第7課一元二次方程

1、2一元二次方程的解法：一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有一元二次方程的解法有直接開平方法直接開平方法，因式分解法因式分解法，配方配方法法，公式法公式法這四種這四種 (2)當(dāng)當(dāng) b24ac0 時(shí)，方程時(shí)，方程有兩個(gè)相等的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根 (1)當(dāng)當(dāng) b24ac0 時(shí)，方程時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根 對于一元二次方程對于一元二次方程 ax2bxc0(a0)， 4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(拓展拓展)： 3一元二次方程的求根公式：一元二次方程的求根公式： 對于一元二次方程對于一元二次方程 ax2bxc0(a0)， 如果， 如果 b24a

2、c0，那么方程的兩個(gè)根為那么方程的兩個(gè)根為 xb b24ac2a (3)當(dāng)當(dāng) b24ac0 時(shí)，方程時(shí)，方程沒有沒有實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根 x1x2 ba ，x1x2 ca 1(2015重慶重慶)一元二次方程一元二次方程 x22x0 根是根是 ( ) Ax10，x22 Bx11，x22 Cx11，x22 Dx10，x22 【答案】【答案】 A 2(2015蘭州蘭州)一元二次方程一元二次方程 x28x10 配方后可變形配方后可變形為為 ( ) A(x4)217 B(x4)215 C(x4)217 D(x4)215 【答案】【答案】 C 3(2015麗水麗水)解一元二次方程解一元二次方程 x22x30 時(shí)，

3、可轉(zhuǎn)化時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，請寫出其中的一個(gè)一元一次方為兩個(gè)一元一次方程，請寫出其中的一個(gè)一元一次方程：程： 【答案】【答案】 x30 或或 x10 4 (2014濟(jì)寧濟(jì)寧)若一元二次方程若一元二次方程 ax2b(ab0)的兩個(gè)根分別的兩個(gè)根分別是是 m1 與與 2m4，則，則ba 【答案】【答案】 4 5(2014汕尾汕尾)已知關(guān)于已知關(guān)于 x 的方程的方程 x2axa20 (1)若該方程有一個(gè)根為若該方程有一個(gè)根為 1，求，求 a 的值及該方程的另一個(gè)根的值及該方程的另一個(gè)根 (2)求證： 不論求證： 不論 a 取何實(shí)數(shù)， 該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根取何實(shí)數(shù)， 該方程都有兩個(gè)不相

4、等的實(shí)數(shù)根 【解析】【解析】 (1)把把 x1 代入原方程，得代入原方程，得 1aa20，a12 原方程為原方程為 x212x320，解方程，得，解方程，得 x11，x232， 方程的另一個(gè)根為方程的另一個(gè)根為32 (2)a24(a2)a24a8a24a44(a2)240， 不論不論 a 取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 題型一一元二次方程的有關(guān)概念題型一一元二次方程的有關(guān)概念在一元二次方程的一般形式中，要注意二次項(xiàng)系數(shù)在一元二次方程的一般形式中，要注意二次項(xiàng)系數(shù)a0. 【典例【典例 1】 下列說法中，正確的是下列說法中，正確的是 ( ) A形如形如

5、 ax2bxc0 的方程叫做一元二次方程的方程叫做一元二次方程 B方程方程 4x23x6 不含常數(shù)項(xiàng)不含常數(shù)項(xiàng) C一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)均一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)均不能為不能為 0 D(2x)20 是一元二次方程是一元二次方程 【答案】【答案】 D 【答案】【答案】 A 題型二一元二次方程解的定義以及一元題型二一元二次方程解的定義以及一元二次方程的解法二次方程的解法使用因式分解法時(shí)，應(yīng)先把一元二次方程變形成等式使用因式分解法時(shí)，應(yīng)先把一元二次方程變形成等式右邊為右邊為 0 的形式，通常運(yùn)用提取公因式、平方差公式、完的形式，通常運(yùn)用提取公因式、平方差

6、公式、完全平方公式將方程因式分解成全平方公式將方程因式分解成 AB0 的形式的形式 公式法是最普遍適用的一種解法，應(yīng)用求根公式的前公式法是最普遍適用的一種解法，應(yīng)用求根公式的前提是提是 b24ac0 配方法是最重要的一種解法，用配方法解方程的一般配方法是最重要的一種解法，用配方法解方程的一般步驟為：步驟為： (1)二次項(xiàng)系數(shù)化為二次項(xiàng)系數(shù)化為 1 (2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊把常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊 (3)在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 (4)把方程整理成把方程整理成(xa)2b 的形式的形式 (5)運(yùn)用直接開平方法解方程運(yùn)用直接開平方法解方程

7、【典例【典例 2】 (2015南京南京)已知方程已知方程 x2mx30 的一個(gè)的一個(gè)根是根是 1， 則它的另一個(gè)根是， 則它的另一個(gè)根是 ， m 的值是的值是 【解析】【解析】 把把 x1 代入原方程，得代入原方程，得 m4 原方程為原方程為 x24x30，解得，解得 x11，x23 方程的另一個(gè)根是方程的另一個(gè)根是 3 【答案】【答案】 3 4 【類題演練【類題演練 2】 (2014寧夏寧夏)一元二次方程一元二次方程x22x10的解的解是是 ( ) Ax1x21 Bx11 2，x21 2 Cx11 2，x21 2 Dx11 2，x21 2 【解析】【解析】 解方程解方程 x22x10， 變形

8、，得變形，得 x22x12，(x1)22，x1 2， x11 2，x21 2 【答案】【答案】 C 題型三一元二次方程根的判別式題型三一元二次方程根的判別式由求根公式由求根公式 xb b24ac2a(b24ac0)可知， 一元二可知， 一元二次方程次方程 ax2bxc0(a0)是否有實(shí)數(shù)根，與是否有實(shí)數(shù)根，與 b24ac 的符的符號有關(guān)，為此，我們把號有關(guān)，為此，我們把 b24ac 叫做一元二次方程的根的判叫做一元二次方程的根的判別式，記做別式，記做 b24ac (2)當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3)當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)，方時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，程有兩個(gè)不

9、相等的實(shí)數(shù)根， 0 時(shí)， 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，時(shí)， 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，千萬不要失根千萬不要失根 【典例【典例 2】 關(guān)于關(guān)于 x 的方程的方程 k2x2(2k1)x10 有實(shí)數(shù)有實(shí)數(shù)根，則根，則 k 的取值范圍是的取值范圍是 ( ) Ak14 Bk14且且 k0 Ck14 Dk14 【錯(cuò)解】【錯(cuò)解】 選選 B，理由：，理由：(2k1)24k24k10， k14又又k20，k0 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)2含字母系數(shù)方程的類型的判斷含字母系數(shù)方程的類型的判斷【析錯(cuò)】【析錯(cuò)】 錯(cuò)把該方程認(rèn)為是一元二次方程，忽略了當(dāng)錯(cuò)把該方程認(rèn)為是一元二次方程，忽略了當(dāng) k0時(shí)，該方程是一元一次方程，也有實(shí)數(shù)根時(shí)，該方

10、程是一元一次方程，也有實(shí)數(shù)根 名師指津名師指津 審清題意，當(dāng)方程中含有字母系數(shù)時(shí)，應(yīng)先對方審清題意，當(dāng)方程中含有字母系數(shù)時(shí)，應(yīng)先對方程的類型加以正確判斷：是一元一次方程還是一元二次方程的類型加以正確判斷：是一元一次方程還是一元二次方程，然后根據(jù)方程的類型進(jìn)行分類討論，避免漏解程，然后根據(jù)方程的類型進(jìn)行分類討論，避免漏解 1 若關(guān)于 若關(guān)于 x 的方程的方程 x23xa0 有一個(gè)根為有一個(gè)根為1， 則另一， 則另一個(gè)根為個(gè)根為 ( ) A2 B2 C4 D3 【解析】【解析】 設(shè)原方程的兩根分別為設(shè)原方程的兩根分別為1，x2， 則則1x23，x22 【答案】【答案】 A 2 關(guān)于 關(guān)于 x 的一

11、元二次方程的一元二次方程 kx22x10 有兩個(gè)不相等的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是的取值范圍是 ( ) Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且且 k0 【答案】【答案】 D 3有兩個(gè)一元二次方程：有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2bxc0；N：cx2bxa0，其中，其中 ac0，ac以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是( ) A如果方程如果方程 M 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程 N 也有也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B如果方程如果方程 M 的兩根符號相同，那么方程的兩根符號相同，那么方程 N 的兩根符號的兩根符號也相同也相同 C如果如果 5 是方程是方程 M 的一個(gè)根，那么的一個(gè)根，那么15是方程是方程 N 的一個(gè)根的一個(gè)根 D如果方程如果方程 M 和方程和方程 N 有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是是 x1 【答案】【答案】 D 4若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù) a，b 滿足滿足(4a4b)(4a4b2)80，則，則 ab 【答案】【答案】 1 或或12 【解析】【解析】 設(shè)設(shè) abx