高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)

1、僅供個(gè)人參考高等數(shù)學(xué)上冊(cè)重要知識(shí)點(diǎn)第一章函數(shù)與極限一.函數(shù)的概念1兩個(gè)無窮小的比較For pers onal use only in study and research; not for commercial use設(shè) lim f(x) =0,lim g(x) =0 且 |jm f(x)=|g(x)(1) l = 0,稱f (x)是比g(x)高階的無窮小，記以f (x) = 0g(x)，稱g(x)是比f(x) 低階的無窮小。(2) l工0, 稱f (x)與g(x)是同階無窮小。(3) I = 1,稱f (x)與g(x)是等價(jià)無窮小，記以f (x) g(x)2常見的等價(jià)無窮小當(dāng)x 0時(shí)sin

2、x x, tan x x, arcsinx x, arccosx x1- cos x xA2/2 , ex-1 x , ln(1 x) x , (1 x)： -1 jx二求極限的方法1 兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則2.(夾逼定理)設(shè)g(x) <f (x) <h(x)放縮求極限若 lim g(x)二 A, lim h(x) = A，則 lim f (x)二 A2兩個(gè)重要公式公式1lim沁=1xT x公式 2lim (1 x)"x =exT3用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換4.用泰勒公式當(dāng)x > 0時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無窮小更深層次23nex= 1

3、 xxx蘭o(xn)2!3!n!352n 1sin x=x-x x (_1)n xo(x2n1)3!5!(2n +1)!242n XX/八n X/ 2n、COSX =1.( 一1)o(x )2!4!2n!23nln(1 x) =x -.(-1)n 1 丄 o(xn)2 3n一 、-,:C： -1) 2：-1).(二一(n -1) n , n、(1 x) '=1 Wxx .x o(x )2!n!3 52n 1.X Xn 卑 X2n 嘰arctan x = x. - (一1)o(x )3 52n +15 洛必達(dá)法則定理1 設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿足下列條件：(1) lim f(x) =0

4、 , lim F(x)二 0 ；Xo0則im Vim f (X)x % F(x) x 氏 F (x)(2) f(x)與F(x)在x。的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 F(x) = 0 ；(3) lim丄血存在(或?yàn)闊o窮大)， f F (x)這個(gè)定理說明：當(dāng)lim丄兇 存在時(shí)，lim上兇 也存在且等于lim丄也；當(dāng) F F (x)I刈 F(x)F F H(x)lim 口衛(wèi)為無窮大時(shí)，lim衛(wèi)衛(wèi)也是無窮大.X 為 F (x)X 為 F(x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)(LH ospitaI)法則.例1計(jì)算極限linmXe -1不得用于商業(yè)用途解該極限屬于

5、“ ”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得例2計(jì)算極限lim竺坐XT sin bx解該極限屬于“-”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0sin ax a cos ax alimlimx0 sinbx xTbcosbx b注 若f(x),g(x)仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即f(x)rf(X)rf(x)limlimlim一 g(x)rg (x)X_ag(X)二、一型未定式QO定理2設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿足下列條件:(1) lim f(x) = ：:, lim F (x)二：；xSX)X0(2) f(x)與F(x)在xo的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 F(x) = O ;(3) lim丄也存在

6、(或?yàn)闊o窮大),|則“ f(x) lim(x)_o f (x)lim = lim F (x丿x與°F(x) jKx)注：上述關(guān)于x Xo時(shí)未定式一型的洛必達(dá)法則，對(duì)于Xr '時(shí)未定式一型QOQ0同樣適用.n例3計(jì)算極限lim xx (n 0).解 所求問題是二型未定式，連續(xù)n次施行洛必達(dá)法則，有0nn 1n _2xnx 一n(n -1)x 一lim 云=lim xlimxx_：.：exexx_"ex使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：(1) 洛必達(dá)法則只能適用于“ 0 ”和“二”型的未定式，其它的未定式須0O0先化簡變形成“ 0 ”或“二”型才能運(yùn)用該法則；0O0(2

7、) 只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；(3) 洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要.因此，在該法則失效時(shí)并不 能斷定原極限不存在.7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式lm f (x° + ；一 f (x0) = f '(X。)(如果存在)8.利用定積分定義求極限1f (x)dx0(如果存在)1 n k基本格式lim 一'二f (-)=nYn 心n三.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：(1) 第一類間斷點(diǎn)設(shè)x°是函數(shù)y = f (x)的間斷點(diǎn)。如果f (x)在間斷點(diǎn)x°處的左、右極限都存在,則稱x°是f (x)的第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)

8、包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。常見的第二類間斷點(diǎn)有無(2) 第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn) 窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f (x)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都 要用至V。定理1.(有界定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f (x)必在a,b上有界。定理2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個(gè) 區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c,在a,b上至少存在

9、一個(gè)E，使得 f ( E ) = c推論：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a)與f (b)異號(hào)，則在(a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)E ，使得f (E) = 0這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分1. 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = f (u)，u =? (x)，如果？(x)在x處可導(dǎo)，f (u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合 函數(shù)y = f ? ( x)在x處可導(dǎo)，且有 色=巴巴二f'( (x) '(x)dx du dx對(duì)應(yīng)地dy二f'(u)du二f'( (x) '(x)dx，由于公式dy二f'(u)du不管u是自變量或中間變量都成立。因此稱

10、為一階微分形式不變性。2. 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)x =?(t)，y = :(t)確定函數(shù)y = y( x)，其中'(t), '(t)存在，且 '(t)豐0,則 dy '(t)dx 一 (t)二階導(dǎo)數(shù)d2ydx2d呼dxd哼dxdxdtdt _ ''(t) '(t) 一 '(t) ''(t) dx 一:'(t)A33. 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f (x)的反函數(shù)x = g(y)，兩者皆可導(dǎo)，且f ' (x)工0則 g'(y)1f'(x)1f'(g(y)4隱函數(shù)運(yùn)算法則

11、(可以按照復(fù)合函數(shù)理解)設(shè)y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所確定，求y'的方法如下：把F(x, y) = 0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出y 的表達(dá)式(允許出現(xiàn)y變量)5對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則(指數(shù)類型如甘xsinx)先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù)y'對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于：幕指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)(注意定義域P106例6)關(guān)于幕指函數(shù)y = f (x) g (x)常用的一種方法,y = eg(x)ln f(x)這樣就可以直接用 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6可微與可導(dǎo)的關(guān)系f (x)在x0處可微？ f (x)在

12、x0處可導(dǎo)。7求n階導(dǎo)數(shù)(n >2,正整數(shù))先求出y' , y'',，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n),最后用歸納法證明。有 一些常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式(1) Wex(2) y = ax,y(n) = ax(ln a)n(3) y = sin x , y(n) = sin( x )2n兀(4) y = cosx, y(n) = cos(x )2(5) y = ln x, y(n) =(_1)nJL(n 一 1)!x兩個(gè)吸數(shù)乘積的h階導(dǎo)ii何Jfe布尼茲公Ab心)二工c：嚴(yán)(訃中匕)1=0苴中=創(chuàng)(二"， w(OI(r) = w) 1畀店)二心)假設(shè)譏

13、x)和v(Q都是川階可導(dǎo)。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一羅爾定理設(shè)函數(shù)f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f (a) = f (b) 則存在E (a,b)，使得f ' ( E ) =0二 拉格朗日中值定理(證明不等式 P134 9、10) 設(shè)函數(shù)f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 則存在 E (a,b)，使得 f(b)- f(a)= 口)b a推論1 若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f ' (x) = 0,則f (x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2 若f (x) , g(x)在(a,b)內(nèi)皆

14、可導(dǎo)，且 f ' (x) = g' (x)，則在(a,b) 內(nèi)f (x) = g(x)+ c，其中c為一個(gè)常數(shù)。三柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g' (x)工0則存在E ( a,b)使得f一 f(a)二匚 (ab)g(b)-g(a) g'(-)(注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g( x) = x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。) 四泰勒公式( 估值求極限(麥克勞林)P145 T10 ) 定理1.(皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f (x)在0 x處有n階導(dǎo)數(shù)，則有

15、公式其中詢=0佔(zhàn)訪稱為皮亞諾余項(xiàng)對(duì)常用的初等函數(shù)如ex,sin x,cos x,ln( 1 + x)和(1 x)' = ( a為實(shí)常數(shù))等的n階泰勒公式都要熟記。定理2 (拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f (x)在包含0 x的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)x/國三埠"丘-斗)舉("斗r +a+農(nóng)何 a,b，有公式，£ t FT+1 1/英中一礦1+1*,稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開式稱為以0 x為中心的n階泰勒公式。當(dāng)Xo=0時(shí)，也稱為n階麥克勞林 公式。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一基本知識(shí)設(shè)函數(shù)f(X)在Xo處可導(dǎo)，且Xo為f(X)的一個(gè)極值

16、點(diǎn)，貝U f'(Xo)=O。我們稱X滿足f'(Xo)=O的Xo稱為f(X)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)， 反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。極值點(diǎn)判斷方法 第一充分條件f (x)在Xo的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(Xo) = o，則若當(dāng)X ”： Xo時(shí)，f(X) O，當(dāng)XX)時(shí)，f (x) ： O，貝y Xo為極大值點(diǎn)；若當(dāng) X ”： Xo時(shí)，f(X)： O，當(dāng)X xo時(shí)，f (x)O，則xo為極小值點(diǎn)；若在xo的兩側(cè)f (x)不變號(hào)，則Xo 不是極值點(diǎn) 第二充分條件f(X)在 X 處二階可導(dǎo)，且 f (x°) = o , f (Xo

17、) =O，則若 f (Xo) O，則xo為極大值點(diǎn)；若f (xo) O，則Xo為極小值點(diǎn).二凹凸性與拐點(diǎn)1. 凹凸的定義設(shè)f (X)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)1 2 X , X，恒有Xx 4- X22則稱f(X)在I上是凸(凹)的。在幾何上，曲線y = f (x)上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下(上)面，則 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲線y = f (x)有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上(下) 則y = f (x)是凸(凹)的。2拐點(diǎn)的定義 曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。3凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f''(x)，如

18、果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,恒有f''(x) > 0,貝U曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的;如果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,恒有f''(x)< 0,則曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的。求曲線y = f (x)的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f''(x)；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)捲公2,.風(fēng);第三步：對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)不同，該 點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。四漸近線的求法K垂直漸近線若 11 巴 /(x) = s 或 1誕 y(x)=o

19、oXT*XT" 一則X = Xjltll線fh)的一條垂3漸近線2水平漸近線若= 或 litu /(x) = &則y = fe *曲線y = /(x)的一條水平漸近線3.斜漸近線若 lim 人“)=a 01 lim f(x)ax = bJyjtTY或 liin=門 護(hù) 0 t lim /(x)= b則y-ax + b是曲線y = f(x)的-條斜漸近線五曲率設(shè)曲線y = /(x) t它在點(diǎn)M(x,y)處的曲率k=,若kOt 則稱R = j點(diǎn)M(xj)處"(/)平斤的曲率半徑*在M點(diǎn)的法線上，凹向這邊取點(diǎn)6 使阿| =疋，則稱Q為曲率中心，級(jí)。為圓心，疋為半 録的圓周

20、稱為lill率閩L第四章不定積分一基本積分表:Jtgxdx = -In cosx +CJctgxdx = ln sin x + CJsecxdx =ln secx+tgx +CJcscxdx = In cscx ctgx +Cdx = sec xdx = tgx C cos xdxcsc xdx = -ctgx C sin xsecx tgxdx 二 secx Cdx2 2a xdx2 2xadx2 2a -xdx1丄x小arctg C a aC4InS C2a a -xcscx ctgxdx - - cscx Cshxdx 二 chx Cchxdx = shx C- a2 - x2=arcs

21、 in? Cdx = In(x x2 二a2) Cx2_a2二 sinn xdx 二 cosn xdx 二 n 1 In n! 2 fVx2 +a2dx =x2 +a2 + In(x + Px2 十 a2) +C2 22aIn x2-a2dx = x x2a2-x2dx = x a2222d.；22. x-x-a -In x + Px -a +C2 22 a . x xarcs inC2 a二換元積分法和分部積分法換元積分法(1) 第一類換元法(湊微分)：.f(x) _(x)dx 二' f (u)dJ u(x)(2) 第二類換元法(變量代換)：.f(x)dx 二 ' f(t)-

22、(t)dtj_i(x) 分部積分法udv = uv - vdu使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰看作u(x)誰看作v'(x)有一定規(guī)律。記住口訣，反對(duì)幕指三為u(x)，靠前就為u(x)，例如.ex arcs in xdx，應(yīng)該是 arcsi nx為u(x)，因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他三有理函數(shù)積分 f(x)P(x)1 xf(x)二P(x)1 x2f(x)二P(x)(x a)(x b)f(x)P(x)(x a)2 b-、P(x)有理函數(shù)：f (x)-Q(x)其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式簡單有理函數(shù):拆”2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等)一概念與性質(zhì)定義:第五章

23、 定積分2、(1)bf (x)dx = lim ' f( j)務(wù) a>0 i=i(10 條)性質(zhì)：£ f(x)dx = -£ f(x Vxf(x)dx = 0(x)+ 心/； (x)0* =心Z (x"x + 爲(wèi)厶(3) ”*(4)(2)J f(xix = j / x Jx + f(x)dx ( c 也町以在 a.b 之外)(5)設(shè)a < b , /(x) < gCv) ( < x < 6),貝ljf(x)dx < gx)clx(6)設(shè)ov, m < /(x) < M (a<x<b)r 則n7(b

24、 a)<f (x)dx < M(b a)(7)設(shè)a<b,則(8) 定積分中值定理 設(shè)在d上連續(xù)，則存在孑丘肚乩使(f(X)dX = f(ab-a)定義：我們稱£ f(xdx為/&)在a3b h的枳分平均值(9) 奇偶函數(shù)的枳分性質(zhì)/(xVa =0 (/奇函數(shù))佇/(*加二2£ f(x k&( /偶函數(shù))(10) 周期函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)/&)以丁為周期，4為常數(shù)，則£+r/(x> = /(x>/x3基本定理x變上限積分：設(shè)門(X)二.f (t)dt ,則門(X)二f (x)推廣：ad *)(、f(t)dt 二 f(

25、x)(x) - f： (x)Y (x)dx (X)N L 公式：若F(x)為 f(X)的一個(gè)原函數(shù)，則bf (x)dx 二 F(b) - F(a)a4定積分的換元積分法和分部積分法不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考1.定積分的換元積分法設(shè)/&）在e"上連續(xù)，若變量替換：v =加）滿足（1） 0（在久 0（或/?,cr）上連續(xù)：(2 ) ©(a)二 a ,卩(0)= b ,且當(dāng) a <t < p 時(shí),則 f /&加=fW2.定積分的分部積分法設(shè)H'（“討（兀）在（7,6上連續(xù)，則J "(，店加= <心hx) - J "d

26、k加 或"(x)dHx) = "(;r)v(;r)|：-(才)第六章 定積分的應(yīng)用平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)：bAaf2(x) - fi(x)dx12 22、極坐標(biāo)：A = 2 I(二)體積1、旋轉(zhuǎn)體體積：a) 曲邊梯形y二f(x), x二a,x二b,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b 2體的體積：Vf (x)dxab) 曲邊梯形y二f (x), x二a, x二b, x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)僅供個(gè)人參考b(柱殼法)體的體積：Vy2%xf (x)dxab2、平行截面面積已知的立體：V二.A(x)dxa(三)弧長1、直角坐標(biāo)：S 二 a J f (x)l 2dx2、參數(shù)方程:S

27、= J (t)l 2(t)l 2dt極坐標(biāo)：T'C)2C)】2d，a *不得用于商業(yè)用途第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān) 系的方程階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的 階數(shù).2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二）變量可分離的方程g（y）dy 二 f （x）dx，兩邊積分g(y)dy = f (x)dx（三）齊次型方程dy （y） u y dxx，設(shè) x，則dx /X、或丁 = ®（）設(shè) v=_ 則： 或dyy，設(shè) y，則dydyduu x.dxdx=vdx 'dv y -dy（四）一階線性微分方程dx p（x）廠 q（x）用 常數(shù) 變 易 法 或廠 e"x)dx Q(x)eP(x)dxdx C（五）可降階的高階微分方程y（n） = f （x），兩邊積分n次;八f （x, yr）（不顯含有y）, 令 ydyy" =