推理與證明導學案學生版aa

1、§2.1.1 合情推理（ 1）（第 1 課時）學習目標 ：1. 結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義；2. 能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用學習重點：歸納推理的含義；利用歸納進行簡單的推理 學習難點：利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用知識鏈接：在日常生活中我們常常遇到這樣的現(xiàn)象： （1）看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家，推斷天要下雨； （ 2）八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈.以上例子可以得出推理是 的思維過程 .預習交流： 預習教材 P28 P30，找出疑惑之處）問題 1: 哥德巴赫猜想：觀察6=3+3, 8=5+3

2、, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,20=13+7, , 50=13+37, , 100=，3+猜97想：.問題 2：由銅、鐵、鋁、金等金屬能導電，歸納出 .新知 ：歸納推理就是由某些事物的,推出該類事物的的推理，或者由的推理 .簡言之，歸納推理是由的推理 .合作探究：例1 觀察下列等式： 1+3=4= 22，2 1+3+5=9= 32 ，21+3+5+7=16= 42 ，21+3+5+7+9=25= 52 ，你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？學習小結(jié)1歸納推理的定義 .2. 歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推

3、 出一個明確表述的一般性命題（猜想） .應用轉(zhuǎn)化：1.觀察下列等式： 1=11+8=9，1+8+27=36 ，1+8+27+64=100 ，你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？2.在數(shù)列 an 中，a11,an 1 n n2an 1n 2 ），試猜想這個數(shù)列的通項公式例 2 已知數(shù)列 an 的第一項ana1 1，且 an 1n （n 1,2,3.） ，試歸納出這個數(shù)列的通項公1 an課后作業(yè)：對于任意正整數(shù) n，猜想 （2n 1）與 （n 1）2 的大小關(guān)系式.B.合情推理就是歸納推理D.類比推理是從特殊到特殊的推理 ).若 a 0 b 0,則 a b”(a b)c ac bc”§2.1.1

4、合情推理( 2)(第 2課時)學習目標1. 結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解類比推理的含義 ;2. 能利用類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用 . 學習重點：了解類比推理的含義，利用類比進行簡單的推理 學習難點：利用類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用11 1知識鏈接： 1.已知 ai 0 (i 1,2, ,n) ，考察下列式子： (i) a11；(ii) (a1 a2)() 4；a1a1 a2111(iii ) (a1 a2 a3)() 9. 我們可以歸納出，對 a1,a2, ,an 也成立的類似不等式為.a1 a2 a32. 猜想數(shù)列 1 , 1 , 1

5、, 1 , 的通項公式是 .1 3 3 5 5 7 7 9 預習交流：(預習教材 P30 P38，找出疑惑之處)新知：類比推理就是由兩類對象具有 和其中 ，推出另一類對象也 具有這些特征的推理. 簡言之，類比推理是由 到 的推理 .合作探究：例1 類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)類比 角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運算 結(jié)果運算律逆運算單位元應用轉(zhuǎn)化：1. 下列說法中正確的是().A.合情推理是正確的推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理2. 下面使用類比推理正確的是(A.“若a 3 b 3,則a b”類推出B.“若 (a b)c ac bc ”類推出C.“若 （a b）c ac bc ”

6、 類推出“a b a b （c0）” c c cD.（“ ab）n anbn” 類推出（“ a b）n an bn1. 一同學在電腦中打出如下若干個圓若將此若干個圓按此規(guī)律 繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么在前 2006 個圓中有 個黑圓 .4. 在數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的 x 的值是 . 學習小結(jié)：學生總結(jié) 課后作業(yè) ：變式：找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì) .圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長圓的面積圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦與圓心距離相等的弦長相等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長以點 (x0,y0) 為圓心， r

7、 為半徑的圓的方程為 (x x0 )2 (y y0 )2 r2例2 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理， 試給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想 .§2.1.2 演繹推理（第 3 課時）學習目標：1. 結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性；2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理 . 學習重點： 結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性； 學習難點： 掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理 .試試 ：請把探究任務一中的演繹推理（ 2）至（ 6）寫成“三段論”的形式 .例 1 在銳角三角形 ABC 中， AD BC,BE AC

8、 ，D，E 是垂足 . 求證： AB 的中點 M 到 D ，E 的距離相等 .知識鏈接：復習 1：歸納推理是由 到 的推理 .，類比推理是由到 的推理 .復習 2：合情推理的結(jié)論 .預習交流：例 2 證明函數(shù) f（x） x2 2x 在 , 1 上是增函數(shù)（預習教材 P39 P42，找出疑惑之處）合作探究：探究任務一 ：演繹推理的概念問題 ：觀察下列例子有什么特點？（ 1）所有的金屬都能夠?qū)щ?，銅是金屬，所以；（2）太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因 此；（ 3）在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 C ，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到、 100 C時， ；（4

9、）一切奇數(shù)都不能被 2 整除， 2007 是奇數(shù)，所以 ； （ 5）三角函數(shù)都是周期函數(shù)， sin 是三角函數(shù)，所以 ；小結(jié) ：在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定正確應用轉(zhuǎn)化：新知 ：演繹推理是從 出發(fā)，推出情況下的結(jié)論的推理 .簡言之，演繹推理是由到 的推理 .探究任務二 ：觀察上述例子，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點？所有的金屬都導電銅是金屬銅能導電已知的一般原理特殊情況根據(jù)原理，對特殊情況做出的判斷大前提小前提結(jié)論新知 ：“三段論”是演繹推理的一般模式： 大前提 ；小前提 ；、結(jié)論 .111. 因為指數(shù)函數(shù) y ax是增函數(shù)， y （ 1）x是指數(shù)函數(shù)，則y （ 1

10、） x是增函數(shù) .這個結(jié)論是錯誤的，這是因為22A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤2. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”結(jié) 論顯然是錯誤的，是因為A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤3. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面 ,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面 ，直線 a 平面 ，直線 b 平面 ，則直線 b 直線 a ”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為A. 大前提錯誤B. 小前提錯誤D.非以上錯誤C.推理形式錯誤4.歸納推理是由到的推理；類比推理是由到的推理；演繹推理是由到的推理學習小結(jié)1. 合

11、情推理歸納推理：由特殊到一般 類比推理：由特殊到特殊；結(jié)論不一定正確2. 演繹推理：由一般到特殊 .前提和推理形式正確結(jié)論一定正確課后作業(yè)： 下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ 所有邊長相等的凸多邊形是正多邊形， （大前提） 菱形是所有邊長都相等的凸多邊形， （小前提） 菱形是正多邊形 . （結(jié) 論）§2.1 合情推理與演繹推理 （練習）（第 4 課時）學習目標：1. 能利用歸納推理與類比推理進行一些簡單的推理 ;2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理 ;3. 體會合情推理和演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系 .學習重點： 1.掌握演繹推理的基本方法，并能運用它

12、們進行一些簡單的推理;2.合情推理和演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系 .學習難點：能運用合情推理與演繹推理進行一些簡單的推理 ;知識鏈接 復習 1：歸納推理是由到的推理 .，類比推理是 由到 的推理 .合情推理的結(jié)論 .復習 2：演繹推理是由到的推理 .，演繹推理的結(jié)論.課內(nèi)探究： 例 1 觀察（ 1）（2） tan100 tan200 tan 200 tan600 tan600tan100 1; tan5 0 tan100 tan100 tan750 tan 750 tan5 0 1 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論 .3 變式 ：已知： sin 2 30 sin 2 90 sin 2 15

13、022 2 2 3 sin25 sin2 65 sin 2 1252通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，例 2 在 Rt ABC 中，若 C 90 ，則 cos2 A cos2 B 1 ，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的 猜想.一條直線如果與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條相交 垂直于同一直線的兩直線平行一條直線如果與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交 在空間中也成立的為() .A. B. C. D.3.用演繹推理證明函數(shù) y x3 是增函數(shù)時的大前提是().3A. 增函數(shù)的定義B.函數(shù) y x3 滿足增函數(shù)的定義C.若 x1 x2，則 f(x1) f(x2)D.若x1

14、x2, 則 f (x1) f (x2)an4.在數(shù)列 an中,已知 a1 2,an 1 3ann 1(n N ) ,試歸納推理出 an學習小結(jié) 歸納推理：由特殊到一般1. 合情推理1. 合情推理 類比推理：由特殊到特殊；結(jié)論不一定正確變式：已知等差數(shù)列 an 的公差為 d ，前 n 項和為 Sn ，有如下性質(zhì)： (1) an am (n m)d ，*(2)若 m n p q,(m,n,p,q N ) ，則 am an ap aq ，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列 bn 中，寫出類似的性質(zhì) .2. 演繹推理：由一般到特殊 .前提和推理形式正確結(jié)論一定正確課后作業(yè)：數(shù)列 an 滿足 Sn 2n an ,

15、先計算數(shù)列的前 4 項,再歸納猜想 an應用轉(zhuǎn)化：練 1. 由數(shù)列 1,10,100,1000, ，猜想該數(shù)列的第 n 項可能是() .n n 1 n 1 nA.10n B.10n 1 C.10n 1 D.11n2.下面四個在平面內(nèi)成立的結(jié)論平行于同一直線的兩直線平行 )§2.2.1 綜合法和分析法（ 1）（第 5 課時）學習目標：1. 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2. 會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程 .3. 根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法 . 學習重難點：1 . 直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法

16、；2. 綜合法的思考過程 .3. 根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法 . 知識鏈接： ：復習 1：兩類基本的證明方法 : 和 . 復習 2：直接證明的兩中方法 : 和 . 預習交流：（預習教材 P45 P47，找出疑惑之處合作探究：探究任務一 ： 綜合法的應用小結(jié) ：用綜合法證明不等式時要注意應用重要不等式和不等式性質(zhì),要注意公式應用的條件和等號成立的條件 ,這是一種由因索果的證明 .例2 在 ABC中，三個內(nèi)角 A、B、 C的對邊分別為 a、 b、 c，且 A、B、C成等差數(shù)列， a、b、 c 成等比數(shù)列 . 求證：為 ABC 等邊三角形 .學習小結(jié)： 綜合法是從

17、已知的 P 出發(fā)，得到一系列的結(jié)論 Q1,Q2, ，直到最后的結(jié)論是 Q. 運 用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題 .課后作業(yè) ： 設(shè)在四面體 P ABC 中,ABC 90,PA PB PC,D是 AC的中點.求證:PD垂直于 ABC所在的平面 .問題 ：已知 a,b 0, 求證 :a（b2 c2） b（c2 a2） 4abc.新知：一般地 ,利用,經(jīng)過一系列的推理論證 ,最后導出所要證明的結(jié)論成立 ,這種證明方法叫 綜合法 . 要點：順推證法；由因?qū)Ч?.111例 1 已知 a,b,c R ， a b c 1，求證： 1 1 1 9 abc例 1 求證 3 5 2

18、6例2 在四面體 S ABC 中,SA 面ABC , AB BC ,過A作SB的垂 線,垂足為 E,過 E作 SC的垂線,垂足為 F,求證 AF SC.§2.2.1 綜合法和分析法 （二）（第 6 課時）學習目標：1. 會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程 .2. 根據(jù)問題的特點，結(jié)合分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法 學習重難點：1. 分析法的思考過程 .2. 結(jié)合分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法 . 知識鏈接復習 1 ：綜合法是由導 ;復習 2：基本不等式 :預習交流（預習教材 P48 P50，找出疑惑之處）合作探究：探究任務一 ： 分析法問題 ：如何證明基

19、本不等式 a b ab （a 0,b 0）2課堂作業(yè)：變式 ：求證 : 3 7 2 5新知 ：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié) 為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止 . 要點：逆推證法；執(zhí)果索因§2.2.1 綜合法和分析法（ 3）（第 8 課時）學習目標：1. 能結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學示例 ,了解綜合法和分析法的思考過程和特點;2. 學會用綜合法和分析法證明實際問題 ,并理解分析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系3. 養(yǎng)成勤于觀察、認真思考的數(shù)學品質(zhì) . 學習重難點：1. 綜合法和分析法的思考過程和特點 ;2. 綜合法和分析法證明

20、實際問題 知識鏈接：復習 1 ：綜合法是由導;復習 2：分析法是由索.小結(jié) ：牢固掌握基礎(chǔ)知識是靈活應用兩種方法證明問題的前提，本例中，三角公式發(fā)揮著重要作用 .例2 在四面體 P ABC中， PD ABC ， AC BC ， D是AB的中點，求證： AB PC預習交流：（ 預習教材 P50 P51，找出疑惑之處）合作探究：探究任務一 ： 綜合法和分析法的綜合運用問題：設(shè)實數(shù) a,b,c成等比數(shù)列，非零實數(shù) x, y分別為 a與b ，b與c的等差中項， 求證a c 2. xy已知 a,b,c,d 都是實數(shù)，且 a2 b2 1,c2 d2 1，求證： |ac bc | 1.反思 ：在解決一些復雜

21、、技巧性強的題目時，我們可以把綜合法和分析法結(jié)合使用 .例 1 已知 A,B 都是銳角，且 A B ， （1 tan A）（1 tanB） 2，求證： A B 45 2學習小結(jié)1. 直接證明包括綜合法和分析法 .2. 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析 法與綜合法，即從“欲知”想“需知” （分析 ），從“已知”推“可知” （綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑 .當堂檢測：練 1.給出下列函數(shù) y x x3， y xsinx cosx, y sin x cosx, y 2x 2 x, 其 中是偶函數(shù)

22、的有().A1 個B2個C3 個 D4個2. m、n 是不同的直線， , , 是不同的平面，有以下四個命題(/ / / ；/ m m/其中為真命題的是 AB. 3. 下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是(a，b 均為負數(shù)，則 a b 2bamm/m/n； m/nCDAB).2x2 2 2x1Clg x logx 10 2).§2.2.2 反證法(第 9課時)學習目標1. 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；2. 了解反證法的思考過程、特點 ;3. 會用反證法證明問題 . 學習重難點：1. 間接證明的一種基本方法反證法；2. 反證法的思考過程、特點 ;知識鏈接復習

23、 1：直接證明的兩種方法 : 和復習 2：是間接證明的一種基本方法 .預習交流：(預習教材 P52 P54，找出疑惑之處)a R ,(1 a)(1 ) 4 a n是互不重合的直線，給出四個命題： 若r，r，則 若 m，n，則 mnD、r 是互不重合的平面，m，則，m，則4. 設(shè)若 m若 m其中真命題是5. 已知 p: 2x 3 1, q: x(x 3)m，合作探究：0, 則 p是 q的 課后作業(yè)：如果 a,b 0，則 lg a b lga lgb.22條件 .探究任務：反證法問題 (1)：將 9 個球分別染成紅色或白色 ,那么無論怎樣染 ,至少有 5 個球是同色的 ,你能證明這個 結(jié)論嗎 ?新

24、知：一般地，假設(shè)原命題 ，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè) ，從而 證明了原命題.這種證明方法叫.證明：2, 3, 5不可能成等差數(shù)列 .例 2 求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分小結(jié) ：反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學問 題.方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命 題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實 .例 1 已知 a 0, 證明 x 的方程 ax b 有且只有一個根 .應用轉(zhuǎn)化：1. 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個不大于 60 ”時，反設(shè)正確的是（ ）

25、A假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60 B假設(shè)三內(nèi)角都大于 60C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于602. 實數(shù) a,b,c 不全為 0 等價于為（）.Aa,b,c 均不為 0Ba,b,c 中至多有一個為 0Ca,b,c 中至少有一個為 0Da,b,c 中至少有一個不為 0變式：證明在 ABC 中,若 C是直角 ,那么 B一定是銳角1 1 13.設(shè) a,b, c都是正數(shù)，則三個數(shù) a 1,b 1,c 1 （）.bcaA都大于 2B.至少有一個大于 2C.至少有一個不小于 2 D.至少有一個不大于 24. 用 反 證 法 證 明 命 題 “ 自 然 數(shù) a,b,c 中 恰 有 一 個 偶 數(shù) ” 的 反 設(shè) 為.5. “ x 4”是“ x2 4x 0”的條件 .學習小結(jié)1. 反證法的步驟：否定結(jié)論；推理論證；導出矛盾；肯定結(jié)論 .2. 反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學問題 .課后作業(yè) ： 求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不少于 60 .應用轉(zhuǎn)化：HHHHHHH C HHC C HHCCCHHHHHHHCH4C2H6C3H8寫出后一種化合物的分子式是（）.AC4H9BC4H10CC4H11DC6H122. 用反證法證明：a b ”，應假設(shè)為（）A. a b B.abC.abD.a b1. 按照下列三種化