考研數(shù)學(xué)必背公式

1、高數(shù)概念基礎(chǔ)知識(shí)因式分解公式：-=( -b)(+b+)( n為正偶數(shù)時(shí) )-=( +b)(-b+-)( n為正奇數(shù)時(shí) )+=( +b)(-b+-+)二項(xiàng)式定理：=不等式：(1) a,b 位實(shí)數(shù)，則1；2；3.(2) , >0, 則1取整函數(shù)： x-1 xx三角函數(shù)和差化積 ; 積化和差 (7) ：sin+sin=2(sin)(cos)sincos= (sin+cos)sin-sin=2(cos)(sin)coscos= (cos+cos)cos+cos=2(cos)(co)sinsin=- (cos-cos)cos-cos=2(sin)(sin)重要三角公式1+=1+=-=1-2=2-1

2、=tan =±cot =萬能公式：，則，函數(shù)圖像sec(x)csc(x)cot(x)arcsin(x)arccos(x)arctan(x)arccot(x) 極限定義函數(shù)極限 x? ：（6）=A: ?>0,?>0,當(dāng) 0<|x- x0|< ?時(shí)，恒有 |f(x)- A|< ?.=A: ?>0,?>0,當(dāng) 0<(x- x0)< ?時(shí)，恒有 |f(x)- A|< ?.=A: ?>0,?>0,當(dāng) 0<( x0- x)< ?時(shí)，恒有 |f(x)- A|< ?.=A: ?>0, ?X>0,當(dāng)

3、|x|>X 時(shí),恒有 |f(x)- A|< ?.=A: ?>0, ?X>0,當(dāng) x>X 時(shí),恒有 |f (x)-A|< ?.=A: ?>0, ?X>0,當(dāng) -x>X時(shí) ,恒有 |f(x)- A|< ?.數(shù)列極限 n ：=A : ?>0, ?N>0, 當(dāng) n>N 時(shí) ,恒有 |Xn-A|< ?.性質(zhì)(1) 唯一性 : 設(shè)=A ，=B ，則 A=B.(2) 局部有界性： 若存在，則存在 ?>0,使 f(x) 在 U=x0<x-x0<?內(nèi)有界 .1脫 帽)若=A>0,則 存 在x0的一個(gè)去心(

4、3) 局部保號(hào)性：(鄰域，在該鄰域內(nèi)恒有f(x)>0.2( 戴帽 ) 若存在 x0 的一個(gè)去心鄰域，在該鄰域內(nèi) f(x)>()0，且=A( ?)，則 A0.計(jì)算極限四則運(yùn)算： 設(shè)= A( ?) ,=B( ?), 則1=A± B.2=A ?B.3=(B 0).等價(jià)無窮小（ 9）ln(1 +x), (a>0) ,(1=0,=0;洛必達(dá)法則：“ ”型： 20 的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo),且 f(x),g(x) 在 xg (x) 03=A 或?yàn)?.則“”型：1= ,=;2f(x),g(x) 在 x0 的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo) , 且 g(x) 03=A 或?yàn)?.則 注 洛必達(dá)法則能不能用

5、，用了再說.數(shù)列極限存在準(zhǔn)則：1. 單調(diào)有界數(shù)列必收斂2. 夾逼準(zhǔn)則： 如果函數(shù) f(x),g(x)及 h(x) 滿足下列條件：(1) g(x) f(x) h;(2x) limg(x)=A,limh(x)=A, 則 limf(x) 存在，且 limf(x)=A .1 n?max ;兩種典型放縮： max2 n?maxn?min選取的依據(jù)是誰在和式中去決定性作用海涅定理（歸結(jié)原則）：設(shè) f(x) 在 (內(nèi)有定義，則=A 存在 ? 對(duì)任何以為極限的數(shù)列 （），極限=A存在 .連續(xù)的兩種定義：（ 1）（ 2）間斷點(diǎn)： 第一類：可去、跳躍；第二類：無窮、振蕩 一元微分學(xué) 定義導(dǎo)數(shù)定義式：f 0x=x0

6、=(x)=微分定義式： 若 y=A+o(),則 dy=A .可導(dǎo)的判別 :(1) 必要條件 : 若函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo) , 則 f(x) 在點(diǎn) 處連續(xù) .(2) 充要條件 :存在,都存在，且=. 注 通俗來說就是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)；函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)且在該點(diǎn)連續(xù)，但在這點(diǎn)的某個(gè)鄰域未必連續(xù)；函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)可能連續(xù)，也可能震蕩間斷.可微的判別：=0，則 f(x) 可微。（一元函數(shù)可微即可導(dǎo)）計(jì)算幾個(gè)不常見的求導(dǎo)公式：(arccos x)-=(arccot x)-=萊布尼茨公式： (uv) (n) =u(n)n1(n-1)v +uv(n)v+ C u常見初等函數(shù)n 階導(dǎo)數(shù)：(n) =?l

7、nna() (n) =sin(ax+b) (n) =ansin(ax+b+)cos(ax+b) (n) =an cos(ax+b+)ln(ax+b) (n) =(n1)構(gòu)造輔助函數(shù)：要證+=0, 只要構(gòu)造 F(x)=f(x)，證明=0.十大定理最值定理： 如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則, 其中分別為在 a,b 上的最小值和最大值 .介值定理：如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)， m,M 是 f(x) 在該區(qū)間上的最小值和最大值，則對(duì)任意的,使得=.零點(diǎn)定理： 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 上連續(xù)，且滿足?,f(a) f(b) <0,使得=0.費(fèi)馬引理：設(shè) f(x)

8、滿足在點(diǎn)處則=0.羅爾：設(shè) f(x) 滿足則, 使得=0拉格朗日中值：設(shè) f(x) 滿足則，使得 f(b)-f(a)=(b-a),或者寫成=柯西中值：設(shè) f(x),g(x)滿足則，使得=.泰勒公式：(1) 帶拉格朗日余項(xiàng)的 n 階泰勒公式設(shè) f(x) 在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)n+1 階導(dǎo)數(shù)存在，則對(duì)該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)x 均有f(x)=f()+,其中介于 ,之間，(2) 帶佩亞諾余項(xiàng)的 n 階泰勒公式設(shè) f(x) 在點(diǎn)處 n 階可導(dǎo)，則存在的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域中的任一點(diǎn)，f(x)=f()+().麥克勞林：（ 9）=1+x+ +()sinx=x+ +(+()arcsinx=x+ +()tanx=x+()a

9、rctanx=x+()cosx=1+ +(+()=1+x+ + +()=1x+ +()ln(1+x)=x+ +()=1+x+()函數(shù)性態(tài)單調(diào)判定：若 y=f(x) 在區(qū)間 I 上有>0, 則 y=f(x) 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)增加；若 y=f(x) 在區(qū)間 I 上有<0, 則 y=f(x) 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)減少。零點(diǎn)問題（方程根問題） ：1 零點(diǎn)定理（存在性）2 單調(diào)性（唯一性）3 幾何意義4 羅爾中值（構(gòu)造輔助函數(shù)=0）5 拉格朗日、柯西中值（即為定理方程的根）6 費(fèi)馬定理（取原函數(shù)F(x ) 找極值 f(x)=0 ）7至多 k 個(gè)根，則=0 至多 k+1 個(gè)根 羅爾原話 若=0

10、極值判定：（ 3）第一充分條件： 設(shè) f(x)在 x= 處連續(xù)，在某去心領(lǐng)域 (, )可導(dǎo)第二充分條件： 設(shè) f(x) 在 x=處二階可導(dǎo)，且=0，第三充分條件 ：設(shè) f(x) 在 x=處 n 階可導(dǎo)，且=0(m=1,2, ,n-1),0 (n2) 則 n 為偶數(shù)時(shí)凹凸性判定：設(shè)f(x) 在 I 上二階可導(dǎo) ,補(bǔ)充定義： 設(shè) f(x) 在(a,b) 內(nèi)連續(xù)，如果對(duì) (a,b)f+(1-) f()+(1-)f(), 則稱 f(x)內(nèi)任意兩點(diǎn) (0,1), 有在 (a,b) 內(nèi)是凸的 ; 則是凹的 .拐點(diǎn)判定：（ 3）第一充分條件：設(shè)f(x)在點(diǎn)x=處連續(xù) , 在點(diǎn)x=的某去心鄰域(,)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)

11、存在 , 且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)變號(hào) , 則點(diǎn) (,) 為曲線上的拐點(diǎn) .第二充分條件：設(shè) f(x) 在 x=處三階可導(dǎo)，且=0,0, 則（,)為拐點(diǎn) .第三充分條件： 設(shè) f(x) 在 x=處 n 階可導(dǎo)，且=0(m=2,n -1),0(n2), 則當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， (,) 為拐點(diǎn) .微分幾何應(yīng)用曲率： y=y(x) 在 (x,y(x)處的曲率公式為曲率半徑： R=曲率圓：， 一元積分學(xué) 不定積分定義：設(shè)函數(shù) f(x) 定義在某區(qū)間 I 上，若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x), 對(duì)于該區(qū)間上任一點(diǎn)都有成立，則稱 F(x) 在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)， 稱=F(x)+C為 f(x) 在區(qū)間 I 上的不定積

12、分。原函數(shù)存在定理： 連續(xù)函數(shù) f(x) 必有原函數(shù) F(x) ；若間斷函數(shù)有原函數(shù)，也只能為振蕩間斷。定積分定義：設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上有定義，若存在定積分，則定積分的值為曲邊梯形的面積 (x 軸上方取正，下方取負(fù)。定積分的精確定義：= 注 任意切分，任意取高定積分存在 ( 可積 ) 定理：1 充分條件,則存在.2 必要條件可積函數(shù)必有界 .定積分的性質(zhì)： (6)1可拆性： 無論a,b,c的大小，+2上 f(x)g(x), 則有 保號(hào)性： 若在 a,b特殊地，有.3估值定理： 設(shè)分別是f(x)在a,b上的最小最大值，則有m,Mm(b-a)M(b-a)4 中值定理： 設(shè) f(x)

13、 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在 a,b 上至少存在一點(diǎn)，使得= (b-a).、 、的奇偶 , 周期 , 有界, 單調(diào)關(guān)系（ 1） 奇偶性可導(dǎo)奇，則偶；可導(dǎo)偶，則奇可積奇，則（ 2） 周期性可導(dǎo)以 T 為周期，則；可積以 T 為周期；偶，則可積以 T 為周期，則以 T為周期（ 3） 有界性若在有限區(qū)間 (a,b)（ 4） 單調(diào)性內(nèi)有界，則在(a,b) 內(nèi)有界無明確結(jié)論變限積分定義：當(dāng)定積分的上限變化、 下限變化或上下限都變化時(shí)， 稱該積分為變限積分 .變限積分的性質(zhì)：(1) f(x) 在 a,b上可積，則F(x)=在a,b上連續(xù) .(2) f(x) 在 a,b上連續(xù)，則F(x)=在a,b上可導(dǎo)

14、 .( 即只要變限積分F(x)=存在，就必然連續(xù).)變限積分求導(dǎo)公式：= -.(x為”求導(dǎo)變量”，t 為”積分變量”)反常積分通俗理解：無窮區(qū)間上的反常積分的概念和斂散性：=+( 3=1+2)無界函數(shù)的反常積分的概念和斂散性：若 b 是 f(x) 的唯一奇點(diǎn) , 則=若 c(a,b)是 f(x) 的唯一奇點(diǎn)，則=+(3=1+2)計(jì)算基本積分公式：（24）湊微分：（復(fù)雜處理方法）換元法：（三角代換）（倒代換）（整體代換） 不定積分分部積分：（推廣）有理函數(shù)積分：N-L 公式：（有原函數(shù)）分部積分：換元法：定積分華氏( 點(diǎn)火 ) 公式：區(qū)間再現(xiàn)公式：變限積分求導(dǎo)公式：積分幾何應(yīng)用均值：設(shè), 函數(shù)

15、y(x) 在上的平均值為平面曲線弧長(1) 平面光滑曲線 L 由給出，則 L=(2)平面光滑曲線 L 由參數(shù)式,給出，則 L=(3)平面光滑曲線 L 由給出，則 L=(4)平面光滑曲線 L 由給出，則 L=平面圖形面積： (1)S=(2)S=旋轉(zhuǎn)曲面面積： (1) 曲線 y=y(x) 在區(qū)間 a,b 上的曲線弧段繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積(2) 曲線(,)在區(qū)間上的曲線弧段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積S=(3) 曲線 y=y(x) 在區(qū)間 a,b 上的曲線弧段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)體體積：(1) 曲線 y=y(x) 與 x=a,x=b(a b) 及

16、x 軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(2)曲線 y=(x)與 y=0 及 x=a,x=b(a b) 所及 x軸圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(3)曲線 y=y(x) 與 x=a,x=b (0 ab) 及 x 軸圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(4)曲線 y=(x) 與 y=及 x=a,x=b(0 ab) 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積= 多元微分 基本概念1. 極限的存在性： 若二元函數(shù) f(x,y)在的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，且 (x,y) 以任意方式 ( 不考慮無定義點(diǎn) ) 趨于時(shí)，f(x,y)均趨向于 A，則.2.

17、連續(xù)性： 如果，則稱 f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù) .3. 偏導(dǎo)數(shù)存在性：=214. 可微：全增量=5 4線性增量=36若極限=0, 則稱在處可微 .5. 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性: 1用定義法求,2用公式法求,并計(jì)算，3若1 =2，則在處的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。6.存在計(jì)算多元函數(shù)微分遵循鏈?zhǔn)椒▌t隱函數(shù)求導(dǎo)法設(shè)函數(shù)在確定唯一的連續(xù)函數(shù)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且，則在點(diǎn)，且滿足 : 1;的某鄰域內(nèi)恒能2;3有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且;多元函數(shù)極值必要條件： 設(shè)處存在偏導(dǎo)數(shù)，則必有,充分條件：設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 并設(shè) () 是的駐點(diǎn)，記A=， B=, C=則條件極值： 求在條件=0 下的極值(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)=+(2)構(gòu)造方程組，解出所有的 (3) 求備選點(diǎn)，其中最大值、最小值即為所求最值在某區(qū)域 D 上的最值：（ 1） 求出 f(x,y) 在 D內(nèi)所有可疑點(diǎn)處的函數(shù)值；（ 2） 求出 f(x,y) 在 D的邊界上的最值；（ 3） 比較所有的函數(shù)值，得出最值 常微分方程 基礎(chǔ)概念1. 未知函數(shù)是一元函數(shù)的是常微分方程，多元函數(shù)的是偏微分方程2. 未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為微分方程的階3. 通解和特解通解中的獨(dú)立常數(shù)個(gè)數(shù)與階數(shù)相同，不含任意常數(shù)的解是特解4. 線性微分方程：通解 =