十四章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、 第十四章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 第一節(jié) 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)在前面各章中，我們所討論的函數(shù)都只限于一個(gè)自然變量的函數(shù)，簡稱一元函數(shù)，但是在更多的問題中所遇到的是多個(gè)自變量的函數(shù).例如，矩形的面積描述了面積和長、寬這兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系.又如，燒熱的鐵塊中每一點(diǎn)的溫度與該點(diǎn)的位置之間有著確定的函數(shù)關(guān)系，即當(dāng)鐵塊中點(diǎn)的位置用坐標(biāo)表示時(shí)，溫度由這三個(gè)變量所確定.如果進(jìn)一步考慮上述鐵塊的冷卻過程，那末溫度還與時(shí)間有關(guān)，即的值由這四個(gè)變量所確定.這種兩個(gè)、三個(gè)或四個(gè)自變量的函數(shù)，分別稱為二元、三元或四元函數(shù)，一般統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但也由于自變量由一

2、個(gè)增加到多個(gè)，產(chǎn)生了某些新的內(nèi)容，讀者對這些內(nèi)容尤其要加以注意.對于多元函數(shù)，我們將著重討論二元函數(shù).在掌握了二元函數(shù)的有關(guān)理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數(shù)中去.一元函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)集；二元函數(shù)的定義域?qū)⑹亲鴺?biāo)平面上的點(diǎn)集.因此，在討論二元函數(shù)之前，有必要先了解有關(guān)平面點(diǎn)集的一些基本概念.一、平面點(diǎn)集由平面解析幾何知道，當(dāng)在平面上確定了一個(gè)坐標(biāo)系（今后如不特別指出，都假定是直角坐標(biāo)系）之后，所有有序?qū)崝?shù)對與平面上所有的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng).因此，今后將把“數(shù)對”與“平面上的點(diǎn)”這兩種說法看作是完全等同的.這種確定了坐標(biāo)系的平面，稱為坐標(biāo)平面.坐標(biāo)平面上滿足某種條件

3、的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，并記作 例如全平面上的點(diǎn)所組成的點(diǎn)集是 (1)平面上以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓內(nèi)所有的點(diǎn)的集合是 (2)而集合 (3) 則為一矩形及其內(nèi)部所有點(diǎn)的全體，為書寫上的方便，也常把它記作平面點(diǎn)集 與 分別稱為以點(diǎn)為中心的圓鄰域與方鄰域 （圖14-1） 圖14-1 由于點(diǎn)的任一圓領(lǐng)域可以包含在點(diǎn)的某一方領(lǐng)域之內(nèi)（反之亦然），因此通常用“點(diǎn)的鄰域”或“點(diǎn)的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域，并以記號或來表示.點(diǎn)的空心鄰域是指 或 并用記號或來表示. 下面利用鄰域來描述點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系.任意一點(diǎn)與任意一個(gè)點(diǎn)集之間必有以下三種關(guān)系之一： （i）內(nèi)點(diǎn)若存在點(diǎn)的某鄰域，使得則稱點(diǎn)是點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)；的

4、全體內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的內(nèi)部，記作. （ii）外點(diǎn)若存在點(diǎn)的某鄰，使得則稱是點(diǎn)集的外點(diǎn). （iii）界點(diǎn)若在點(diǎn)的任鄰域內(nèi)既含有屬于的點(diǎn)，又含有不屬于的點(diǎn)，則稱是集合的界點(diǎn). 即對任何正數(shù)，恒有 且，其中是關(guān)于全平面的余集，的全體界點(diǎn)構(gòu)成的邊界，記作. 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于；的外點(diǎn)必定不屬于；的界點(diǎn)可能屬于，也可能不屬于. 點(diǎn)與點(diǎn)集的上述關(guān)系是按“點(diǎn)在E內(nèi)或在外”來區(qū)分的.此外，還可按在點(diǎn)的近旁是否密集著中無窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系： （i）聚點(diǎn)-若在點(diǎn)的任何空心鄰域內(nèi)都含有中的點(diǎn)，則稱是的聚點(diǎn)，聚點(diǎn)本身可能屬于，也可能不屬于. （ii）孤立點(diǎn)-若點(diǎn)，但不是的聚點(diǎn)，即存在某一正數(shù)，使得，則稱點(diǎn)是的孤立

5、點(diǎn). 顯然，孤立點(diǎn)一定是界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)和非孤立的界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；既不是聚點(diǎn)，又不是孤立點(diǎn)，則必為外點(diǎn).例1 . 確定集的聚點(diǎn)集 （如圖14-2）. 解 的聚點(diǎn)集.開集：若的每一個(gè)點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，即時(shí)，稱為開集。閉集:若的聚點(diǎn)集，稱為閉集。 例2 設(shè)平面點(diǎn)集 如圖14-2 (4)滿足的一切點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)；滿足的一切點(diǎn)是的界點(diǎn)，它們都屬于；滿足的一切點(diǎn)也是的界點(diǎn)，但它們都不屬于；點(diǎn)集連同它外圓邊界上的一切點(diǎn)都是的聚點(diǎn). 根據(jù)點(diǎn)集中所屬點(diǎn)的特征，我們再來定義一些重要的平面點(diǎn)集. 開集:若平面點(diǎn)集所屬的每一點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)（即)，則稱為開集. 閉集:若平面點(diǎn)集的所有聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集.若點(diǎn)集沒有聚點(diǎn)，這時(shí)也稱

6、為閉集. 在前面列舉的平面點(diǎn)集中，（2）所表示的點(diǎn)集是開集；（3）所表示的點(diǎn)集是閉集；（4）所表示的點(diǎn)集是非開集，又非閉集；而（1）所表示的點(diǎn)集既是開集又是閉集.此外，還約定空集既是開集又是閉集.可以證明，在一切平面點(diǎn)集中，只有與是即開又閉的點(diǎn)集.開域:若非空開集E具有連通性，即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱為開域（或稱連通開集）.閉域:開域連同其邊界所成的點(diǎn)集稱為閉域.區(qū)域:開域、閉域，或者開域連同其一部分界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱為區(qū)域.在上述諸例中，（2）是開域，（3）是閉域，（1）既是開域又是閉域.又如 （5）雖然是開集，但因I、II

7、I象限之間不具有連通性，所以它不是開域，也不是區(qū)域.有界點(diǎn)集對于平面點(diǎn)集，若存在某一正數(shù)，使得 ，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)（也可以是其他固定點(diǎn)），則稱是有界點(diǎn)集.否則就是無界點(diǎn)集.上述（2）、（3）、（4）都是有界點(diǎn)集，（1）、（5）則是無界點(diǎn)集.為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說法是：存在矩形區(qū)域.點(diǎn)集的有界性還可用點(diǎn)集的直徑來反映，所謂點(diǎn)集的直徑，就是 其中表示與兩點(diǎn)之間的距離，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)分別為和時(shí)，則 于是，當(dāng)且僅當(dāng)為有限值時(shí)是有界點(diǎn)集. 根據(jù)距離概念，讀者不難證明如下三角形不等式，即對上任何三點(diǎn)和，皆有 二、上的完備性定理反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理，構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到，它們

8、同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).為此，先給出平面點(diǎn)列的收斂性概念.定義14-1 設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定點(diǎn).若對任給的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱點(diǎn)列收斂于點(diǎn)，記作 或在坐標(biāo)平面中，以與分別表示與時(shí)，顯然等價(jià)于.同樣的，當(dāng)以表示點(diǎn)與之距離時(shí)，也就等價(jià)于.由于點(diǎn)列極限這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限，因此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.定理14-1（柯西準(zhǔn)則） 平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切正整數(shù)，都有 < (6)證 必要性 設(shè)，則由三角不等式 及點(diǎn)列收斂定義，對所給，存在正整數(shù)，當(dāng)（也有）時(shí)，恒有 .應(yīng)用三角不等式，立刻得到（6）式. 充分性 當(dāng)（6）式

9、成立時(shí)，則同時(shí)有 這說明數(shù)列都滿足柯西收斂準(zhǔn)則，所以它們都收斂，設(shè).從而由點(diǎn)列收斂概念推得收斂于點(diǎn)定理14-2（閉域套定理）設(shè)是中的閉域列，它滿足: 則存在惟一的點(diǎn) 證 任取點(diǎn)列.由于，因此，從而有（圖14-3） 圖14-3 由定理14-1知道存在,使得 任意取定，對任意正整數(shù)有 再令，由于是閉域，從而必定是閉集，因此作為的聚點(diǎn)必定屬于，即 最后證明 的唯一性，若含有 閉域套定理顯然是中閉區(qū)間套定理的直接推廣. 定理14-3（聚點(diǎn)定理）設(shè)為有界無限點(diǎn)集，則中至少有一個(gè)聚點(diǎn). 證 現(xiàn)用閉域套定理來證明，由于是平面有界集合，因此存在一個(gè)閉正方形包含它.連接正方形對邊中點(diǎn)，把分成四個(gè)小的閉正方形，則

10、在這四個(gè)小閉正方形中，至少有一個(gè)正方形含有中無限多個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)小閉正方形為.再對正方形如上法分成四個(gè)更小的閉正方形，其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有的無限多個(gè)點(diǎn)，如此下去得到一個(gè)閉正方形序列（圖14-4） 圖14-4 容易看到這個(gè)閉正方形序列的邊長隨著趨向于無限而趨向于零，于是由閉域套定理，存在一點(diǎn) 現(xiàn)在證明就是的聚點(diǎn)，任取,當(dāng)充分大之后，正方形的邊長可小于，既有,又由的取法知道中含有的無限多個(gè)點(diǎn)，這就表明的聚點(diǎn). 推論 有界無限點(diǎn)列必存在收斂子列 證明略. 定理14-4（有限覆蓋定理）設(shè)為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了則在中必存在有限個(gè)開域，它們同樣覆蓋了 本定理的證明與中的有限覆蓋定理相仿

11、，在此從略. 在更一般的情況下，可將定理14-4中的改設(shè)為有界閉集，而為一族開集，此時(shí)定理結(jié)論依然成立. 三、 二元函數(shù) 函數(shù)（或映射）是兩個(gè)集合之間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系.實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射是一元函數(shù)，現(xiàn)在定義二元函數(shù).定義14-2 設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對應(yīng)法則，中每一點(diǎn)都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)（或稱的一個(gè)映射），記作 (7)且稱為的定義域；所對應(yīng)的為在點(diǎn)的函數(shù)值，記作或；全體函數(shù)值的集合為的值域，記作.通常還把的坐標(biāo)稱為的自變量，而把稱為因變量. 在映射意義下，上述稱為的象，的原象，當(dāng)把和它所對應(yīng)的象一起組成三維數(shù)組時(shí)，三維歐氏空間中的點(diǎn)集 便是二元函數(shù)的圖象.

12、通常的圖象是一空間曲面，的定義域便是該曲面在平面上的投影 為方便起見，由（7)式所確定的二元函數(shù)也記作 且當(dāng)它的定義域不會被誤解的情況下，也簡單地說“函數(shù)”或“函數(shù)”.例3 函數(shù)的圖象是中一個(gè)平面，其定義域是,值域是.例4 函數(shù)的定義域是平面上的單位圓域，值域?yàn)閰^(qū)間0,1,它的圖象是以原點(diǎn)為中心的單位球面上的上半部分（圖14-5） 圖14-5例5 是定義在整個(gè)平面上的函數(shù)，它的圖象是過原點(diǎn)的雙曲拋物面（圖14-6） 圖14-6 例6 是定義在上的函數(shù)，值域是全體非負(fù)整數(shù)(如圖14-7)所示: 圖14-7 若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)，如例3中的函數(shù)；若值域是無界數(shù)集，則稱該

13、函數(shù)為無界函數(shù)，如例2，4，5中的函數(shù).四 、 元函數(shù) 所有個(gè)有序?qū)崝?shù)組的全體稱為維向量空間，簡稱維空間，記作.其中每個(gè)有序?qū)崝?shù)組中的一個(gè)點(diǎn)；個(gè)實(shí)數(shù)是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)中的點(diǎn)集，若有某個(gè)對應(yīng)法則，使中每一點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的元函數(shù)（或稱的一個(gè)映射），記作 也常把元函數(shù)簡寫成 或 對于后一種被稱為“點(diǎn)函數(shù)”的寫法，它可使多元函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致，以便仿照一元函數(shù)的辦法來處理多元函數(shù)中的許多問題；同時(shí)還可把二元函數(shù)的某些論斷推廣到元函數(shù)。 第二節(jié) 二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)極限 定義14-3 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對任給正數(shù)

14、，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有 則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記作 (1)在對于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡單地寫作 當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí)，式也常寫作 例1 依定義驗(yàn)證. 證 因?yàn)?先限制在點(diǎn)的的方鄰域 內(nèi)討論，于是有 所以 設(shè)為任給的正數(shù)，取，則當(dāng)時(shí)，就有 例2 設(shè) 證明 證 對函數(shù)的自變量作極坐標(biāo)變換等價(jià)于對任何由于 因此，對任何，只須取時(shí)，不管 下述定理及其推論相當(dāng)于數(shù)列極限的子列定理與一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則（而且證明方法也相似），讀者可通過它們進(jìn)一步認(rèn)識定義1中“”所包含的意義. 定理14-5 的充要條件是：對于的任一子集，只要是的聚點(diǎn)，有 推論1 設(shè) 推論2 設(shè)是它們的聚點(diǎn)，若存在極限 但.

15、推論3 極限存在的充要條件是：對于中任一滿足條件，它所對應(yīng)的函數(shù)列都收斂.下面兩個(gè)例子是它們的應(yīng)用. 例3 討論時(shí)是否存在極限 解當(dāng)動點(diǎn)時(shí)，由于此時(shí) 這一結(jié)果說明動點(diǎn)沿不同斜率的直線趨于原點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的極限值也不同，因此所討論的極限不存在. 例4 求. 解 . 下面我們再給出當(dāng)（非正常極限）的定義. 定義14-4 設(shè)為二元函數(shù)的定義域，是的一個(gè)聚點(diǎn).若對任給正數(shù),總存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，使得當(dāng)時(shí)，都有,則稱時(shí)，存在非正常極限，記作 或 仿此可類似地定義： . 例5 設(shè).證明 證 因?yàn)?，對任給正數(shù)，取 就有 由此推得 即 這就證得結(jié)果（該函數(shù)在原點(diǎn)附近的圖象參見圖14-8）p96圖14-8 二元函數(shù)極

16、限的四則運(yùn)算法則與一元函數(shù)極限四則運(yùn)算法則相仿，特別把看作點(diǎn)函數(shù)時(shí)，相應(yīng)定理的證法也完全相同，這里就不再一一列出. 二 、累次極限 在上一段所研究的極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于，這種極限也稱為重極限，在這一段里，我們要考察與依一定的先后順序相繼趨于的極限，這種極限稱為累次極限. 定義14-5 設(shè)的聚點(diǎn)，的聚點(diǎn)，二元函數(shù)上有定義，若對每一個(gè)，存在極限，由于此極限一般與有關(guān)，因此記作 而且進(jìn)一步存在極限 則稱此極限為二元函數(shù)先對的累次極限，并記作 或簡記作 類似地可以定義先對后對的累次極限 累次極限與重極限是兩個(gè)不同的概念，它們的存在性沒有必然的蘊(yùn)含關(guān)系.下面三個(gè)例子說明這一點(diǎn). 例6 設(shè)

17、，由例3已經(jīng)通過的重極限不存在，但當(dāng)時(shí)有 . 從而有 .同理可得 .即的兩個(gè)累次極限都存在而且相等.例7 設(shè)，它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分別為 與 當(dāng)沿斜率不同的直線時(shí)，容易驗(yàn)證所得極限也不同.因此該函數(shù)的重極限不存在（下面的定理14-6將告訴我們，這時(shí)一個(gè)必然的結(jié)果）例8 設(shè)它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限都不存在.這是因?yàn)閷θ魏萎?dāng)時(shí)的第二項(xiàng)不存在極限.同理，對任何當(dāng)時(shí)的第二項(xiàng)也不存在極限.但是由于 故按二元函數(shù)極限的定義知道的重極限存在，且下述定理告訴我們：重極限與累次極限在一定條件下也是有聯(lián)系的.定理14-6 若在點(diǎn)存在重極限 與累次極限 則它們必相等.證 設(shè) ，則對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)

18、時(shí)，有 . （2）另由存在累次極限之假設(shè)，對任意滿足不等式 （3）的，存在極限 . （4）回到不等式（2），讓其中由（4）可得 故由（3），（5）證得即 =由這個(gè)定理可導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論.推論1 若累次極限 ，和重極限 都存在，則三者相等.推論2 若累次極限 與存在但不相等，則重極限 必不存在.請注意，定理14-6保證了在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等.但它們對另一個(gè)累次極限的存在性卻得不出什么結(jié)論.推論1給出了累次極限次序可交換的一個(gè)充分條件；推論2可被用來否定重極限的存在性. 第三節(jié) 二元函數(shù)的連續(xù)性 一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念定義14-6 （用“”定義二元函數(shù)連續(xù)） 設(shè)函

19、數(shù)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，（它或者是D的聚點(diǎn)，或者是D的孤立點(diǎn)），若對任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，使得當(dāng) 時(shí)，都有 則稱關(guān)于集合D在點(diǎn)連續(xù)，簡稱點(diǎn)連續(xù)。若函數(shù)上任何點(diǎn)都連續(xù)，則稱上的連續(xù)函數(shù)。由連續(xù)定義，若是D的孤立點(diǎn)，則必定是關(guān)于集合D的連續(xù)點(diǎn)；若是D的聚點(diǎn)，則關(guān)于集合D在連續(xù)等價(jià)于 如果是D的聚點(diǎn)，而上式不成立，則稱關(guān)于集合D在不連續(xù)（或間斷點(diǎn)）.特別 時(shí)，稱是的可去間斷點(diǎn).例1 其中 是固定實(shí)數(shù).在直線上 因此在原點(diǎn)沿著任意直線 是連續(xù)的.定義14-7（全增量） 設(shè) ，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的全增量.如果在全增量中取 ，則稱相應(yīng)的函數(shù)增量為偏增量.記作定義14-8 （用增量定義連續(xù)性） 設(shè)函

20、數(shù)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，都有 則稱在點(diǎn)連續(xù). 例2 證明函數(shù)在點(diǎn)沿任何方向都連續(xù), 但并不連續(xù).證 當(dāng) 時(shí)， 時(shí)，取 時(shí) 因此函數(shù)在點(diǎn)沿任何方向都連續(xù).但顯然函數(shù)在點(diǎn)極限不存在，所以不連續(xù). 二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 二元連續(xù)則對任意單元連續(xù)，反之不然.zyyx1比如函數(shù)（如圖14-9） 在原點(diǎn)處顯然不連續(xù)，但因此在原點(diǎn)處對分別都連續(xù). 圖14-9 1.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 和一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)也有下面性質(zhì)：四則運(yùn)算性質(zhì)； （請仿照一元函數(shù)給出敘述）局部有界性；局部保號性.定理14-7（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性） 設(shè)函數(shù)和在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在點(diǎn)連續(xù)；函數(shù)在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在連續(xù)，其中，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).證明 由函數(shù)在連續(xù)，對任意，存在，當(dāng)，時(shí)，有 又由 在連續(xù)，對上述