例題講解：米勒問題之教學(xué)設(shè)計

1、例題講解：米勒問題教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院118班蔡潔慧008教材分析1.本例題是在學(xué)習(xí)了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圓的相關(guān)知識例如圓周角 等等進行講解的，因此知識基礎(chǔ)比較扎實。_2.本例題是著名的經(jīng)典題目，用于解決最大角問題，涉及到最大值問題，在今后的最值 問題解決中有著重要的地位，為解決最大角問題提供有力的工具，省去很多繁瑣的步驟。3 .本例題運用了數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生善于把問題幾何和代數(shù)之間相互代換得以解 決。4.本課對學(xué)生的動手能力，觀察能力都有一定的要求，對培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維，提高學(xué) 生解決實際問題的能力都有重要的意義。5.本課內(nèi)容內(nèi)排上難度和強度不高，適合學(xué)生討論，可以充

2、分開展合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生 的合作精神和團隊競爭的意識。學(xué)情分析L授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，教學(xué)中應(yīng)給予充分思考的時間，并且以引導(dǎo)學(xué)生思考為主。4 .該班級學(xué)生在平時訓(xùn)練中已經(jīng)形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發(fā)揮合 作的優(yōu)勢，兼顧效率和平衡。5 .本班為自己任課的班級，平時對學(xué)生比較了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同 能力的學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生的積極性。教學(xué)目標(biāo)知識與能力目 標(biāo)1 .了解米勒問題，并且理解米勒定理。2 .學(xué)會解決米勒問題，并能夠運用一定的空間想象能力3 .培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題與生活實際聯(lián)系的能力。過程與方法目 標(biāo)1 .經(jīng)歷探索解決米勒問題的過程，進一步探索米勒定理的證明過

3、 程。2 .經(jīng)歷應(yīng)用米勒定理解決問題的過程。情感與態(tài)度目 標(biāo)1 .學(xué)生在探索的過程中，感受動點移動時帶來的角度變化的動態(tài) 美，體會數(shù)學(xué)的奇妙性；2 .在交流的過程中，體會與別人交流的重要性。教學(xué)中的重點、難點重 點1.利用直角三角形和基本不等式知識解決米勒問題2.利用米勒問題得出的結(jié)論解決一般米勒問題并給出證明難 點1.用代數(shù)方法解決后轉(zhuǎn)換為幾何的結(jié)論2. 一般米勒問題結(jié)論的證明主要教學(xué)手段及相關(guān)準(zhǔn)備：教學(xué)手段L使用導(dǎo)學(xué)法、討論法2.運用多媒體輔助教學(xué)3.調(diào)動學(xué)生積極性，幫助理解準(zhǔn)備工作多媒體課件片斷，輔助難點突破教學(xué)設(shè)計 策略依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的特點，依據(jù)教學(xué)時間和效率的要求，在此課教 學(xué)方

4、法和教學(xué)模式的設(shè)計中主要體現(xiàn)設(shè)計思想 策略1.回歸學(xué)生主體，一切闈繞著學(xué)生的學(xué)習(xí)活動和當(dāng)堂的反饋程度安排 教學(xué)過程。2.原則性和靈活性相結(jié)合，既要完成教學(xué)計劃，在教學(xué)過程中又可以 根據(jù)現(xiàn)實的情況，安排問題的難度，體現(xiàn)一些靈活性。3.教學(xué)的形式上注重個體化，充分給予學(xué)生討論和發(fā)表意見的機會， 注重學(xué)習(xí)的參與性，努力避免以教師活動為主體的教學(xué)過程。教學(xué)步驟及說明學(xué)生活動1、學(xué)生跟著教師 的思路進行想象教師活動1、介紹問題：1471年德國數(shù)學(xué)家教學(xué)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目教學(xué)說明讓學(xué)生了解題目,米勒向諾德爾教授提出給出的信息動手作圖，培并讓同學(xué)想象，培養(yǎng)學(xué) 如下一個十分有趣問題:養(yǎng)學(xué)生學(xué)會運用數(shù)形結(jié)生自

5、主探索的學(xué)習(xí)能在地球表面的什么合的思想方法。力，以及學(xué)生們交流能部位，一根垂直的懸桿呈力。現(xiàn)最長（即可見角最大）2、根據(jù)幾何畫板2、幾何畫板演示：培養(yǎng)學(xué)生的空間想的演示并跟著教師把文字的問題轉(zhuǎn)化象能力，并引導(dǎo)學(xué)生解決用多媒體軟件進行的思路思考問題為幾何圖形表示出來 問題教學(xué)，給學(xué)生直觀的形 象，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用 已知條件去探索未知 量。3、觀察并思考，3、把幾何問題轉(zhuǎn)化跟著教師解決問題 為代數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生進 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會幾何運用直角三角形和行回答與代數(shù)進行轉(zhuǎn)換基本不等式的知識解決問題，本節(jié)課的重點 之一。 4、思考并積極回 4、根據(jù)代數(shù)方法得答問題到答案，并把結(jié)論轉(zhuǎn)換為 培養(yǎng)學(xué)生運用已知這是

6、本節(jié)課的難幾何結(jié)論,復(fù)習(xí)切割弦定知識解決一般簡單問題點，學(xué)生難以突破 理能力，同時對于知識的回顧，加深鞏固。 5、隨著教師思路進行思考5、得到關(guān)于米勒問 培養(yǎng)學(xué)生善于思考 拋出問題引導(dǎo)學(xué)生題的幾何結(jié)論，并提出為探索的精神思考什么要總結(jié)幾何結(jié)論 6、學(xué)生按照教師的提示進行思考問 6、給出一般米勒問 學(xué)生體驗從特殊到由特殊問題過渡到地題:在已知直線1的同側(cè)一般的過程。加深對一般一般問題，循序漸進，有P、Q兩點，試在直線情況和特殊情況的理解，關(guān)鍵在于引導(dǎo)和啟發(fā)， 1上求一點M,使得M對提高學(xué)生對問題的敏感給予學(xué)生充分的時間， P、Q兩點的張角，即最度。必要時候使用事先準(zhǔn)大備的多媒體輔助教學(xué)，從實際結(jié)

7、果看，學(xué)生在 多媒體的啟發(fā)作用下， 應(yīng)該會有一個思維上 7、通過教師演7、用幾何畫板演示，的突破。示，得到特殊米勒間把特殊米勒問題與一般 培養(yǎng)學(xué)生通過比較 題與一般米勒問題米勒問題進行對比,說明兩者得到兩者的區(qū)別的 的區(qū)別兩者的不同，并說明用類能力似的代數(shù)方法無法解決8、跟隨教師的 8、引導(dǎo)學(xué)生善于應(yīng) 思路并積極回答問用幾何結(jié)論去解決問題， 題，學(xué)習(xí)新的知識并進行證明，注意新知識 培養(yǎng)學(xué)生善于巧妙 的補充并說明地運用新的結(jié)論來解決新的問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹 的數(shù)學(xué)態(tài)度，對得到的答9、做好筆記并進9、總結(jié)，說明米勒案給予嚴(yán)謹?shù)淖C明在課堂最后進行總行知識鞏固問題實質(zhì)上是求最大角結(jié)，并得到結(jié)論，告知問題

8、，因此得出的結(jié)論就 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會總結(jié)學(xué)生該結(jié)論用于解決 是為了解決一般的米勒的能力，并養(yǎng)成舉一反三最大角問題，讓學(xué)生能 問題，即一般的求最大角的能力，達到學(xué)以致用的夠?qū)W以致用。問題。目的課后小結(jié)：由于運用了一定的教學(xué)方法和理念，知識從不同的方向得到了滲透?；就?成了課前制定的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求，為進一步的深入理解打下了基礎(chǔ)。教學(xué)分析L米勒問題是求最大角問題的特例，通過解決米勒問題得到幾何結(jié)論，根據(jù)這個結(jié)論可 以事半功倍得解決一般最大角問題，因此講解這道題對于學(xué)生解決問題十分有必要。 2.米勒問題應(yīng)該安排在高二第二個學(xué)期，因為米勒問題應(yīng)用的知識比較綜合，并且要有 一定的空間想象力，而且要對幾何

9、與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有一定的了解，因此放在高二第二個學(xué) 期講解比較合適。""3.米勒問題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題，對于培養(yǎng)學(xué)生對于研究數(shù)學(xué)和拓展課展知外很有必 要，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美妙神奇之處。6 .在證明一般米勒問題的時候，需要補充圓外角的相關(guān)知美，在解決問題的同時，可以 讓學(xué)生初步了解圓外角知識并學(xué)會應(yīng)用。教學(xué)設(shè)計腳本教師：同學(xué)們好，今天我們要解決一道世界著名的經(jīng)典題目一一米勒問題。（點開PPT）既然是是米勒問題，那么我們就先了解一下米勒問題是什么1471年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）這是一個非

10、常著名的100道經(jīng)典數(shù)學(xué)問題其中的一道題，大家先自己理解一下題目的意 思。請同學(xué)們在草稿本上面畫一下草圖好，現(xiàn)在老師用幾何畫板演示一下（點開超鏈接，出現(xiàn)幾何畫板）教師：大家看一下，我們把垂直懸桿簡化成這個AB這段線段。大家在初中的時候已經(jīng)學(xué)習(xí)地理，知道地球是一個球面，但是為了研究問題的需要，我 們就把地球表而看成是一個平而，所以問題就轉(zhuǎn)化為，在地球上面找到一個點D,使得人在 這個位置時，懸桿呈現(xiàn)最長，也就是可見角NAO3是最大的。教師：老師延長線段AB到平而并交于點C,再連接CD,以點C為圓心，CD為半徑作圓 （幾何畫板演示）大家想象一下，點D在圓上移動的時候，NA33有沒有變化學(xué)生1:老師，

11、是沒有變化的。教師：很好，也就是說，在這個圓上的點都不會影響可見角NAO8,在圓心不變的情 況下，只有半徑不同的其他圓才會影響NAD3的大小對不對學(xué)生：對。教師：也就是說，我們可以把這個空間的問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（幾何畫板演示）44那么是不是說，就一定會存在這個點D使得NA08達到最大呢學(xué)生1：應(yīng)該是存在的教師：如果存在的話，應(yīng)該在什么位置呢學(xué)生1：老師，肯定越近可見角越大學(xué)生2：不，我覺得是越遠可見角越大教師：那好，有爭議的話，我們再用幾何畫板演示一下、一、 、現(xiàn)在我讓點D 一直向中間移動，同學(xué)們要留意NAO3是如何變化的（幾何畫板演示）學(xué)生：NAO8是先變大，后來又慢慢變小教師：對了，也就

12、是說，在這條直線上，總會存在一個點，使得NA08最大，對不對 學(xué)生：對。教師：那么我們要在這條直線上找到這個點呢學(xué)生：可以轉(zhuǎn)化為求點D到交點C的距離。教師：對了，要求CD的長度，那么我們設(shè)CD的長度為問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)x為多少時，NAO8最大為了解決這個問題，我們把AC、BC的長度當(dāng)成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角 標(biāo)一下，a、夕、夕，這里的e也就是NAO8（打開PPT）己知AC=m,BC=n,CD=x, （x>0）,求當(dāng)x為多少時，夕最大（黑板板書）教師：那么我們就要用這些已知的條件來解決這個問題了。大家先看一下AC。，剛剛說了懸桿是垂直于地球表面的，所以AC£&g

13、t;是一個什么三 角形學(xué)生：直角三角形教師：那么AC、CD與a之間有什么關(guān)系學(xué)生2： tana ='（教師板書出來）X教師：很好，那么我們再看88呢學(xué)生1:同樣是一個直角三角形教師：所以也可以同樣得到怎樣的關(guān)系式學(xué)生L tan/7 = -（教師板書出來） X教師：那再看看。、/、6之間有什么關(guān)系學(xué)生 2： a = p0教師：也就是8 = a A（板書出來）我們在上面已經(jīng)求出了a、夕的正切值了，那么可以求出夕的正切值嗎要怎樣求學(xué)生8 = tan（a-/7）=” （教師板書出來）1 + tan a tan p教師：請繼續(xù)，學(xué)生L把剛剛tana ='和tan/ = ?代入上式xx教師

14、：很好，那么大家動手把數(shù)據(jù)代入并進行化簡。那么有那位同學(xué)化簡得到最終的結(jié)果學(xué)生2： tan"（教師板書出來）m- nx +X教師：好的。那么我們看看，我們要求6的最大值，是不是就是求tan。的最大值學(xué)生：是的。教師：看看上面式子，那些是已知的學(xué)生：m, n教師：所以說，m-n就是一個定值，那么要求tan。的最大值，只需要求式子的分母的 最小值，對不對學(xué)生：對。教師：那好，我們就把分母分離出來，X+（板書出來）X現(xiàn)在要求的是x +竺2的最小值，也就是應(yīng)該要X +竺（板書出來） XX同學(xué)們看出什么了嗎學(xué)生：基本不等式教師：那要怎樣做下去呢學(xué)生L工+竺22標(biāo)7 （教師板書出來） x教師：什

15、么時候等號成立學(xué)生L當(dāng)工=竺。時，算得犬=鬧（教師板書出來） x教師：也就是，X2 = nui o好，到這里已經(jīng)把結(jié)果算出來了，同學(xué)們回答一下題目提出問題的答案學(xué)生：當(dāng)工=嬴時，tan。取得最大值，也就是6取得最大值。教師：同學(xué)們看一下，我們解決這個問題的時候，先把幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再 用代數(shù)的方法把問題解決了，但是如果每次都遇到這種問題，都要算這么多是不是很麻煩我 們在上面的計算過程，有沒有得到什么啟示學(xué)生1：當(dāng)X = >/病時，6取得最大值。教師：很好，這也算是一個結(jié)論，有沒有一個關(guān)于幾何方而的結(jié)論呢學(xué)生：（思考）教師：剛剛所說的，CD = x = 4 = JaBBC ,也就

16、是CZ）2=ac8C,那么根據(jù)這個式子有沒有想到關(guān)于圓的一些性質(zhì)老師在這里提示一下，大家還記得切割線定理嗎 （PPT展示）這里PA是圓。的切線，BC是圓0的一條割線，那么切割線定理是怎么描述的學(xué)初12 = p8xPC教師：這個等式跟上面所說的，CO2=ac.8C在形式上是不是有點相似啊學(xué)生：PA對應(yīng)CD, PB、PC分別對應(yīng)BC、AC,也就是CD、AB分別是某個圓的切線、割 線。教師：對了，表示出來就是這樣子的圖形（PPT展示）所以我們有下面的結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)過ABD三點作外接圓且CD與該圓相ZADB切的時候，最大。同學(xué)們可能在這個時候就要問，得出這個結(jié)論有什么用老老實實用代數(shù)的方法去算不

17、就行了嗎帶著這個問題，下而我們再看一道題目（PPT展示）在已知直線1的同側(cè)有P、Q兩點，試在直線1上求一點M,使得M對P、Q兩點的張角, 4MQ 最大教師：那我們來看看這道題跟第一題有什么區(qū)別（幾何畫板演示）我們連接PQ，再延長PQ到直線1交于點0,跟第一題畫的圖比較一下（幾何畫板演示）同學(xué)們看一下，PQ是不是相當(dāng)于把懸桿AB倒置了一樣，還有哪些是相對應(yīng)的學(xué)生2： P0對應(yīng)AC, NPMQ對應(yīng)NA8。，教師：既然有那么多相似的地方，大家嘗試著解決。學(xué)生（在草稿本上解決）教師：有沒有同學(xué)算出來學(xué)生1：用剛剛的代數(shù)方法算不出來。教師：為什么學(xué)生1： P0不垂直于直線1,無法用到直角三角形的性質(zhì)。教

18、師：那么除了這種方法，剛剛不是還有一個結(jié)論嗎學(xué)生2：類似于剛剛的結(jié)論，那么有結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)PYQ三點所作的外接圓與直線1相切于點M的時彳武尸“。最大。教師：很好（幾何畫板演示）那我們現(xiàn)在用幾何畫板演示可以知道此時是最大的，但是僅僅用幾何畫板是不 夠的，我們需要用數(shù)學(xué)的方法去證明?，F(xiàn)在要證明我們找到的點M是使律是最大 的，應(yīng)該要怎樣去證明呢學(xué)生1：我們可以在直線1上任取一點M ,只要即可。教師：那我們就在直線1上再找一點（幾何畫板演示）現(xiàn)在的目標(biāo)是什么學(xué)生：證明NPMaPM。教師：看看兩個角跟圓有什么關(guān)系學(xué)生匕是圓周角，NPM。在圓的外而，好像沒學(xué)過。教師：好的，那么老師今天就補充一點新的知識，頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交或 相切的角叫圓外角，圓外角的度數(shù)等于它所夾的兩弧度數(shù)的差（較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)）的一半?？纯碞PM0滿足上述的特征嗎學(xué)生：滿足，所以NPM。是圓外角。教師：再看看，圓外角的度數(shù)等于它所夾的兩弧度數(shù)的差（較大弧的度數(shù)減去較小弧的 度數(shù)）的一半，這句話表達了什么信息對照著上圖來看看學(xué)生：也就是NPM。的度數(shù)等于線段PM、PQ所夾的兩段弧的度數(shù)之差的一半，即弧PQ 度數(shù)的一半減去小弧度數(shù)的一半。教師:/肥的度數(shù)