分類加法計數(shù)原理知識整理(教師)

1、第十章 計數(shù)原理與概率第一節(jié) 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理知識回顧兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條 件完成一件事，可以有_.在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法,在第n類辦法中有mn種方法完成一件事需要經(jīng)過_，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法,做第n步有mn種方法結(jié) 論完成這件事共有N=_種方法完成這件事共有N=_種方法依 據(jù)能否_完成整個事件能否_完成整個事件思考辨析：判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”).(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類不同辦法中的方法可以相同.( )(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類辦法中的方法

2、都能直接完成這件事.( )(3)如果完成一件事情有n類不同辦法，在每一類中都有若干種不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成這件事共有m1+m2+m3+mn種方法.( )(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.( )(5)在分步乘法計數(shù)原理中，事情如果是分兩步完成的，則其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成.( )(6)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法.( )【解析】(1)錯誤.在分類加法計數(shù)原理中，每類不同辦法中的方法互

3、不相同，即第一類辦法中的m1種方法和第二類辦法中的m2種方法沒有相同的.(2)正確.在分類加法計數(shù)原理中，每類辦法中的每一種方法都能完成這件事.(3)正確.這是分類加法計數(shù)原理的推廣.(4)正確.在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法如果相同，則可認為是相同的步驟(5)正確. 在分步乘法計數(shù)原理中，如果事情是分兩步完成的，則它的任何一個單獨的步驟都不能完成這件事.(6)正確.這是分步乘法計數(shù)原理的推廣.答案：(1)× (2) (3) (4) (5) (6) 考點練習：1從10名任課教師，50名同學中，選1人參加元旦文藝演出，共有選法種數(shù)為( )(A)50 (B)10 (C

4、)60 (D)500【解析】選C.分類完成此事，一類是選教師，有10種選法，另一類是選學生，有50種選法，由分類加法計數(shù)原理可知，共有10+50=60種選法.2某城市的電話號碼，由六位升為七位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是( )(A)9×8×7×6×5×4×3 (B)8×96 (C)9×106 (D)81×105【解析】選D.電話號碼是六位數(shù)字時，該城市可安裝電話9×105部，同理升為七位時，可安裝電話9×106部，所以可增加的電話部數(shù)是9×106-9

5、15;105=81×1053.從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法有_種.【解析】分類完成此事，如果選女生，有3種選法；如果選男生，有2種選法.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3+2=5種選法.答案：54將4封信投入3個郵箱，有_種不同的投法，將3封信投入4個郵箱，有_種不同的投法.【解析】分四步：每一封信都有3種不同的投法，由分步乘法計數(shù)原理，共有3×3×3×381(種)；分三步：每一封信都有4種不同的投法，由分步乘法計數(shù)原理，共有43=64(種).答案：81 645已知集合M=1，-2,3，N=4,5,6，7，從兩個集合中

6、各取一個元素作為點的坐標(一個為橫坐標，一個為縱坐標)，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是_.【解析】令M中的元素作為點的橫坐標，N中的元素作為點的縱坐標，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有1×2個令N中的元素作為點的橫坐標，M中的元素作為點的縱坐標，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有2×2個故所求不同的點的個數(shù)是2×21×22×22×214答案：14考向 1 分類加法計數(shù)原理 【典例1】(1)若x，yN*,且x+y6,則有序自然數(shù)對(x,y)共有_個.(2)在所

7、有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_.【思路點撥】(1)根據(jù)題意，用列舉法分別求得當x=1,2,3,4,5時，y值的數(shù)目情況，進而由分類加法計數(shù)原理，計算可得答案.(2)對十位數(shù)字進行分類或?qū)€位數(shù)字進行分類.【規(guī)范解答】(1)當x=1時，y可取的值為5,4,3,2,1,共5個；當x=2時，y可取的值為4，3，2，1，共4個；當x=3時，y可取的值為3，2，1，共3個；當x=4時，y可取的值為2，1，共2個；當x=5時，y可取的值為1，共1個；即當x=1,2,3,4,5時，y值依次有5，4，3，2，1個，由分類加法計數(shù)原理，得不同的數(shù)對(x,y)共有5+4+3+2+1=15(個

8、).答案：15(2)方法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故共有36個.方法二：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位是9，則十位可以是1，2，3，8中的一個，故共有8個；個位是8，則十位可以是1，2，3，7中的一個，故共有7個；同理個位是7的有6個；個位是2的有1個.由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故共有36個.答案：36【互動探究】本

9、例題(2)中條件不變，求個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)且為偶數(shù)的個數(shù).【解析】當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個.當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個.當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個.同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個，當個位數(shù)字是0時，共9個.由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個).【拓展提升】1.分類加法計數(shù)原理的特點(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準.(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類.2.使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“標準要明確，不

10、重不漏”的原則.【變式備選】某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有( )(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種【解析】選B依題意，就所剩余的一本進行分類計數(shù)：第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有 6(種)因此，滿足題意的贈送方法共有4610(種)考向 2 分步乘法計數(shù)原理 【典例2】(1)(2013·南昌模擬)如圖，在A,B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通，如今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有( )

11、(A)10種 (B)12種 (C)13種 (D)15種(2)用5種不同的顏色給圖中A,B,C,D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？【思路點撥】(1)根據(jù)題意，用排除法，首先由分步計數(shù)原理計算可得A，B間的4個焊接點脫落與否的情況總數(shù)目，進而由電路知識分析當A，B之間線路通暢時的情況數(shù)目；由總數(shù)目減去通暢的情況數(shù)目即可得答案.(2)逐步給A,B,C,D四個區(qū)域涂色即可.【規(guī)范解答】(1)選C.根據(jù)題意，在A，B間有四個焊接點，每個焊接點脫落與否有2種情況，則A，B間的4個焊接點，共有2×2×2×2=16種情況，其中

12、A，B之間線路通暢時，有1，2，3，4全部沒有脫落，只有2脫落，只有3脫落，共3種情況，則A，B之間線路不通的焊接點脫落的不同情況有16-3=13種情況,故選C.(2)分4步：涂A有5種方法；涂B有種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法(D與A可以同色).由分步乘法計數(shù)原理得，共有5×4×3×3=180(種).【拓展提升】使用分步乘法計數(shù)原理的關注點(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的.(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當全部步驟完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎，也是關鍵.

13、從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).【提醒】解決分步問題時一定要合理設計步驟、順序，使各步互不干擾、互不影響，還要注意元素是否可以重復選取.【變式訓練】用1，2，3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有( )(A)6個 (B)9個 (C)18個 (D)36個【解析】選C.由題意知，1，2，3中必有某一個數(shù)字重復使用2次.第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數(shù)放在四位數(shù)余下的2個位置上，有2種方法，故共可組成3×3×2=18個

14、不同的四位數(shù).考向 3 兩個計數(shù)原理的綜合應用 【典例3】(1)(2013·合肥模擬)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為( )(A)240 (B)204 (C)729 (D)920(2)用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有_種不同的涂色方法.【思路點撥】(1)由于中間數(shù)最大，可先按中間數(shù)進行分類，再按兩邊的數(shù)分步進行解答.(2)本題是解決涂色問題，要明確涂色要求，嚴格區(qū)分是“分類”還是“分步”【規(guī)范解答】

15、(1)選A.分8類，當中間數(shù)為2時，有1×22(個)；當中間數(shù)為3時，有2×36(個)；當中間數(shù)為4時，有3×412(個)；當中間數(shù)為5時，有4×520(個)；當中間數(shù)為6時，有5×630(個)；當中間數(shù)為7時，有6×742(個)；當中間數(shù)為8時，有7×856(個)；當中間數(shù)為9時，有8×972(個)故共有26122030425672(2)完成該件事可分步進行.涂區(qū)域1，有5種顏色可選.涂區(qū)域2，有4種顏色可選.涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選.若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3

16、種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選.所以共有5×4×(1×4+3×3)=260(種)涂色方法.答案：260【拓展提升】1.兩個計數(shù)原理的區(qū)別原理區(qū)別 分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理 區(qū)別一 每類辦法都能獨立完成這件事.它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二 各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏2應用兩個計數(shù)原理的“兩個”注意點(1)注意在應用兩個原理解決問題時

17、，一般是先分類再分步在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.(2)注意對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.【變式訓練】某小組有10人，每人至少會英語和法語中的一門，其中8人會英語，5人會法語，(1)從中任選一個會外語的人，有多少種選法？(2)從中選出會英語與會法語的各1人，有多少種不同的選法？【解析】由于85=1310，所以10人中必有3人既會英語又會法語，5人只會英語，2人只會法語(1)可分類完成此事：一類只會英語，一類既會英語也會法語，一類是只會法語，共有5+3+2=10(種)(2)同樣分3類，共有N=5×25×32

18、15;3=31(種)方法.【創(chuàng)新體驗】新定義問題 【典例】(2012·湖北高考)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22，121,3 443,94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33,，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，999.則(1)4位回文數(shù)有_個；(2)2n1(nN+)位回文數(shù)有_個.【思路點撥】找準創(chuàng)新點 回文數(shù)的定義：從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)尋找突破口 (1)根據(jù)回文數(shù)的定義得出什么數(shù)是回文數(shù)(2)如何得到4位回文數(shù)，可轉(zhuǎn)化為填4個并列的方格(3)由2位、3位、4位回文數(shù)歸納得出2n+1位回文數(shù)的求法及個數(shù)

19、 【規(guī)范解答】(1)4位回文數(shù)相當于填4個方格,首尾相同,且不為0,共9種填法,中間兩位一樣,有10種填法,共計9×10=90(種)填法，即4位回文數(shù)有90個.(2)根據(jù)回文數(shù)的定義,此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格. 結(jié)合計數(shù)原理知有9×10n種填法.答案：(1)90 (2)9×10n高考模擬1.(2013·蚌埠模擬)體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有( )(A)12 種 (B)7種 (C)24種 (D)49種【解析】選D.學生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步乘法計數(shù)原理，該學生的進出門方案有7

20、5;749(種)，所以應選D2.(2012·陜西高考)兩人進行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )(A)10種 (B)15種 (C)20種 (D)30種【解析】選C.由題意知，比賽場數(shù)最少為3場，至多為5場.當比賽場數(shù)為3場時，情形為甲或乙連贏3場，共2種；當比賽場數(shù)為4場時，若甲贏，則前3場中甲贏2場，最后一場甲贏，共有 =3(種)情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當比賽場數(shù)為5場時，前4場，甲乙雙方各贏2場，最后一場勝出的人贏，所以共有2 =12(種)，綜上可知，共有2+6+12=20(種)

21、.故選C.3.(2012·安徽高考)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為( )(A)1或3 (B)1或4 (C)2或3 (D)2或4【解析】選D. 設6位同學分別用a,b,c,d,e,f表示.若任意兩位同學之間都進行交換，共進行 =15(次)交換，現(xiàn)共進行了13次交換，說明有2次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由3人構成的2次交換，如ab和ac之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有b,c兩人.(2)由4人構成的2次交換，如ab和ce之間的交換

22、沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有a,b,c,e四人故選D.4(2013·滁州模擬)用數(shù)字2，3組成四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答).【解析】方法一：數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，可以分為3類，第一類：一個2三個3，有4個；第二類：兩個2兩個3，有6個；第三類：三個2一個3，有4個，共有14個.方法二：可以考慮四個位置任排，然后減去2 222和3 333這兩種情況，個數(shù)為24-2=14.答案：145.用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌涂色(如圖甲、乙)，要求四個區(qū)域中相鄰(有公共的邊界)區(qū)域不用同一顏色(1)若n=6，則為甲圖涂色的不同方法共有_種.(2)若為乙圖涂色時共有120種不同的方法，則n=_【解析】(1)在甲圖中對區(qū)域按順序涂色，由分步乘法計數(shù)原