江西省南昌市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理含解析

1、20162017學(xué)年度下學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題（每小題5分，滿分60分）1. 復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位)，則的共軛復(fù)數(shù)為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)，故選a.2. 給出下列命題，其中正確的命題為 （ ）a. 若直線和共面，直線和共面，則和共面b. 直線與平面不垂直，則與平面內(nèi)的所有的直線都不垂直c. 直線與平面不平行，則與平面內(nèi)的所有的直線都不平行d. 異面直線不垂直，則過的任何平面與都不垂直【答案】d【解析】試題分析：a：直線共面不具有傳遞性，故a錯誤；b：根據(jù)線面垂直的判定可知b錯誤；c：若直線，滿足直線與平面不平行，故c錯誤；d：假設(shè)存在過的

2、平面與垂直，則可知，假設(shè)不成立，故d正確，故選d考點(diǎn)：空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及其判定3. 已知直線，平面，則的一個(gè)充分條件是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】,則與平面平行或在平面內(nèi)，不正確；，則與平面平行或在平面內(nèi)，不正確；，則與平面平行或在平面內(nèi)，不正確； 由線面平行的判定定理知，正確，故選d.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆

3、否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).4. 設(shè)，向量且，則（ ）a. b. c. 3 d. 4【答案】d5. 已知三點(diǎn)，則以為方向向量的直線與平面系是（ ）a. 垂直 b. 不垂直 c. 平行 d. 以上都有可能【答案】a【解析】由題意，所以以為方向向量的直線與平面垂直，故選a.6. 若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】共面，故不能作為基底，故錯誤；共面，故不能作為基底，故錯誤；不共面，故可以作為基底，故正確；共面，故不能作為基底，故錯誤，故選c.7. 已知正四棱柱的底面是邊長為1的正方形，若平面內(nèi)有且僅有1個(gè)點(diǎn)到頂

4、點(diǎn)的距離為1，則異面直線 所成的角為 ( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】由題意可知，只有點(diǎn)到距離為，即高為，所以該幾何體是個(gè)正方體，異面直線所成的角是，故選b.8. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形，俯視圖為正方形，則該幾何體的體積為（ ）a. 4 b. 8 c. 9 【答案】b【解析】由三視圖可知幾何體為正四棱柱中挖去一個(gè)四棱錐得到的幾何體，故選b.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖

5、的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.9. 已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形， ，則四棱錐的外接球的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由題意，將四棱錐擴(kuò)充為正方體，體對角線長為，所以四棱錐外接球的直徑為，半徑為，所以四棱錐外接球的表面積為，故選c.10. 在四棱錐中，平面，底面為矩形，若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因?yàn)樵谒睦忮F中，平面，底面為矩形，由邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，可得邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，則以 為直徑的圓與直線 相切，設(shè)中點(diǎn)為

6、 ，則 ，可得 平面 ，作 于 ，連接 ，則 是二面角的平面角，設(shè) ,則 ，直角三角形 中，可得 ，二面角的余弦值為，故選a.11. 如圖在中，是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折，若折中存在某個(gè)位置，使得，則的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：取中點(diǎn)，翻折前在如圖1中，連接、，則，又，所以；翻折后在如圖2中，若，又，則平面，所以，又為中點(diǎn)，所以，那么在中應(yīng)有，解得；翻著后如圖3中，當(dāng)與在一個(gè)平面上，與交于，且，又，所以，所以則，綜上可得，故選.考點(diǎn)：1.空間異面直線位置關(guān)系；2. 空間想象能力.12. 棱長為的正方體在空間直角坐標(biāo)系中移動，但保持點(diǎn)分別在軸、 軸上移動

7、，則點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于棱長為2的正方體在空間直角坐標(biāo)系中移動，但保持點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸上移動，則可知設(shè)a(x,0)b(0,y)，可知,那么可以設(shè),那么可知借助于三角函數(shù)的性質(zhì)可知co的最大值為，那么可知點(diǎn)到原點(diǎn)o的最遠(yuǎn)距離為4，選d.考點(diǎn)：展開圖，正方體點(diǎn)評：求解空間一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)在平面內(nèi)的射影到原點(diǎn)的距離的最大值即可，屬于中檔題，考查分析問題的能力。二、填空題（每小題5分，滿分20分）13. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為_.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

8、考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算14. 在三棱錐中，,為的重心，過點(diǎn)作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線和，則該截面的周長為_.【答案】8【解析】試題分析：過點(diǎn)g作交pa、pc于點(diǎn)e、f，過e、f分別作、分別交ab、bc于點(diǎn)n、m，連結(jié)mn，所以efmn是平行四邊形，即，即，所以截面的周長.考點(diǎn)：以三棱錐為幾何載體考查了線線平行、截面的周長.15. 如圖，已知邊長為1的正的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，頂點(diǎn)在平面外的同一側(cè)，點(diǎn)分別為在平面內(nèi)的投影，設(shè)，直線與平面所成的角為.若是以角為直角的直角三角形，則的最小值_.【答案】【解析】.16. 已知正四棱柱的底面邊長，側(cè)棱長，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上任意一點(diǎn)，有以

9、下判斷：的長的最大值是9；存在過點(diǎn)的平面，截球的截面面積是；三棱錐的體積的最大值是20；過點(diǎn)的平面截球所得截面面積最大時(shí)，垂直該截面.其中判斷正確的序號是_【答案】【解析】由題意可知球心在體對角線的中點(diǎn)，直徑為：，半徑是，的長的最大值是，正確；球的大圓面積是，過與球心連線垂直的平面是小圓，面積為，因而是錯誤的 ; 三棱錐體積的最大值是最大是半徑）正確；過點(diǎn)的平面截球所得截面面積最大時(shí)該平面就是平面 ，由長方體的性質(zhì)可知不與該截面垂直，錯誤，故答案為.三、解答題 :17. 如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線都等于1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，設(shè), 為空間向量的一組基底，計(jì)算：（1）; (2

10、).【答案】(1)；（2） .【解析】試題分析：(1）根據(jù)的模與夾角，利用數(shù)量積公式先求的值，在根據(jù)可得結(jié)果；（2）由先平方，再開平方即可.試題解析：(1） ，則，（2）.18. 正方體 棱長為1，為棱的中點(diǎn)，求：（1）求三棱錐的表面積；（2）求三棱錐的體積【答案】(1) ；（2）.【解析】試題分析：(1)根據(jù)長方體的性質(zhì)，求出三棱錐的各表面三角形的面積求和即可；（2）利用等級變換，利用棱錐的體積公式求解即可.試題解析：（1）.（2）如圖，取的四等分點(diǎn)，則，故，19. 如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形，,.且與均為正三角形,為的中點(diǎn)，為重心.(1)求證：平面；(2)求異面直線與的夾角的余弦

11、值.【答案】(1)證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）連接交于，連接，由重心性質(zhì)推導(dǎo)出，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）取線段上一點(diǎn)，使得，可證 即是異面直線與的夾角，由余弦定理可得結(jié)果. 試題解析：（1）方法一：連交于,連接.由梯形，且，知 又為的中點(diǎn)，為的重心，在中，,故/. 又平面, 平面,/平面. 方法二：過作交于,過作交于,連接, 為的重心，,又為梯形，, 又由所作，得/ ，為平行四邊形. , 面 (2) 取線段上一點(diǎn)，使得，連,則, ,在中 ，則異面直線與的夾角的余弦值為.角函數(shù)和等差數(shù)列綜合起來命題，也正體現(xiàn)了這種命題特點(diǎn).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理

12、、異面直線所成的角、余弦定理，屬于中擋題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法證明的.20. 如圖，在矩形中，已知，點(diǎn)分別在上，且，將四邊形沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上. (1)求證: ; (2)求點(diǎn)到平面的距離； (3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；（2） ；（3）.【解析】試題分析：(1)由折疊

13、關(guān)系可得平面，(2)利于題意結(jié)合勾股定理列方程組，求解可得點(diǎn)到平面的距離為2；(3)做出直線與平面所成的角，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論可得直線與平面所成的正弦值為.試題解析：解：（1）由于平面，又由于，平面，法一：（2）設(shè)，過作垂直于，因線段，在翻折過程中長度不變，根據(jù)勾股定理：，可解得，線段長度為，即點(diǎn)的平面的距離為（2）延長交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面距離的，點(diǎn)平面的距離為，而，直線與平面新角的正弦值為法二：（2）如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作平面，分別以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由于，解得于是，所以線段的長度為即點(diǎn)到平面的距離為（3）從而，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的

14、大小為，則21. 如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，.(1）求證：平面；(2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件證明，再由面面垂直的判定即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量后即可建立二面角余弦值的函數(shù)關(guān)系式，求得函數(shù)的值域即可求解試題解析：（1）在梯形中， ，平面平面，平面平面，平面，平面；（2）由（1）可建立分別以直線，為軸，軸，軸，如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，是平面的一個(gè)法向量，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，考點(diǎn)：1線面，面面

15、垂直的判定與性質(zhì)；2空間向量求解二面角22. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)是橢圓在軸上方的動點(diǎn)，且的周長為16. （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)到三邊的距離均相等. 當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 求證：點(diǎn)在定橢圓上.【答案】(1) ；（2）；證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得的值，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到三邊的距離均相等列方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)三角形面積以及橢圓的定義列方程組，可得，代入橢圓方程可得， 所以點(diǎn)在定橢圓上.試題解析：（1）依題意，所以，從而， 故橢圓方程為，（2）當(dāng)時(shí)， 則直線的方程為：，直線的方程為：， 所以，且，其中，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為； 設(shè)，則點(diǎn)到三邊的距離均為，由， 得，其中，所以，則直線的方程為：，即， 所以，且， 且， 化簡得，解得， 將，代入，得， 所以點(diǎn)在定橢圓上.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)