一部分。 結果結果：x+時，時， arctanx ?（ /2 ）1、自變量趨向無窮大時函數的極限、自變量趨向無窮大時函數的極限（1） x+時，時，y=f(x) 的極限的極限 設設x0是某一確定的正數，是某一確定的正數，y=f(x)在在 (x0， +)內內有定義有定義, a為一個確定的數為一個確定的數. 如果在如果在x+的過程中，對應的函數值的過程中，對應的函數值f(x) 無限接無限接近于一個確定的數近于一個確定的數a，那么那么a叫做叫做函數函數y=f(x)當當x+時時 的的極限極限。 記為記為 axfx)(lim幾何意義幾何意義 )(xfy

17、o x y x a a a 2arctanlimxx01limxx01limxx例例2 問題：問題：能否考慮能否考慮x-時，時，y=f(x) 的極限。的極限。研究研究x-時，時， y=arctanx的極限。的極限。 例例1 例例3 axfx)(lim（2）x-時時f(x)的極限的極限 設函數設函數 f (x)當當x0, 0, s.t. 當當x落在落在對應的點對應的點(x, f(x)都落在兩條直線都落在兩條直線y = a+ 與與y = a 之間之間. .4142lim22 xxx例例1414 211lim21xxx例例13131lim1xx01sinlim0 xxx例例1515例例1616問題問

18、題:對于函數對于函數y=f(x)=x1及函數及函數y=g(x)=1x考慮考慮x1時的極限時的極限.由于函數由于函數y=f(x)=x1只在只在x1時有定義時有定義,故故x1時的極限只能是時的極限只能是x1時有定義時有定義,故故x1時的極限只能是時的極限只能是x1并且并且x1的極限的極限.這樣就產生了單側極限的問題這樣就產生了單側極限的問題.axfxx )(lim0（2）單側極限）單側極限設函數設函數f (x)在（在（x0-r, x0)內內有定義有定義, a為一個確定的數為一個確定的數. 若若xx0時時, f (x)的函數值與的函數值與a越來越接近越來越接近,則稱則稱a為函數為函數 f 在點在點x

19、0處的處的,記為記為或或 f(x0 0)=a,并稱函數并稱函數 f 在點在點x0處的處的. ).(lim0 xfxx 類似地可以定義函數類似地可以定義函數 f 在點在點x0處的處的f(x0+0) =可以證明可以證明,axfxx )(lim0axfxx )(lim0).(lim0 xfxx . 1lim0 xxe (1) 證明證明 . 1lim0 xxe 010001xxx(2) sgn x = 當當x0時時, 極限不存在極限不存在.事實上事實上, 1sgnlim0 xx而而. 1sgnlim0 xx ,)(lim0axfxx ),(0 xnx 3 3、 性質性質（1） :（2） :設設恒有恒有

20、| f(x)| 0以及以及 0 s.t.若若lim f(x)存在存在, 則極限必唯一則極限必唯一. ,)(lim0axfxx .)(lim0bxgxx , 0)(lim0 axfxx（3）:若若a0 s.t. 若若 0 s.t. (問問: :此處此處“ ”能否改成能否改成“ 0 s.t. 恒有恒有f(x) 0, 0 m, 則稱函數則稱函數f(x)是當是當xx0時的時的, 或稱函數或稱函數f(x)當當xx0時的時的, 其他類型的無窮大量可以類似地定義其他類型的無窮大量可以類似地定義. .有定義有定義.),(0 xn時時,=或或 f(x)(xx0).)(lim0 xfxx記為記為 2.2. 無窮大

21、量概念與性質無窮大量概念與性質 : 由定義可見由定義可見, 若若,)(lim0 xfxx: 由定義可見由定義可見, 若若f(x)(xx0), 則則函數函數f(x)在（在（x0-r,x0+r)內無界內無界.但是反之未必但是反之未必. 例如例如不存在不存在. 但是反之未必但是反之未必. 例如例如則則)(lim0 xfxxxx1sinlim0不存在不存在. 但也不是但也不是.),(lim0 xfx其中其中 q , 0qr ,/ 1)(xxxxf . 01lim x.1lim x: 兩個無窮大量的代數和以及無窮大量與兩個無窮大量的代數和以及無窮大量與有界量的乘積都未必是無窮大量有界量的乘積都未必是無窮

22、大量. 例如例如: 易證易證: 若若limx =, 則則反之反之, 若若x 0, 且且limx = 0, 則則, 0)(lim22 xaxx,2181221lim32 xxx.2122lim2 xxx xex10lim表明表明不存在不存在.xe1. 當當x0+時時,是無窮大量是無窮大量; xe1 當當x0-時時,是無窮小量。是無窮小量。nn!. 證明證明: 當當n+時時,是無窮大量是無窮大量. .兩個無窮小量的代數和仍是無窮小量。兩個無窮小量的代數和仍是無窮小量。 有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量。有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量。：無限個無窮小量的代數和不一定是無窮小量。無限個無窮小量的

23、代數和不一定是無窮小量。.無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量。無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量。 常數與無窮小量的乘積仍是無窮小量。常數與無窮小量的乘積仍是無窮小量。 有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量。有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量。：無限個無窮小量的乘積不一定是無窮小量。無限個無窮小量的乘積不一定是無窮小量。)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx ba （ 則則,)(lim0axfxx .)(lim0bxgxx

24、 設設 (1) = ab;(2)= ab;(3)(b0). 說明說明1：定理對自變量的其它變化過程：定理對自變量的其它變化過程（xx0-0, xx0+0, x+, x-, x）也）也成立。成立。 說明說明2：設：設limf(x)=存在存在,limg(x)= 不存在，則不存在，則（1）limf(x) g(x)= 不存在；不存在；（2）limf(x)g(x)可能存在也可能不存在，可能存在也可能不存在，limf(x)/g(x)亦然。亦然。說明說明3：設：設limf(x)和和limg(x) 不存在，則不存在，則limf(x) g(x)，limf(x)g(x)，limf(x)/g(x) 可能存在也可能不

25、存在可能存在也可能不存在。 若若c為常數，為常數，limf(x)存在，則存在，則 limcf(x)= c limf(x) 若若n為正整數，為正整數，limf(x)存在，則存在，則 limf(x)n= limf(x) n關于數列，也有類似的極限四則運算法則。關于數列，也有類似的極限四則運算法則。 設有數列設有數列xn、yn,若若 axlimnnbylimnn那么那么 (1)bayxlimnnn)(; (2)bayxlimnnn;(3) 當當yn0（n=1,2, ）并且）并且 b 0時時， bayxlimnnn)(lim0 xpnxx).(lim0 xpnxx0limxx 1. 代入代入例例1 設

26、設pn= a0 xn+a1xn-1+an-1x+an是是n次多項式次多項式, 求求解解:(a0 xn+a1xn-1+an-1x+an)= a0 x0n+a1x0n-1+an-1x0+an=pn(x0). 232lim221 xxxxx.232lim221 xxxxx)2)(1()2)(1(lim1 xxxxx22lim1 xxx2. . 求求:= 3. 142lim2 xxx221421limxxxx 12332lim22 xxxx2212332limxxxx .32 3. . (1)= 0;(2) 81221lim32xxx882lim322 xxxx424lim22 xxxx.21 )3(

27、lim2xxxx xxxx 33lim21313lim2 xx.23 4. . (1)(2) xxxxx 11424lim0)424)(1()1()11)(4()24(lim0 xxxxxxxxx )424(2)11(3lim0 xxxxx .43 (3) 5.計算計算 xxxarctanlim由于由于1/x0,當當x時時;并且并且 |arctanx| 0), 進而可得進而可得1lim0 xxaxxxa0lim)(lim000 xxxxxaa 000limxxxxxaa .0 xa (2)證明證明xxxx332lim2不存在。不存在。：31321lim31332lim22xxxxxxx3132

28、1lim31332lim22xxxxxxx所以所以xxxx332lim2不存在。不存在。1 1 若若 n0n+ s.t.當當nn0時時, 恒有恒有ancnbn,且且 aannlim，abnnlim則數列則數列cn也收斂也收斂, 且有且有.limacnn證明思路證明思路：由數列極限的幾何意義，可知：由數列極限的幾何意義，可知數數列列an和數列和數列bn除前面有限項外，其它項都除前面有限項外，其它項都落在落在a的某一鄰域內，從而數列的某一鄰域內，從而數列cn亦然。亦然。. 0) 1(coslim2nnn.1) 1(cos12nnnnnn1lim.1limnn. 0) 1(coslim2nnn例例1

29、. 證明證明證明證明: 注意到當注意到當n1時時, 恒有恒有而而= 0 =所以由夾逼原理得所以由夾逼原理得注注1 使用夾逼原理的關鍵使用夾逼原理的關鍵:尋找適當的參考數列尋找適當的參考數列.注注2 2 怎樣尋找適當的參考極限怎樣尋找適當的參考極限(或參考數列或參考數列)? ,24113233nnnnn例例2. 為下列數列尋找適當的參考數列為下列數列尋找適當的參考數列an與與bn.(1) cn =解解: bn=nnnnnnn323341取取an=,)(6) 12)(1(3nnnnn114113233nnnn,) 1(6) 12)(1(3nnnn則則an cn bn , 且且,31limnna.3

30、1limnnb . 1nnnnnnnnnnxxnnnxxn2) 1(211)1 (,nn,12nxn(2) cn =解解: 當當n1時時,設設=1+xn, 則則xn 0, 而且而且于是于是從而從而,1211nnn取取an1, bn=1+即可即可.12n,) 1(212nxnn .!)!2(!)!12(nn(3) cn =2)2() 12)(12(kkk, 141422kk2nc121)2() 12() 12(6754532312222nnnn121n解解: 由于由于k=1, 2, 3, 所以所以從而從而0 cn0 (n).121n 注注3 上述性質不能推廣到無限次上述性質不能推廣到無限次. 見

31、例見例2(1).又如又如:,1111項nnnn其中其中. 01limnn, 3333項nnnn其中其中. 13limnn )(0 xn.)(lim0axhxx )(lim0 xfxx,)(lim0axgxx )(0 xn).(lim)(limnnnnxgaxf .)(limaxhnn .)(lim0axhxx (2) 若在若在x0的去心鄰域的去心鄰域內有內有f(x) h(x) g(x), 則則:由于由于)(lim0 xfxx,)(lim0axgxx 故對于故對于中任意的以中任意的以x0為極限的數列為極限的數列xn, 都有都有又因為又因為 xn, 有有f(xn) h(xn) g(xn).由數列極

32、限的夾逼原理可得由數列極限的夾逼原理可得所以所以且且 nnn)11 (lim 3. 注注4 此處的單調性不必從第一項開始此處的單調性不必從第一項開始.例例4. 證明極限證明極限存在，并且為存在，并且為e.單調遞增有上界的數列必收斂單調遞增有上界的數列必收斂.單調遞減有下界的數列必收斂單調遞減有下界的數列必收斂. nn)11 ( ),11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnn證明證明: 記記xn =則則xn+1比較比較xn與與xn+1的展開式的展開式, 易見易見xn xn+1. 即即xn是單調遞增的是單調遞增的.)1 (1111!21n),1 ()1)(1 (11211)!1(1nnnnn)1 ()1)(1 (111211!1nnnnn !1! 31! 2111nnn) 1(13212112. 313n另一方