函數(shù)奇偶性的判斷方法

1、函數(shù)奇偶性的判斷方法(周口衛(wèi)生學(xué)校馬愛華466000)摘要：本文由兩個高考題來驗證判斷函數(shù)奇偶性的三種常見方法：1、利用奇偶函數(shù)的定義來判斷(這是最基本，最常用的方法)；2、用求和(差) 法判斷；3、用求商法判斷。關(guān)鍵詞：奇函數(shù) 偶函數(shù) 定義域 求和(差)法 求商法函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要的性質(zhì)，其重要性質(zhì)體現(xiàn)在它與函數(shù) 的各種性質(zhì)的聯(lián)系之中，那么，怎樣來判斷函數(shù)的奇偶性呢？函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)從兩方面來進行，一是看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱(這是判斷奇偶性的必要性)二是看f(x)與f(x)的關(guān)系。判斷方法有以下三種：1、利用奇偶函數(shù)的定義來判斷(這是最基本，最常用的方法)定義：如果對于

2、函數(shù)y=f (x)的定義域A內(nèi)的任意一個值x， 都有f (-x)=-f( x)則這個涵數(shù)叫做奇函數(shù) f (-x) =f( x)則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)2、用求和(差)法判斷若 f (x) f x) = 0(f(x)-f(-x)=2f(x)貝y f (x)為奇函數(shù)若 f (x) - f(-x) = 0 f(x) f(-x) =2f(x) 則 f(x)為偶函數(shù)3、用求商法判斷若f(-x)= _1 f(X)=0則f (x)為奇函數(shù)f(x)若卩Q = 1 f (x) = 0則f (x)為偶函數(shù)f (x)例1、判斷函數(shù)f(x) =lg _1 X2 x的奇偶性(對口升學(xué)07年高考題) 解法一(定義法)函數(shù)的定

3、義域為R,關(guān)于原點對稱f (-x) = lg .1 x2 -x= lg(QJ)S = lg_ = lgGL + x)" +x2 +xG + X2 + X=-lg( i 1 x2 x) - - f (x).f(x)為奇函數(shù)解法二(求和(差)法)f (x) f (-x) = lg T x2 x lg T x2 -x=lg、1 x2 x、1 x2 - x=lg 1 =0 f(x)為奇函數(shù)解法三(求商法).f(-x) lg 1 x2-x lg1x=lg 1 x2_xf (x) lg . 1 x2 x lg 1x2 x lg vV x2 x二-1(x =0)f(x)為奇函數(shù)例2判斷函數(shù)f(x)

4、=x亠十丄的奇偶性(對口升學(xué)08年高考題) <2 -1 2 丿解法一(定義法)函數(shù)的定義域為x=0的全體實數(shù)，關(guān)于原點對稱x：2.2x +_2x _ 2x +1 2(1 2x)- ：2(i _2x)2x +1 1xx'2(21)而 f (x) = x1<2-12 丿2(21)1 2xf(-x) f (x).f(x)為偶函數(shù)解法二(求和(差)法)f(x) f(x) =x r+丄 i<2x -1 2 丿xx x x 2 x2x 1 2 1 -2x 22xx2x -1 2x -1x(1 -2x)2x -1解法二(求商法)f (-x) f(x)2x -1 22x _ 12x

5、-1 2 丄12x -1 22x 1丄12x -1 22 2x _2x 12(2x -1) 2x12 2x _1_2x12(2x -1 f(x)為偶數(shù)函數(shù)例3已知f(x)=O是定義在R上的函數(shù)，試判斷f(x)的奇偶性解：f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱f(-x) = 0 二 f (x).f(x)為偶函數(shù)又 f(x) =0 =0(x)f (x)為奇函數(shù).f(x)為既奇偶函數(shù)由例3可知，確實存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，這種函數(shù)的值 恒為零。因此，函數(shù)可分為四類：1、奇函數(shù)(非偶函數(shù))2、偶函數(shù)(非奇函數(shù))3、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(既奇又偶函數(shù))4、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(非奇非偶函數(shù))另外，我們還可以利用函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的奇偶性。偶函數(shù)=其圖象關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)=其圖象關(guān)于原點對稱從上面兩個等價命題可以得出：奇函數(shù)在原點兩側(cè)的單調(diào)性相同(即 同增同減)；偶函數(shù)在原點兩側(cè)的單調(diào)性相反(即左增右減或左減右增)因此，我們也可以從函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的奇偶性，進而解決有關(guān) 奇偶性的問