統(tǒng)計光學光波的一階統(tǒng)計性質(zhì)

1、 光輻射的統(tǒng)計特性，包括光輻射的統(tǒng)計特性，包括性質(zhì)性質(zhì)( (在一個時在一個時刻的性質(zhì)刻的性質(zhì)) )、二階二階( (兩個時刻的兩個時刻的) )性質(zhì)和性質(zhì)和三個三個或更多個時刻的或更多個時刻的) ) 性質(zhì)。性質(zhì)。本節(jié)限于討論本節(jié)限于討論。 本節(jié)的討論完全是在本節(jié)的討論完全是在進行的。因為進行的。因為從實際工程應(yīng)用的觀點看來，經(jīng)典理論（從從實際工程應(yīng)用的觀點看來，經(jīng)典理論（從出發(fā)）幾乎對全部光學系統(tǒng)工程的實驗出發(fā)）幾乎對全部光學系統(tǒng)工程的實驗都是可以完全勝任的。都是可以完全勝任的。 光振動是光振動是。振動周期一般為。振動周期一般為 10 - 15 秒，秒，現(xiàn)有的光探測器最快的時間分辨率為現(xiàn)有的光探測

2、器最快的時間分辨率為 10-12 秒。秒。 光輻射光輻射 通常是由一段段有限長通常是由一段段有限長(約為約為 109 秒秒)的的組成的，每一段波列的振幅和頻率在組成的，每一段波列的振幅和頻率在內(nèi)保持不變或緩慢變化，前后波列間沒有固定的相內(nèi)保持不變或緩慢變化，前后波列間沒有固定的相位關(guān)系。位關(guān)系。光輻射是光輻射是：熱輻射，受激輻射。：熱輻射，受激輻射。 現(xiàn)有現(xiàn)有只能探測光的平均功率，不可能只能探測光的平均功率，不可能檢測出光場隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。檢測出光場隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。 嚴格的單色光分成兩束后，在空間相遇，那么這嚴格的單色光分成兩束后，在空間相遇，那么這兩束光的漲落是一致的，或者說是兩

3、束光的漲落是一致的，或者說是的，可形成的，可形成穩(wěn)定的干涉場，稱為穩(wěn)定的干涉場，稱為。0( )exp2ju tAejt(振幅為不隨時間變化的常量，而相位隨時間作線性振幅為不隨時間變化的常量，而相位隨時間作線性變化變化)。光振蕩在時間分布上無限延續(xù)，空間上無限光振蕩在時間分布上無限延續(xù)，空間上無限延伸的，延伸的，光的迭加光的迭加。 令令 代表一個代表一個的電場或磁場一的電場或磁場一個個，u(p, t) 對應(yīng)的解析信號為對應(yīng)的解析信號為 2011(, )(, )jreu pu pxdsjr2( , )( , )jtu p tu pe 01x0Pr1Pds 對于任一非單色光束（來自不同原子、分子發(fā)對

4、于任一非單色光束（來自不同原子、分子發(fā)射的光束），射的光束），不能形成穩(wěn)定的干涉場，從平均效應(yīng)來，不能形成穩(wěn)定的干涉場，從平均效應(yīng)來看，沒有干涉效應(yīng)，觀察不到任何干涉現(xiàn)象。我們看，沒有干涉效應(yīng)，觀察不到任何干涉現(xiàn)象。我們稱它為稱它為的的，光束的迭加光束的迭加。 在非單色光源所產(chǎn)生的光場中，在非單色光源所產(chǎn)生的光場中， 場中某點的場中某點的基本上取決于基本上取決于光源的有效光源的有效頻譜寬度頻譜寬度 ，只有當，只有當測量時間測量時間比比 小得多時，小得多時，振幅才大體上保持不變。振幅才大體上保持不變。1設(shè)設(shè) u(p, t) 是非單色光，其解析信號為是非單色光，其解析信號為 (, )( )exp2

5、jtu p tA t ejt ( , )1 sgn,exp2dTTup tUpjt 0,sgn10,sgn00,sgn1 ， 而而 。相干時間大體上就是我們可以預言相干時間大體上就是我們可以預言光波在空間某一給定點相位的那段時間間隔光波在空間某一給定點相位的那段時間間隔。1同時根據(jù)惠更斯菲涅爾原理，可以導出描述非單同時根據(jù)惠更斯菲涅爾原理，可以導出描述非單色波傳播的基本關(guān)系式色波傳播的基本關(guān)系式20( , )2( , )jtTup tpedUT 2011(, )(, )jrTTeppxdsjrUU有有 10,(, )2TTdrup tdtcup txdscr對上式交換積分次序，然后對時間微商對

6、上式交換積分次序，然后對時間微商, 并令并令T, 就可以得到就可以得到 2000(, )2(, )jtTup tpedUT亦即亦即當當 T 時，考慮到時，考慮到 2(1002,(, )Tjt r cTpexup tdrdsjU 011(,(,)Tu p tr cup txdSj r所謂所謂就是帶寬就是帶寬 比中心頻率比中心頻率 小得多的光。小得多的光。2(110( ,)2,jt r cTu p t r cpedU 一個熱光源所發(fā)出并通過一個一個熱光源所發(fā)出并通過一個 x 軸方向檢偏器軸方向檢偏器的光，即為的光，即為 ，實函數(shù)，實函數(shù) ux (p, t) 代表代表在點在點 p 和時刻和時刻 t

7、觀察到的電場矢量的觀察到的電場矢量的 x 分量，稱為分量，稱為。 絕大部分光源絕大部分光源, 大量的原子或分子大量的原子或分子, 依靠熱、依靠熱、電或其他手段激發(fā)到高能態(tài)，然后電或其他手段激發(fā)到高能態(tài)，然后、躍遷到較低的能態(tài)，在這個過程中發(fā)光。這種躍遷到較低的能態(tài)，在這個過程中發(fā)光。這種由由稱為稱為，所發(fā)的，所發(fā)的光稱為光稱為。 由于熱輻射的原子數(shù)目通常是大量的，相互獨由于熱輻射的原子數(shù)目通常是大量的，相互獨立的立的, 所以具有所以具有 的熱光源波形的熱光源波形 t 可以可以看成是看成是貢獻之和：貢獻之和： 根據(jù)根據(jù)中心極限定理中心極限定理可以得出結(jié)論：一個偏振可以得出結(jié)論：一個偏振熱光光源的

8、熱光光源的 ux (p, t) 是一個高斯隨機過程。是一個高斯隨機過程。( , )( , )xixup tup t一切原子( , )( , )xixAp tAp t一切原子2( , )( , )jtxxAp tup t eAx(p, t) 為為 U(p, t) 的的復包絡(luò)復包絡(luò)(或稱或稱復振幅復振幅)：1( , )iNjxixiAp tA e ux(p,t) 的解析信號為的解析信號為2( , )( , )jtxxup tAp t e ui(p, t) 和和 Ai(p, t) 分別是分別是第第 i 個基元個基元輻射體貢獻輻射體貢獻的波動分量的的波動分量的解析信號表示解析信號表示和和復包絡(luò)表示復包

9、絡(luò)表示。1( , )( , )Nxixiup tup t 在一個特定點在一個特定點 p 和時刻和時刻 t 上，上， ux (p , t) 的復包絡(luò)的復包絡(luò)Ax (p , t) ，是由大量獨立的，是由大量獨立的構(gòu)成的。構(gòu)成的。 Ax (p , t) 的相位模型看成是統(tǒng)計獨立的并且在的相位模型看成是統(tǒng)計獨立的并且在 ( -， ) 上均勻分布。上均勻分布。1cosNiiiRA1sinNiiiIA 令令的實部的實部和虛部分別為和虛部分別為 R 和和 I , 則則,xAp t 當當 N 時，時， R、I 分別趨向高斯分布，其形式分別趨向高斯分布，其形式由由和和唯一確定。唯一確定。 11coscos0NN

10、iiiiiiE RE AE A E 11sinsin0NNiiiiiiE IE AE A E2221111sinsin2NNNIijijiijiE IE A AE A2221111coscos2NNNRijijiijiE RE A AE A11cossin0NNRIijijijCE RIE A A Ax (p, t )的實部和虛部是獨立的、的實部和虛部是獨立的、 分布完全一分布完全一樣的零均值樣的零均值。于是。于是 具有具有的性質(zhì)。的性質(zhì)。22221( , )exp22RIripr i2222112NRIiiE A其中其中 由于由于 E(R) = E( I) = CRI = 0，因此，因此 u

11、x(p, t) 和和Ax (p, t) 都是都是。利用變換利用變換22iraritg12222( , )(cos ,sin )exp220aRIpaa praiaari 其它cossinsincosrraaJaiiaa得行列式得行列式222exp0( )( , )200Aaaaap apada 010( )( , )20aappada 其它求邊緣分布求邊緣分布: 由于偏振熱光的由于偏振熱光的是是模的模的平方，即有關(guān)系：平方，即有關(guān)系：22),(),(),(tpAtputpIxxx 221( )( )21exp0220IAAdApIpapadIIII其它即瞬時光強服從即瞬時光強服從。2( )2I

12、E II 瞬時光強瞬時光強有一個重要性質(zhì)有一個重要性質(zhì): 等于等于，也，也等于等于 ，即：，即：因此瞬時光強的分布還可以寫為：因此瞬時光強的分布還可以寫為： 1exp00IIIpIII其它偏振熱光偏振熱光服從服從偏振熱光的瞬時強度的概率密度函數(shù)偏振熱光的瞬時強度的概率密度函數(shù) IIpII I。 光的任何兩個相互垂直的分量光的任何兩個相互垂直的分量 ux(p, t) 和和 uy(p, t) 都具有下述性質(zhì)：都具有下述性質(zhì)： 對于一切相對時間延遲它們都不相關(guān)，兩個對于一切相對時間延遲它們都不相關(guān)，兩個過程是統(tǒng)計獨立的。過程是統(tǒng)計獨立的。 ux(p, t) u*y(p, t) 恒等于零。恒等于零。

13、和和 都是都是圓型復數(shù)高斯隨機過程圓型復數(shù)高斯隨機過程。光波的瞬時強度：光波的瞬時強度：22),(),(),(tputputpIyx22( , )( , )xyAp tAp t( , )( , )xyIp tIp t光波的瞬時解析表述：光波的瞬時解析表述：,xyu p tup t iup t j2( , )( , )jtxxup tAp t e2( , )( , )jtyyup tAp t e22expxxIxIpIII22expyyIyIpIII1( , )( , )( , )2xyE Ip tE Ip tI p t非偏振熱光非偏振熱光的的0( )xyIIIxIxxp IpIpIIdI022

14、22expexpIyxxIIdIIIII222exp00IIIII其它非偏振熱光非偏振熱光的的曲線曲線 IIpII I 任一任一的瞬時光強，總可以分成兩的瞬時光強，總可以分成兩個互不相關(guān)的偏振分量的強度之和。個互不相關(guān)的偏振分量的強度之和。12( , )( , )( , )I p tIp tIp t兩分量的平均強度為：兩分量的平均強度為：1112IIP2112IIP121210IIII線偏振光自然光P定義：定義： 為光的偏振度為光的偏振度P和和的一階的一階和和 111111212expexp11IIIpIIIII = PP222222212expexp11IIIpIIIII -= PP1111

15、( )1112IMIjIjP2211( )1112IMIjIjP 由于由于 和和 互相獨立，它們和的特征函互相獨立，它們和的特征函數(shù)可表示為兩特征函數(shù)的積數(shù)可表示為兩特征函數(shù)的積121211( )( )( )11IIIMMMjIjI 對對 作作得得 122expexp11IIIpIIIIPPP 1212111122IIjjPPPPPPP瞬時強度的標準偏差瞬時強度的標準偏差： 22202dIjMd 22222222113122IIIIIIPP2112IIP 22332111342IIPPPP 激光是由大量原子或分子激光是由大量原子或分子 (激活媒質(zhì)激活媒質(zhì)) 一致地作一致地作受激輻射而產(chǎn)生的，它

16、的受激輻射而產(chǎn)生的，它的決定于它的決定于它的。 激光器首先是一個受噪聲驅(qū)動的激光器首先是一個受噪聲驅(qū)動的器件，器件，鑒于激光器的多樣性，即使是同一激光器，工作鑒于激光器的多樣性，即使是同一激光器，工作在在，其性能也有很大不同，因此，對于，其性能也有很大不同，因此，對于激光器產(chǎn)生輻射的討論，沒有統(tǒng)一的模型。激光器產(chǎn)生輻射的討論，沒有統(tǒng)一的模型。 tStu02cos)( 假設(shè)激光為純粹的線偏振單色光，光場的實值假設(shè)激光為純粹的線偏振單色光，光場的實值表示為：表示為： 由于由于知道這個振蕩的知道這個振蕩的，所以把，所以把 看做是一個均勻分布在看做是一個均勻分布在 (，) 上的隨機變量。上的隨機變量。

17、因此因此 u(t) 是一個是一個、隨機過程。由隨機過程。由于平穩(wěn)過程的統(tǒng)計性質(zhì)不隨時間變化，于平穩(wěn)過程的統(tǒng)計性質(zhì)不隨時間變化，。1200Eexpcosexpcos1expcosUMjSjSdjSdJS 2210UuSPuSu其它則，根據(jù)特征函數(shù)的定義，可得單模激光的概率密則，根據(jù)特征函數(shù)的定義，可得單模激光的概率密度函數(shù)：度函數(shù)： co ssinutSdSd t = 0令， 則，22ex1pSUSMjSd 2220exp2Iu tSjtS 2IpIIS 0( )cos 2u tStt 0( )2ttt令：令：定義定義： 00( )11( )22iRddtttdtdtt 1( )2Rdttdt其

18、中其中 2( )tRtd假如，假如，( )Rt具有零均值，并為平穩(wěn)漲落，則有具有零均值，并為平穩(wěn)漲落，則有在時間（在時間（t, t +) 內(nèi)，內(nèi)，（） 2122211212221221212124( )224(,)()(RRRD t tttErectdttttttrectrectEd dttttttE 2124( , )ttd d 208(1)d21tt這里這里 2120( , )8tdkD t 208kd這里這里相位增量的均方值正比于相位增量的均方值正比于。這是這是粒子布朗運動和粒子布朗運動和過程的特征。過程的特征。由于相位仍然由于相位仍然均勻分布在（均勻分布在（-，+）上，）上，的的統(tǒng)計分

19、布仍然統(tǒng)計分布仍然 如如的一樣。的一樣。 1( )2Rdttdt如果時間延遲如果時間延遲 的相關(guān)的相關(guān)時間，則結(jié)構(gòu)函數(shù)變成：時間，則結(jié)構(gòu)函數(shù)變成：( )Rt 0( )cos 2( )nu tStu tt寫為解析信號寫為解析信號0022( )jtjtnu tSeA e其中其中 njtjnnSSeAA e 這里這里 S 和和0 是已知數(shù)。是已知數(shù)。 是擴散型時變隨機相是擴散型時變隨機相位，位， un(t) 是一個是一個強平穩(wěn)噪聲隨機過程強平穩(wěn)噪聲隨機過程。 噪聲項的強度隨著激光器工作區(qū)在閾值上越來噪聲項的強度隨著激光器工作區(qū)在閾值上越來越遠而趨于零。越遠而趨于零。 t該模型該模型代表代表。 22*

20、2RennISASS A為為。un (t) 代表小量的殘余自發(fā)輻射，代表小量的殘余自發(fā)輻射， un (t) 服從高斯分布，其平均值為零，標準偏差服從高斯分布，其平均值為零，標準偏差S ( ) 。的強度，可以理解為一個很強的大小恒的強度，可以理解為一個很強的大小恒定而位相隨機分布的定而位相隨機分布的 與一個很弱的與一個很弱的 An ( un的復包絡(luò)的復包絡(luò)) 求和的問題，即求和的問題，即*22cosrennnnIRS ASAA XAn是是的振幅，服從的振幅，服從分布，分布，2 cosnXS服從以下分布服從以下分布221( ),24XpxxSSx222()exp,02nnnAnnAApAA ， S

21、 是常數(shù)，是常數(shù)， 獨立無獨立無關(guān)，關(guān)， 是均勻分布在是均勻分布在 ( ,) 上的隨機變量上的隨機變量。,njjnnSseAA e,n ,n 令令An與與 X 是獨立的，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為兩者之積是獨立的，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為兩者之積現(xiàn)在是求現(xiàn)在是求 I r = An X 乘積的概率密度函數(shù)乘積的概率密度函數(shù)222222011()exp24rnnIrnnrnAApIdAASIA2224nrS AI令令則有則有,( )nnA XnAnXpA xpApx22222222220411exp284nrnnrdS AIASS AI21 222222201()expexp888rrIrIpIdSSS1

22、22222022e1()exp22221exp2222xprrIrrIpSSSdISI228S令令則有則有 22*2RensIE IESES ASI可見可見 Ir 服從服從均值為均值為；方差為方差為 的高斯的高斯分布。所以分布。所以222S21( )exp44SInSnSIIp II II I22,EnSnISIA式中222*22222222EE2Re4Ecosco4E4E2s12InnnnnnnSIIS ASASASAIEI 因此，因此，近似服從下述近似服從下述。當。當 時時nSII 激光器光強概率密度函數(shù)激光器光強概率密度函數(shù) pI( I) 的解析解是的解析解是 求解求解 方程得出的，適用

23、于激光器工作在高方程得出的，適用于激光器工作在高于于, 等于和低于閾值的等于和低于閾值的情形，情形， 20021exp0( )100IIwIpIIerf wII 202expwerf wxdxerfwerf w - w-工作參量，隨激光器工作在不同的區(qū)域而異，工作參量，隨激光器工作在不同的區(qū)域而異， erf(w)是一個標準誤差函數(shù)，是一個標準誤差函數(shù)，I0 是閾值時的平均強度，是閾值時的平均強度， 201weIIwerf w相對于閾值時的平均強度而言，激光器輸出的平均相對于閾值時的平均強度而言，激光器輸出的平均強度為強度為（1）激光器工作在）激光器工作在， w 0 ， PI( I) 的形狀為高

24、斯密度函數(shù)，即的形狀為高斯密度函數(shù)，即20001exp0( )0IIIIp III其它w單模激光器光強概率密度函數(shù)的單模激光器光強概率密度函數(shù)的解析解解析解 假定激光器工作在遠遠高于閾值處，其穩(wěn)態(tài)輸假定激光器工作在遠遠高于閾值處，其穩(wěn)態(tài)輸出為出為 1( )cos 2Niiiiu tStt式中式中 N 為模式總數(shù)，為模式總數(shù)， 和和為第為第 i 個模式的個模式的和和， 為這個模式的隨時間漲落的為這個模式的隨時間漲落的。 假定各個模式假定各個模式，則，則光矢量的光矢量的為為0( )E expcos1expcos2iUiiiiiiMj SjJSSd0iJS是第一類零階貝塞爾函數(shù)。是第一類零階貝塞爾函

25、數(shù)。于是于是為為01NUiiMJS 若一切模式都有相等的振幅若一切模式都有相等的振幅iSIN0NUMJIN 為了獲得為了獲得的概率密度函數(shù)，必須將特征的概率密度函數(shù)，必須將特征函數(shù)作付里葉逆變換。函數(shù)作付里葉逆變換。 2212012UuIpIuIuK其它式中式中 K( ) 是第一類完全橢圓積分。是第一類完全橢圓積分。：對于：對于相等強度的相等強度的，求出的，求出的如下：如下： 求求的的與求場矢量的概與求場矢量的概率密度函數(shù)相比率密度函數(shù)相比首先研究首先研究的的情況，它們的強度分別情況，它們的強度分別為為 和 。12(1) cos12(1)cosIkIk Ikk IIkk 21212ttt 式中式中 由由可得可得為為 12tt01( )exp121cos2exp21IMj Ikkdj I JIkk作傅里葉逆變換即可求得作傅里葉逆變換即可求得為為221( )21Ip IIkkII121121IkkIkkI 由于由于2 和和1 均勻分布且統(tǒng)計獨立，考慮到均勻分布且統(tǒng)計獨立，考慮到 是是余弦函數(shù)的宗量，余弦函數(shù)的宗量， 在在 (-,) 上是均勻分布。因此上