大學(xué)物理第7章真空中的靜電場

1、第七章真空中的靜電場71在邊長為a的正方形的四角，依次放置點電荷q,2q,-4q和2q,它的幾何中心放置一個單位正電荷，求這個電荷受力的大小和方向。解：如圖可看出兩2q的電荷對單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為q (140(Ta)24)=-5q 2 ,方向由q指向-4q。2oa27-2如圖，均勻帶電細(xì)棒，長為 L,電荷線密度為入。（1） 求棒的延長線上任一點 P的場強(qiáng)；（2）求通過棒的端點與棒垂直上 任一點Q的場強(qiáng)。解：（1）如圖7 2圖a,在細(xì)棒上任取電荷元 dq,建立如圖坐標(biāo)，dq= d ,設(shè)棒的延長線上任一點P與坐標(biāo)原點0的距離為x,則dEdd224 o(x )4 o(

2、x )則整根細(xì)棒在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為L d,11c2(一4 0 0 (x )4 o x L xdqx0 x+dP習(xí)題72圖a方向沿軸正向。4 ox（x L）（2）如圖7 2圖b,設(shè)通過棒的端點與棒垂直上任一點Q與坐標(biāo)原點0的距離為ydEdx4 or2dEydx 2 cos4 °rdExdx 2 sin4°rm, dx ytg ,dxy2,rcosycos習(xí)題72圖b代入上式，則dEx0sin d00 y(1 cos 0)4 0yy2 l2方向沿x軸負(fù)向。EydEy 一40 cos d00ysin40yL0y. y2l273解：如圖,一細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分

3、布有電荷在半環(huán)上任取dl=Rd的線元，其上所帶的電荷為q,求半圓中心。處的場強(qiáng)。dq= Rd 。對稱分析Ey=0odExRd 2 sin0RdEx0Rsin020Rq2 2 0R2,如圖，方向沿x軸正向。7-4如圖線電荷密度為 入i的無限長均勻帶電直線與另一長度為1、線電荷密度為 江的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。解：在兀的帶電線上任取一 dq,入 1的帶電線是無限長，它在 dq處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度由高 斯定理容易得到為，i0x兩線間的相互作用力為F dF1 2dx 1 2 l dx20x 20ax1 2 In a一'，如圖，方向沿x軸正向。2 0 a7-5

4、兩個點電荷所帶電荷之和為 Q,問它們各帶電荷多少時，相互作用力最大？解：設(shè)其中一個電荷的帶電量是 q,另一個即為Q-q,若它們間的距離為r,它們間的 相互作用力為q(Q q)4 or2相互作用力最大的條件為dF Q 2qdq 4 or2由上式可得：Q=2q , q=Q/276 半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為（T ,求球心處電場強(qiáng)度的 大小。解：將半球殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為dq 2 rRdR2 sin ddq在。點產(chǎn)生的電場據(jù)（710)式為dEydq0R3 y RcosE dE2cosd4 0R3sin2sin d(sin )2 02。如圖，方向沿y軸負(fù)向。7-7 設(shè)勻強(qiáng)

5、電場的電場強(qiáng)度 E與半徑為R的半球面對稱軸平行，計算通過此半球面 電場強(qiáng)度的通量。解：如圖，設(shè)作一圓平面 Si蓋住半球面S2,成為閉合曲面高斯，對此高斯曲面電通量為0,習(xí)題77圖口 E dSSESidS E dS 0S2SidSE dSE R2Si習(xí)題7i8圖E dS EAAxEi- xi0S278 求半徑為R,帶電量為q的空心球面的電場強(qiáng)度分布。解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而它所產(chǎn)生的電場分布也具有球?qū)ΨQ性，與帶 電球面同心的球面上各點的場強(qiáng) E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分 別作與帶電球面同心的高斯球面 Si與S2。又Si與S2,應(yīng)用高斯定理，即先計算場強(qiáng)的通量,然后

6、得出場強(qiáng)的分布，分別為 2E dS E4 r20得E 內(nèi) 0(r<R)E dS E4 r2 S20E外q- ? (r>R)4 or79如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為p,求板內(nèi)外 的電場分布。解:帶電平板均勻帶電，在厚度為 d/2的平分街面上電場強(qiáng)度為零，取坐標(biāo)原點在此街 面上，建立如圖坐標(biāo)。對底面積為A,高度分別為x<d/2和x>d/2的高斯曲面應(yīng)用高斯定理, 有口 E dSS2AdEA 2E2=di2 0(x 2)7-10 一半徑為R的無限長帶電圓柱,其體電荷密度為0r(r R),p。為常數(shù)。求場強(qiáng)分布。解：據(jù)高斯定理有 ESdS E2rl-

7、dV0 VE2E2R 時：E2R 時：E2rlrlR3rr 2 r ldr0kr23- en3 02 r IdrkR3 en 3 0r2 lk2 lk2dr2dr習(xí)題7 10圖R27-11R2、R3o(1)(3)解：帶電為q、半徑為Ri的導(dǎo)體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為球殼的電荷及電勢分布；把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢分布;再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢。據(jù)(723)式的結(jié)論得：V10 R1R21、，、)(rRi),V2R3)(R1rR2)；(1)靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶一 q,外表面帶q電荷。R3),V4一(r R3). 0r(2)U1-(0RiR

8、2)(r Ri),V21)(R1rR2)； V3 0(R2 r &),V40(rR3).R2(3)再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶q/,球殼內(nèi)表面帶q外表面帶q/q。ViR R 冒)“"習(xí)題7 12圖得:R1R2qR2R3R1R3R1R2q q40R3(Ri R2 )q4033R1R3R1R2)(R2 r R3)712均勻、半徑為R的帶電球體中,試證明球形空腔中任意點的電場強(qiáng)度為勻強(qiáng)電場,存在一個球形空腔，空腔的半徑 其方向沿帶電球體球心r(2r<R), 。指向球形空腔球心。/。證明：利用補(bǔ)缺法，此空腔可視為同電荷密度的一個完整的半徑為

9、為r與大球電荷密度異號完整的小球組成，兩球在腔內(nèi)任意點7結(jié)果為R的大球和一個半徑P產(chǎn)生的電場分別據(jù)例 7E1r130E2230E=E1+E2=r130r230oo上式是恒矢量，得證。7-13 一均勻帶電的平面圓環(huán)，內(nèi)、外半徑分別為Ri、R2,且電荷面密度為b。一質(zhì)子被加速器加速后，自圓環(huán)軸線上的P點沿軸線射向圓心 0。若質(zhì)子到達(dá)。點時的速度恰好為零，試求質(zhì)子位于 P點時的動能Ek。(已知質(zhì)子的帶電量為 e,忽略重力的影響，OP=L)解：圓環(huán)中心的電勢為V。R2 產(chǎn)(R2R1 40r 2 oRi)圓環(huán)軸線上p點的電勢為習(xí)題713圖VPr22 rdrR11。，2-L2vr L2 0Ri.Ri2L2

10、)質(zhì)子到達(dá)0點時的速度恰好為零有E。 Ep Ek Ek E0 EpEk eV0 eVp= -(R2 R) e(jR2 L2 Jr2 l2) 2 02 02e(R2 RiR2 L2R2 L2)7-14 有一半徑為R的帶電球面，帶電量為Q,球面外沿直徑方向上放置一均勻帶電 細(xì)線，線電荷密度為入，長度為 L (L>R),細(xì)線近端離球心的距離為L。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場中的電勢能。解：在帶電細(xì)線中任取一長度為 dr的線元，其上所帶的電荷元為 dq= dr,據(jù)(7 23) 式帶電球面在電荷元處產(chǎn)生的電勢為Q4 0r電荷元的電勢能為：dWQ dr4 0r習(xí)題714圖細(xì)線在帶電球面

11、的電場中的電勢能為:2L Q dr QW dW In 2L 40r 40*7 15 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為 Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點P到盤心的距離為L。試求P點的電勢并利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系求電場強(qiáng)度。習(xí)題717圖解：P到盤心的距離為p點的電勢為Vp0R 2 rdr24 0 . r2L2 2 0L2(.R22L2L)圓盤軸線上任意點的電勢為R 2 rdrV(x)040.：r2x)Q22-2( . R2x2 0R利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系得:E(x)dV .i dx)i國1盤心的距離為L, p點的電場強(qiáng)度為：E(L)Q20R2(1Rl L2)iQi和Q2。求:(1)各區(qū)

12、城716 兩個同心球面的半徑分別為 R1和R2,各自帶有電荷 電勢分布，并畫出分布曲線；(2)兩球面間的電勢差為多少？解:(1)據(jù)(7 23)式的結(jié)論得各區(qū)城電勢分布為Vi1(Q140R1R2(rRi),1(Q140 rR2(R1 r R2)；QQiQ24 0r(rR2).習(xí)題718圖空間電勢分布并畫出電勢分布曲線大致如圖。勢差為U,求：(1)圓柱面單位長度帶有多少電荷?2)兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度。(2)兩球面間的電勢差為r2Q1Q111V12jdrQ-()R1 4 or24 0 RiR27-17 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為p, 若取棒表面為零電勢，求空間電

13、勢分布并畫出電勢分布曲線。 解：據(jù)高斯定理有r R時：r 2lrE dS E2 rl r-E enS02 0r R時，V=0 ,則, 、，R ,_22、r R時：V rdr (R r )2 0 r 4 0 ')r R時：R2l_ R2E dS E2 rlE -S02 0r、， R2 R dr R2 , RV In 2 0 r r 2 0 r718 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為 Ri、R2,帶有等量異號的電荷，兩者的電解：設(shè)圓柱面單位長度帶電量為，則兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度大小為E 2 0r兩圓柱面之間的電勢差為drU 2 0rr2 drRi r20r2 0ln%Ri由上式可得:Uln R2 R1所以e en2 0rU en ln R2 R1 r(Ri r R2)719 在一次典型的閃電中，兩個放電點間的電勢差約為109V,被遷移的電荷約為30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使 熔解熱為 3.34X 105J . kg-1)解：兩個放電點間的電勢差約為00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰 ？(冰的109V,被遷移的電荷約為 30庫侖，其電勢能為9Wp 30 10 J上式釋放出來的能量可融化冰的質(zhì)量為:30 1094m z 8.98X10 kg3.34 1057-20 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動。(1)