《二重積分的定義》

1、整理課件1定積分中會求平行截面面積為已知的定積分中會求平行截面面積為已知的 一般立體的體積如何求一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始先從曲頂柱體的體積開始. .而曲頂柱體的體積的計算問題而曲頂柱體的體積的計算問題, ,一般立體的體積可分成一些比較簡單的一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想回想立體的體積、立體的體積、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積. .曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積. .二重積分的一個模型二重積分的一個模型. .可作為可作為第九章第九章 重積分重積分第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)整理課件2),(yxfz 曲頂柱體體積曲頂柱體體積 =特點特點1. 曲頂柱

2、體的體積曲頂柱體的體積D困難困難曲頂柱體曲頂柱體0),( yxf),(yxfz 以以xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D為底為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面軸的柱面,側(cè)面以側(cè)面以頂是曲面頂是曲面且在且在D上連續(xù)上連續(xù)).oyxz曲頂曲頂頂是曲的頂是曲的整理課件3柱體體積柱體體積 = 特點特點分析分析曲邊梯形面積是如何求曲邊梯形面積是如何求以直代曲、以直代曲、如何創(chuàng)造條件使如何創(chuàng)造條件使 解決問題的思路、步驟與解決問題的思路、步驟與回憶回憶思想是思想是分割、分割、平頂平頂平平曲曲這對矛盾互相轉(zhuǎn)化這對矛盾互相轉(zhuǎn)化與與以不變代變以不變代變. .曲邊梯形面積曲邊梯

3、形面積的求法類似的求法類似取近似、取近似、 求和、求和、 取極限取極限. . 底面積底面積高高整理課件4步驟如下步驟如下用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和和D),(yxfz 先任意分割曲頂柱體的底，先任意分割曲頂柱體的底， V曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域并任取小區(qū)域，近似表示近似表示曲頂柱體的體積，曲頂柱體的體積，iiniif ),(10lim xzyO),(ii ),(iif i 整理課件5(1) 分割分割相應(yīng)地此曲頂相應(yīng)地此曲頂柱體分為柱體分為n個小曲頂柱體個小曲頂柱體.(2) 取近似取近似iii ),(第第i個小曲頂柱體的體積的近似式個小曲頂柱體的體積的近似式

4、 iVn ,21(用用 表示第表示第i個子域的面積個子域的面積) .i 將域?qū)⒂駾 任意分為任意分為n個子域個子域在每個子域內(nèi)任取一點在每個子域內(nèi)任取一點ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(整理課件6(3) 求和求和 即得曲頂柱體體積的近似值即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限取極限)趨于零趨于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求求n個小平頂柱體體積之和個小平頂柱體體積之和令令n個子域的直徑中的最大值個子域的直徑中的最大值(記作記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積上述和式的極限即為曲頂柱體體積整理課件72. 非均勻平面薄片的質(zhì)量非均勻

5、平面薄片的質(zhì)量(1) 將薄片分割成將薄片分割成n個小塊，個小塊，看作均勻薄片看作均勻薄片. iM(2) M(3) M(4)近似近似 任取小塊任取小塊 i 設(shè)有一平面薄片設(shè)有一平面薄片,),(yx Dyx在在假假定定),( 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim xyO),(ii i 占有占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D,在點在點(x, y)處的面密度為處的面密度為上連續(xù)上連續(xù),整理課件8二重積分的定義二重積分的定義),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) I , 使

6、nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理課件9DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理課

7、件10 2. 在直角坐標系下用在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域劃分區(qū)域D, , Dyxf d),(二重積分可寫為二重積分可寫為注注定積分中定積分中1. 重積分與定積分的區(qū)別重積分與定積分的區(qū)別: :重積分中重積分中, 0d xd可正可負可正可負. .yxdd Dyxf),(則面積元素為則面積元素為Oxy.ddxdy整理課件11 二重積分的存在定理二重積分的存在定理 設(shè)設(shè) f (x, y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) Dyxf d),(存在存在.連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)一定可積注注今后的討論中今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的積分區(qū)域內(nèi)總

8、是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時或是分片連續(xù)函數(shù)時, 則則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的整理課件12(2)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義(3) (1)在在D上的二重積分就等于上的二重積分就等于二重積分是二重積分是二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負的而在其它的部分區(qū)域上是負的. 這些部分區(qū)域上的這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和柱體體積的代數(shù)和.那末那末,),(yxf,0),(時時當當 yxf,0),(時時當當 yxf柱體體積的負值柱體體積的負值; ;柱體體積柱體體積; ;在在D上的若干部分區(qū)域上是正的上的若干部分區(qū)域上是正的,),(yxf當當整理課件13例例 設(shè)設(shè)D為圓

9、域為圓域222Ryx 二重積分二重積分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述積分等于上述積分等于 DyxR d222332R 由二重積分的幾何意義可知，由二重積分的幾何意義可知，是上半球面是上半球面上半球體的體積：上半球體的體積：RyxzOD整理課件14性質(zhì)性質(zhì)1為常數(shù)為常數(shù), ,則則( (二重積分與定積分有類似的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì)) )二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) Dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) DDyxgyxf d),(d),(根據(jù)二重積分的幾何意義根據(jù)二重積分的幾何意義, ,確定積分值確定積分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 為為其中其中ba

10、2 332a 整理課件15以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)2 將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),(性質(zhì)性質(zhì)3 若若 為為D的面積的面積)(21DDD D1D2 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. 對積分區(qū)域的可加性質(zhì)對積分區(qū)域的可加性質(zhì).D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積.yxOD1與與D2除分界線除分界線外無公共點外無公共點.整理課件16 Dyxf d),(特殊地特殊地性質(zhì)性質(zhì)4 (比較性質(zhì)比較性質(zhì)),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè) ,),(Dyx 則則 Dyxg d),(

11、Dyxf d),( Dyxf d),( 例例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值的值= ( ).(A) 為正為正(B) 為負為負(C) 等于等于0(D) 不能確定不能確定為負為負B整理課件17 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以M為高的兩個為高的兩個證證 D d再用性質(zhì)再用性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)3, 性質(zhì)性質(zhì)5 (估值性質(zhì)估值性質(zhì))則則,),(Myxfm 設(shè)設(shè)為為D的面積的面積,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱體則曲頂柱體的體積介于以的體積介于以D為底為底,平頂柱體體積之間平頂柱體體積之間.證畢證畢. D d D d整理課件

12、18性質(zhì)性質(zhì)6 (二重積分中值定理二重積分中值定理),( Dyxf d),(體積等于體積等于),( f以以 顯然顯然 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義證證在在閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)),(yxfD上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱體則曲頂柱體以以D為底為底 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)將性質(zhì)5中不等式各除以中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0 , 有有整理課件19 DMyxfm d),(1的最大值的最大值M與最小值與最小值m之間的之間的. Dyxf d),(1由閉區(qū)

13、域上連續(xù)函數(shù)的介值定理由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理. Dyxf d),(1兩端各乘以兩端各乘以 ),( 點的值點的值證畢證畢.即是說即是說,確定的數(shù)值確定的數(shù)值是介于函數(shù)是介于函數(shù)),(yxf在在D上至少存在一點上至少存在一點使得函數(shù)在該使得函數(shù)在該),( f 與這個確定的數(shù)值相等與這個確定的數(shù)值相等,即即, 整理課件20 以任意方式將區(qū)域以任意方式將區(qū)域 D分割成分割成二重積分的幾何背景二重積分的幾何背景曲頂柱體的母線平行于曲頂柱體的母線平行于Oz 軸，軸，下底是下底是xOy平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D,上頂是曲面上頂是曲面 S : z = f(x,y) .其中其中 f(x,y) 0 .求這

14、個曲頂柱體的體積。求這個曲頂柱體的體積。解解nDDD ,21n ,21表示它們的面積。表示它們的面積。任取一個小區(qū)域任取一個小區(qū)域 Di ，將以將以 Di 為底，曲面為底，曲面S為頂?shù)那斨w為頂?shù)那斨w于是整個曲頂柱體就被分成若干小的曲頂柱體。于是整個曲頂柱體就被分成若干小的曲頂柱體。并且在并且在 Di內(nèi)內(nèi)任取一點任取一點 Pi ， 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動若干小區(qū)域若干小區(qū)域地看作是以地看作是以 Di 為底，高度等于為底，高度等于 f(Pi) 柱體。柱體。整理課件21因此這個小柱體的體積近似地等于因此這個小柱體的體積近似地等于iiiPfV )(各個小柱體的體積之和各個小柱體的體積之和

15、 )(iPfV)(iDd 表示表示 Di的直徑的直徑(i=1,2,n)時時當當0)(max iDd如果這個和式存在極限如果這個和式存在極限: )(limiPf那么這個極限值就是曲頂柱體的體積。那么這個極限值就是曲頂柱體的體積。這個方法的意義不僅在于求曲頂柱體的體積。這個方法的意義不僅在于求曲頂柱體的體積。而是給出了求連續(xù)變量之和的一種普遍的方法。而是給出了求連續(xù)變量之和的一種普遍的方法。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動就是整個柱體體積的近似值：就是整個柱體體積的近似值：整理課件22 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動n ,21二重積分背景之二：質(zhì)量非均勻分布的薄板的質(zhì)量。二重積分背景之二：質(zhì)量非均勻分布的薄板的質(zhì)量。設(shè)設(shè)xOy平面上有一塊薄板平面上有一塊薄板,用用 D表示薄板所占據(jù)的平面區(qū)域表示薄板所占據(jù)的平面區(qū)域 .假設(shè)薄板上任一點假設(shè)薄板上任一點(x,y)處處方法：方法：以任意方式將區(qū)域以任意方式將區(qū)域 D分割成若干小區(qū)域分割成若干小區(qū)域nDDD ,21它們的面積表示為它們的面積表示為任取一個小區(qū)域任取一個小區(qū)域 Di ，并且在并且在 Di內(nèi)內(nèi)任取一點任取一點 Pi ， Di的平均質(zhì)量密度近似的等于的平均質(zhì)量密度近似的等于 m(Pi) .于是可以將