機(jī)械振動6連續(xù)系統(tǒng)的振動1弦的橫向振動

1、2021年11月11日振動力學(xué)2 實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)。分布參數(shù)系統(tǒng)。 由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標(biāo)，由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標(biāo)，因此因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。 連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組二階常微分方程組，它是，它是偏微分方程

2、。偏微分方程。 在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。統(tǒng)是完全類似的。2021年11月11日振動力學(xué)32021年11月11日振動力學(xué)4（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說說 明明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動滿足微振動的前提）振動滿足微振動的前提 。2021年11月11日振動力學(xué)56.1

3、 弦的橫向振動弦的橫向振動弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 T 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動在分布力作用下作橫向振動 yx),(tLT), 0(tT),(txfxdx),(txyo建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xoy),(txy弦上距原點弦上距原點 x 處的橫截面在處的橫截面在 t 時刻的橫向位移時刻的橫向位移 ),(txf單位長度弦上分布的作用力單位長度弦上分布的作用力 單位長度弦的質(zhì)量單位長度弦的質(zhì)量 微段受力情況微段受力情況 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxfTdxxdxxTtxTtydx),(sin)sin(),(22fdx22tydxdxxdxdxxTT),(txT微振：微振：

4、xytansin2021年11月11日振動力學(xué)6dxtxfTdxxdxxTtxTtydx),(sin)sin(),(22xytansindxtxfxyTdxxyxTdxxyxTdxxyxyTtydx),()(2222222不計不計dx的二次項，的二次項， 同除以同除以dx： ),(2222txfxyxTxyTty)0(),(22LxtxfxyTxty此為弦的橫向振動的偏微分方程此為弦的橫向振動的偏微分方程 ),(),(),(txyytxTTx式中：式中： 2021年11月11日振動力學(xué)7弦的橫向強(qiáng)迫弦的橫向強(qiáng)迫振動方程振動方程/Ta 其中：其中：)0(),(22LxtxfxyTxty從圖上看出

5、，在兩端：從圖上看出，在兩端：yx),(tLT), 0(tT),(txfxdx),(txyo0),(), 0(tLyty這就是邊界條件。這就是邊界條件。）（31 . 6）（41 . 6邊界值問題。）構(gòu)成了偏微分方程的）與（41 . 631 . 6為小量，為常數(shù)，設(shè)橫向位移若弦的線密度),()(txyx）簡化為：（可以視為常數(shù)，則方程弦的張力31 . 6T)0(),(2222LxtxfxyTty）（51 . 6方程：，則弦的自由振動微分如果0),(txf22222xyaty）（61 . 6彈性波沿弦向彈性波沿弦向的傳播速度的傳播速度波動方程波動方程2021年11月11日振動力學(xué)8弦存在著同步運動

6、的特征：弦存在著同步運動的特征：yxTT),(txfxdx),(txyo0),(), 0(tLyty弦位移的形狀不隨時間改變弦位移的形狀不隨時間改變）（81 . 6，取決于表示弦的振動位形，只xxY)(22222xyaty但弦位移形狀的幅度隨時間改變，但弦位移形狀的幅度隨時間改變， 弦上各點同時達(dá)到最大幅值，弦上各點同時達(dá)到最大幅值，又同時通過平衡位置。又同時通過平衡位置。 數(shù)學(xué)上講，就是位移函數(shù)在時間和空數(shù)學(xué)上講，就是位移函數(shù)在時間和空間上是分離的，間上是分離的，)()(),(tFxYtxy即位移函數(shù)可以寫成：即位移函數(shù)可以寫成：，取決于表示弦的振動規(guī)律，只ttF )(2021年11月11日

7、振動力學(xué)9弦存在著同步運動的特征：弦存在著同步運動的特征：0),(), 0(tLyty）（81 . 6. xt，右端只依賴于上式左端只依賴于22222xyaty)()(),(tFxYtxy要使等號兩端對任意的代入上式：代入上式：)()()()(22222tFdxxYdadttFdxY移項得：移項得：22222)()(1)()(1dxxYdxYadttFdtF數(shù)，都相等，必須都等于常和tx表示，得該常數(shù)用20)()(222tFdttFd0)()(2222xYadxxYd2=2021年11月11日振動力學(xué)100),(), 0(tLyty）（81 . 622222xyaty)()(),(tFxYtx

8、y令：0)()(222tFdttFd0)()(222xYdxxYd)0(Lxa）（101 . 6）（111 . 6這樣，偏微分方程就變成兩個二階常微分方程，這樣，偏微分方程就變成兩個二階常微分方程，x, t.而而(6.1-10)的解應(yīng)該是簡諧的：的解應(yīng)該是簡諧的：tBtAtFcossin)()sin(tC）（121 . 6確定。件為積分常數(shù)，由初始條或式中)0 ,(),0 ,(,xyxyCBA2021年11月11日振動力學(xué)110)()(222xYdxxYd)0(Lxa）（111 . 6而而(6.1-11)的解應(yīng)該是：的解應(yīng)該是：xExDxYcossin)(確定。件為積分常數(shù)，由邊界條式中),(

9、), 0(,tLytyED）（131 . 60),(), 0(tLyty）（41 . 60)()0(LYY）（141 . 6代入代入(6.1-13)得：得：0sin)(0)0(LDLYEY，0sin0LD0sinaL即，振型函數(shù)振型函數(shù)2021年11月11日振動力學(xué)12xExDxYcossin)(）（131 . 60sinaL程。這就是弦振動的特征方由此得無窮多個固有頻率：由此得無窮多個固有頻率：,iaLLaii), 2 , 1(iTLi）（161 . 6）（151 . 6頻率頻率 1 1稱為基頻或基諧波，較高次頻率稱為高次諧波。稱為基頻或基諧波，較高次頻率稱為高次諧波。高次諧波是基頻的整數(shù)倍

10、。高次諧波是基頻的整數(shù)倍。對應(yīng)無窮多個固有頻率，就有無對應(yīng)無窮多個固有頻率，就有無窮多個固有振型函數(shù)：窮多個固有振型函數(shù)：)2 , 1(sinsin)(ixLixaxYii）（171 . 6此處此處D 省略，因為省略，因為Y表示系統(tǒng)各點振幅的相對比值（振型）。表示系統(tǒng)各點振幅的相對比值（振型）。2021年11月11日振動力學(xué)13Laii), 2 , 1(iTLi）（181 . 6)2 , 1(sinsin)(ixLixaxYii系統(tǒng)自由振動是這些固有振型振動的疊加：系統(tǒng)自由振動是這些固有振型振動的疊加：tBtAtFcossin)(tBtAtFiiiiicossin)()()(),(tFxYtx

11、yxLitBtAtFxYtxyiiiiiiisin)cossin()()(),(11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy連續(xù)系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)的特性類似。連續(xù)系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)的特性類似。離散離散 連續(xù)，振型向量連續(xù)，振型向量 振型函數(shù)。振型函數(shù)。2021年11月11日振動力學(xué)14)(sin)0 ,(1xfxLiBxyii由三角函數(shù)的正交性：由三角函數(shù)的正交性：)()0 ,(),()0 ,(xgtxyxfxy)()(2/0sinsin0jijiLxdxLjxLiL設(shè)在設(shè)在t t=0=0時刻，有時刻，有)(sin)0 ,(1xgxLiAtxyiii所以

12、得：所以得：iLBLxdxLixf2sin)(0,sin)(20LixdxLixfLB), 2 , 1(,sin)(20ixdxLixgLALii）（211 . 6）（221 . 62021年11月11日振動力學(xué)15),()0 ,(xfxy可見初始條件決定每一階固有振型在系統(tǒng)中的貢獻(xiàn)?？梢姵跏紬l件決定每一階固有振型在系統(tǒng)中的貢獻(xiàn)。,sin)(20LixdxLixfLB), 2 , 1(,sin)(20ixdxLixgLALii11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy，0),(), 0(tLyty，22222xyatyLaii，)()0 ,(xgtxy

13、張緊弦的自由振動除了基頻振動外，還可以包含高次諧波振動張緊弦的自由振動除了基頻振動外，還可以包含高次諧波振動在振動中各階諧波的出現(xiàn)與否及出現(xiàn)的相對大小取決于激勵。在振動中各階諧波的出現(xiàn)與否及出現(xiàn)的相對大小取決于激勵。2021年11月11日振動力學(xué)16例例6.1-1 6.1-1 考慮兩端固定的弦，求振動的前三階固有頻率和相考慮兩端固定的弦，求振動的前三階固有頻率和相應(yīng)的固有振型，并作出振型圖。應(yīng)的固有振型，并作出振型圖。LT,x)(xy解：弦的固有頻率：解：弦的固有頻率：), 2 , 1(iTLii，TL1，TL22.33TL弦的固有振型：弦的固有振型：)2 , 1(sinsin)(ixLixa

14、xYii，xLxYsin)(1，xLxY2sin)(2.3sin)(3xLxY2021年11月11日振動力學(xué)17LT,x)(xy前三階固有振型圖前三階固有振型圖，xLxYsin)(1，xLxY2sin)(2.3sin)(3xLxYx)(1xyx)(2xyx)(3xy，TL1，TL22.33TL各階頻率成倍增長，各階頻率成倍增長，振型相應(yīng)增多，振型相應(yīng)增多， 振幅為零的節(jié)點個數(shù)逐次振幅為零的節(jié)點個數(shù)逐次增加，第增加，第n 階固有振型有階固有振型有n-1-1個節(jié)點。個節(jié)點。2021年11月11日振動力學(xué)18例例6.1-2 6.1-2 考慮均勻弦在考慮均勻弦在x=0和和x=L處固定的特征值問題，處固

15、定的特征值問題，證明特征函數(shù)證明特征函數(shù)Yr( (x) )和和Ys( (x) )滿足如下正交性關(guān)系：滿足如下正交性關(guān)系：解：先將振型函數(shù)正則化，即令：解：先將振型函數(shù)正則化，即令：為克朗尼格符號。式中，rs)2 , 1,(,)()(,)()(200srdxdxxdYdxxdYTdxxYxYrsrsLrrssLr代入上式：將xLrDxYrrsin)(，1)(02LrdxxY1sinsin02dxxLrxLrDLrdxLxrDLr02)2cos121（0/2)/2sin(212LLrLxrxDrLDr2211LDr22021年11月11日振動力學(xué)19所以有：所以有：dxLxsLxrLdxxYxYL

16、sLrsinsin2)()(000LDr2xLrLxYrsin2)(得正則振型：LdxLxsrLxsrL0)(cos)(cos10/2/2sin1LLsLxsxL時，sr 0/)(/)sin(/)(/)sin(1LLsrLxsrLsrLxsrL時，sr 1)2 , 1,()()(01srsrsrrs2021年11月11日振動力學(xué)20同樣有：同樣有：dxLxsLsLxrLrLTdxdxxdYdxxdYTLsLrcoscos2)()(000LDr2xLrLxYrsin2)(得正則振型：LdxLxsrLxsrLTrs032)(cos)(cos0/2/2sin322LLsLxsxLTs時，sr 0/)

17、(/)sin(/)(/)sin(322LLsrLxsrLsrLxsrLTs時，sr 22()( ,1,2)()0ssrsrsr srs 222LTsTLss2s2021年11月11日振動力學(xué)21注意：在本例中，特征函數(shù)滿足正交性只是普通三角函數(shù)正注意：在本例中，特征函數(shù)滿足正交性只是普通三角函數(shù)正交性的重復(fù)。交性的重復(fù)。然而，在本質(zhì)上特征函數(shù)的正交性是一般的，然而，在本質(zhì)上特征函數(shù)的正交性是一般的，而系統(tǒng)的特征函數(shù)為三角函數(shù)是非常特殊的情況。而系統(tǒng)的特征函數(shù)為三角函數(shù)是非常特殊的情況。回想離散系統(tǒng)，同樣有振型的正交性，同樣有一組固有回想離散系統(tǒng)，同樣有振型的正交性，同樣有一組固有頻率和固有振型

18、來表示系統(tǒng)的特征。頻率和固有振型來表示系統(tǒng)的特征。至此，除了離散系統(tǒng)的固有頻率和固有振型是有限集，至此，除了離散系統(tǒng)的固有頻率和固有振型是有限集，而連續(xù)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型是無限集以外，而連續(xù)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型是無限集以外，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的相似性便完備了。離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的相似性便完備了。2021年11月11日振動力學(xué)22例例6.1-3 6.1-3 設(shè)張緊弦在初始時刻將中點撥離設(shè)張緊弦在初始時刻將中點撥離h ( (如圖如圖) ) ，然后，然后無初速地釋放，求弦的自由振動。無初速地釋放，求弦的自由振動。解：弦的初始形狀就是解：弦的初始形狀就是 y(x,0):)2/()2/0()/

19、1 (2/2)0 ,(LxLLxLxhLhxxy0)0 ,(txy而無初始速度：以上兩式就是初始條件。以上兩式就是初始條件。2Lx)(xyLhO11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy由于由于0iA01sin)0 ,(iiixLiAtxy2021年11月11日振動力學(xué)23)2/()2/0()/1 (2/2sin)0 ,(1LxLLxLxhLhxxLiBxyii,sin)(20LixdxLixfLB2/02/sin)/1 (22sin22LLLxdxLiLxhLxdxLiLhxL)(xf2/cos402/cos2sin2222LLxLiihLxLiihxxLiih