2021版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(二)學(xué)案新人教A版必修5

1、2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列的幾種表示方法，能用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列.2.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng).匚知退櫬理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N(或它的有限子集1 , 2,，n)為定義域的函數(shù) an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值.2.在數(shù)列an中，假設(shè)an+1>an,那么an是遞增數(shù)列；假設(shè) an+ 1<an,那么an為遞減數(shù)列；假設(shè) an+1 = an,那么 an為常數(shù)列.思考1從定義上看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，表示數(shù)列除可以用通項(xiàng)公式外，還可以有哪些方法？答案 還可

2、以用列表法，圖象法.思考2數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別和聯(lián)系是什么？答案 聯(lián)系：假設(shè)函數(shù)f(x)在1 ,+)上單調(diào)，那么數(shù)列f (n)也單調(diào).反之不正確，例如 f(x)5 2=(x4)，數(shù)列f ( n)單調(diào)遞增，但函數(shù)f (x)在(1 ,+)上不是單調(diào)遞增.區(qū)別：二者定義不同，函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù) f (x)的定義域?yàn)镈,設(shè)D? I，對任意X1, X2 I，當(dāng) X1<X2 時(shí)，假設(shè) f (X1)>f(X2)，那么 f (x)在 I 上單調(diào)遞減，假設(shè) f (X1)<f (X2)，那么 f (x)在 I 上 單調(diào)遞增，定義中的 X1, X2不能用有限個(gè)數(shù)值來代替.數(shù)列單調(diào)性的定

3、義：只需比擬相鄰的an與an+1的大小來確定單調(diào)性.知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的表示方法1.數(shù)列的遞推公式：如果數(shù)列 an的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)，并且數(shù)列 an的任一項(xiàng)an與它的 前一項(xiàng)an1 (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞 _ 推公式.2 .數(shù)列的表示方法：數(shù)列的表示方法有通項(xiàng)公式法、圖象法、列表法、遞推公式法.思考1數(shù)列an滿足a1= 3, an+1 = 2an+ 1,那么數(shù)列的第5項(xiàng)as=，由此歸納出an的一個(gè)通項(xiàng)公式為 ，可以求得a8 =.答案 T a1 = 3,. a2= 2a1+ 1 = 7, a3= 2a2+ 1 = 15, a4= 2a3+ 1 = 31,

4、 a5= 2a4 + 1 = 63, as =63.可以看出 an = 2+1 1 ,. a8= 2 1 = 511.思考2由思考1，體會(huì)一下數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式有什么區(qū)別？答案 通項(xiàng)公式直接反映了 an與n之間的關(guān)系，即知道 n值，即可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的值an；遞推關(guān)系那么是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，要求an，須將前面的各項(xiàng)依次求出才行.題型探究題型一數(shù)列的函數(shù)特征n*例1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= n+9n N，寫出其前5項(xiàng),并判斷數(shù)列an的單調(diào)性.解當(dāng)n= 1, 2, 3, 4, 5時(shí)，an依次為箱，123, £善,34,2 _

5、n n+ 9n+1n an+1 an= (n +1) 2+ 9 n2 + 9 = (n+ 1) 2+ 9 n2+ 9.137函數(shù) f(x) = x2 x + 9= (x+ 2)2 + 匸在1，+m)上單調(diào)遞減，又 f (1) = 7>0, f(2) = 3>0, f (3)<0 ,當(dāng) n= 1, 2 時(shí)，an+ 1>an，當(dāng) n?3, n N時(shí)，an+ 1<an,即 a1<a2<a3>a4>a5>.數(shù)列an的前3項(xiàng)是遞增的，從第 3項(xiàng)往后是遞減的.反思與感悟 判斷數(shù)列的增減性，一般是將其轉(zhuǎn)化為比擬相鄰兩項(xiàng)的大小,常用的方法有作差法、作

6、商法，作差法判斷數(shù)列增減性的步驟為：作差；變形；定號;結(jié)論.作商法適用于各項(xiàng)都是同號的數(shù)列，且應(yīng)比擬比值與1的大小關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1求例題中的數(shù)列an的最大項(xiàng).解 / a1<a2<a3>a4>a5> ， 數(shù)列an的最大項(xiàng)為a3= 1.題型二遞推公式的簡單應(yīng)用n5例2(1)數(shù)列an滿足anan 1 = an1 + ( 1)且a1= 1,那么一等于(a316482anF B. 3 7 D.數(shù)列an滿足a1= 1, an+1=.通過它的前5項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an+ 2答案(1)B(2) an = n+ 12 (n N*)解析 (1)由 ai = 1 知 a2

7、ai = ai + ( 1)2,得 a2= 2；,3 e1由 a3a2= a2+ ( 1)，得 a3= ；22 a5 3 4同理得a4 = 3, a5=，故=，選B.3 a3 13222X1(2) ai = 1 = 一， a2=-3'24,22X 5a4= r2+25'a5=菸1_23=6.1 2 1 + 22故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=和(代N).反思與感悟(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法，其作用與數(shù)列的通項(xiàng)公式類似.可以根據(jù)遞推公式依次求得數(shù)列中的項(xiàng).(2)利用遞推公式求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可以幫助我們猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練 2 數(shù)列an滿足 a1 = 1 , an+

8、1 + 2anan + 1 an= 0.(1)寫出數(shù)列的前5項(xiàng)； 由(1)寫出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式.11111解 (1)由可得 a1= 1 = 1，a2= 3, a3= 5, a4=-, a5 = 9. 由(1)可得數(shù)列的每一項(xiàng)的分子均為1,分母分別為1, 3, 5, 7, 9,，所以它的一個(gè)通1項(xiàng)公式為an = 2n_ 1.題型三由遞推公式求通項(xiàng)公式1例 3 (1)數(shù)列an中，a = 2, an+1= an+ ln(1 + -)，求 an. 數(shù)列an中，a1 = 1,且an+1 = 2an( n N*)，寫出前3項(xiàng)，猜測an并加以證明.n +1解 (1)由題意得an+1 an = ln-a

9、nan1 ln(n>2),n 1an-1an-2=lnn2, a2 a1= ln當(dāng) n?2 時(shí)，an- a= In(亠工 2)= ln n,n1 n 21 an= 2 + In n(n?2).當(dāng)n= 1時(shí)，ai = 2 + In 1 = 2,符合上式， an= 2 + In n(n N).(2) a = 1 = 2°, a2= 2a1= 21, a3= 2a2 = 22, 猜測&= 2n 1 (n N).證明如下：由題意得，an = 2an1( n?2),a1= 1工 0, an 豐 0,an即=2 , an 2an 1=2,，aaanan1an 1an 2a2 n 1

10、a1(n> 2),牛=2 1 , an = 2 1( n?2).當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = 211= 20= 1,符合上式，n 1十 * an= 2( n N).反思與感悟 (1)由遞推公式寫出通項(xiàng)公式的步驟 先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) (至少是前3項(xiàng)). 根據(jù)寫出的前幾項(xiàng)，觀察歸納其特點(diǎn)，并把每一項(xiàng)統(tǒng)一形式; 寫出一個(gè)通項(xiàng)公式并證明.(2) 用“累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(a2 a"當(dāng) an an1 = f( n)( n?2)滿足一定條件時(shí)，常用an= (an an 1) + (an 1 an2) + a1累加來求通項(xiàng)an.(3) 用“累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.ananan 1

11、a2當(dāng)席=g(n)( n?2)滿足一定條件時(shí)，常用an=席 a Q累乘來求通項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練3數(shù)列an中，a1= 1,圧=1，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式是()an 21A. an=2n B.an=2nC. an12n1 D .1an=歹答案 C解析an+1 1an = 2,當(dāng)n?2時(shí),an1an 1 1 an -2 132 1石=2，an = 2，a1 = 2,anan-1an2an 1an 2an 31 n 11 n 1- an= %=2 g2 1 1當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 =211 =20= 1,符合上式, an=?例4 求數(shù)列 2n2+ 29n+ 3中的最大項(xiàng).錯(cuò)解由，得229 21an= 2n

12、+ 29n+ 3= 2 n + 10七,482 1 數(shù)列 2n2 + 29n+ 3中的最大項(xiàng)為108：.8正解由，得229 21an= 2n + 29n+ 3= 2 n + 108：.48*29由于n N ,故當(dāng)n取距離 才最近的正整數(shù) 7時(shí)，an取得最大值108,數(shù)列 2n2 + 29n+ 3中的最大項(xiàng)為 a?= 108.戸當(dāng)堂檢測自査自糾1 .以下四個(gè)命題： 如果一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng);2 3 4 5n 數(shù)列2, -, 4 , 5，的通項(xiàng)公式是 an= ；3 4 5 6n+1 數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)； 數(shù)列1, 1, 1, 1,與數(shù)列一1, 1, 1,

13、 1,是同一數(shù)列.其中真命題的個(gè)數(shù)是A. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 A解析只有正確.中，如an+ 2= an+ 1+ an,ai= 1，無法寫出除首項(xiàng)外的其他項(xiàng).中n + 1_an= n+2，中1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列.2 .數(shù)列2, 4, 6, 8, 10,的遞推公式是A. an = an-1 + 2n?2B. an = 2an-1 n?2C. a1 = 2, an= an-1+ 2 n?2D. a1 = 2, an= 2an-1n?2答案 C解析 A, B中沒有說明某一項(xiàng)，無法遞推，D中a1= 2, a2= 4, a3= 8,不合題意.13 .數(shù)列Xn中，

14、假設(shè) X1 = 1, Xn +1= 1,那么 X2 017 等于Xn + 11A. 1 B 一 21c. D . 12答案 D1解析 T X1= 1，- X2=，：X3= 1 ,數(shù)列Xn的周期為 2，二 X2 017 = X1= 1.4. 數(shù)列an中，an= n-201!，那么該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是n-* 2 012A. a1, a50 B . a1, a44C. a45, a44 D . a45, a50答案 C& 丄廠n-x/2 011寸2 012 J2 011解析 an= = 1 +?n 寸 2 012n p 2 012當(dāng)n 1 , 44且n N*時(shí)，an單調(diào)遞

15、減，當(dāng)n 45 ,+s且n N*時(shí)，an單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)fX = 気瀘的圖象,可知an max= a45 ,an min = a44.5. 數(shù)列an滿足a1= 1, an an1= 2n?2，那么數(shù)列的通項(xiàng)an等于A. 2n+1 B . 2nC. 2n 1 D . 2(n 1)答案 C解析 當(dāng) n?2 時(shí)， an an-1 = 2,(an ani) + (ani an2) + (a3 a2)+ (a2 a" = 2+ 2+ 2 = 2( n 1),1Y*(n 1)個(gè) an= 2n 1.當(dāng) n= 1 時(shí)，an= 1 適合上式， an= 2n 1( n N*).* 16.數(shù)列an，對于任意的 p, q N,都有ap+ aq= aP+q,假設(shè)a= 9，貝U a36=同理48a4= 9, a8= 9,a8+1a8+ a19 + 9=1,- a36= 2a18=4a9=