高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例 第3課時 三角形中的幾何計算學案 新人教A版必修5

1、第3課時三角形中的幾何計算學習目標：1.掌握三角形的面積公式的應用(重點).2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應用(難點)自 主 預 習·探 新 知1三角形的面積公式(1)sa·hab·hbc·hc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)sabsin cbcsin_acasin_b；(3)s(abc)·r(r為內(nèi)切圓半徑)思考：(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形嗎？(2)已知三角形的兩個內(nèi)角及一邊能求三角形的面積嗎？提示(1)適用三角形的面積公式對任意的三角形都成立(2)能利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角，再根據(jù)

2、面積公式求解2三角形中常用的結論(1)abc，；(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然；(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；(4)三角形的誘導公式sin(ab)sin_c，cos(ab)cos_c，tan(ab)tan_c，sin cos ，cos sin .基礎自測1思考辨析(1)公式sabsin c適合求任意三角形的面積()(2)三角形中已知三邊無法求其面積()(3)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積()答案(1)(2)×(3)提示：已知三邊可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面積故(2)錯2下列說法中正確的是_(填序號)(1)已知三角形的三邊長為a，

3、b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積s(abc)r；(2)在abc中，若cb2，sabc，則a60°；(3)在abc中，若a6，b4，c30°，則sabc的面積是6；(4)在abc中，若sin 2asin 2b，則ab. 【導學號：91432075】(3)(1)中三角形的面積s(abc)r.(2)由sbcsin a可得sin a，a60°或120°.(4)在abc中由sin 2asin 2b得ab或ab.3在abc中，a6，b30°，c120°，則abc的面積_9由題知a180°120°30°30&#

4、176;，由知b6，sabsin c18×9.4在abc中，ab60，sabc15，abc的外接圓半徑為，則邊c的長為_. 【導學號：91432076】3由題知sabcabsin c15得sin c.又由2r得c2×3.合 作 探 究·攻 重 難三角形面積的計算在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，b，cos a，b.(1)求sin c的值；(2)求abc的面積解(1)角a，b，c為abc的內(nèi)角，且b，cos a，ca，sin a.sin csincos asin a.(2)由(1)知sin a，sin c.又b，b，在abc中，由正弦定理得a.abc的

5、面積sabsin c×××.規(guī)律方法1由于三角形的面積公式有三種形式，實際使用時要結合題目的條件靈活運用，若三角形的面積已知，常選擇已知的那個面積公式2如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計算跟蹤訓練1abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知bsin ccsin b4asin bsin c，b2c2a28，求abc的面積解由bsin ccsin b4asin bsin c得sinbsin csin csin b4sin asin bsin c，因為sin bsin c0，所以sin a.因為b2c2a28，

6、cos a，所以bc，所以sabcbcsin a××.三角恒等式證明問題在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.證明：.思路探究：由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開證明法一：(邊化角)由余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，a2b2b2a22bccos a2accos b，整理得：.依正弦定理有，.法二：(角化邊).規(guī)律方法1三角恒等式證明的三個基本原則：(1)統(tǒng)一邊角關系(2)由繁推簡(3)目標明確，等價轉化2三角恒等式證明的基本途徑：(1)把角的關系通過正、余弦定理轉化為邊的關系，然后進行化簡、變形(2)把邊的

7、關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進行恒等變形跟蹤訓練2在abc中，求證：. 【導學號：91432078】證明由正弦定理得右邊左邊原等式成立解三角形中的綜合問題探究問題1.如圖1­2­35所示，圖中共有幾個三角形？線段ad分別是哪些三角形的邊，b是哪些三角形的內(nèi)角？圖1­2­35提示：在圖形中共有三個三角形，分別為abc，abd，adc；線段ad是adc與abd的公共邊，b既是abc的內(nèi)角，又是abd的內(nèi)角2在探究1中，若sin bsin adb，則abd是什么形狀的三角形？在此條件下若已知abm，dcn，如何求出ac?提示：若

8、sin bsin adb，則abd為等腰三角形，在此條件下，可在abd中先求出ad，然后利用余弦定理在adc中求出ac，也可以在abd中先求出bd，然后在abc中，利用余弦定理求出ac.在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a，bsincsina.(1)求證：bc；(2)若a，求abc的面積.【導學號：91432079】思路探究：(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡已知三角形即證(2)結合第(1)問可直接求出b，c，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導出b，c的大小關系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解解(1)證明：由bsincsina，應用正弦定理，得sin bsinsin

9、csinsin a，所以sin bsin csin bcos b，整理得sin bcos ccos bsin c1，即sin(bc)1，因為0<b<，0<c<，從而bc.(2)因bca，所以b，c.由a，a得b2sin ，c2sin ，所以abc的面積sbcsin asin ·sin cos sin .母題探究：(變條件，變結論)將例題中的條件“a，bsincsina”改為“abc的面積s(a2b2c2)”求：(1)角c的大??；(2)求sin asin b的最大值解(1)由題意可知absin c×2abcos c.所以tan c，因為0<c&l

10、t;，所以c.(2)由已知sin asin bsin asinsin asinsin acos asin asin，當a，即abc為等邊三角形時取等號所以sin asin b的最大值為.規(guī)律方法1解三角形綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關知識外，一般還要用到三角函數(shù)，三角恒等變換，平面向量等知識，因此掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式及性質是解題關鍵2三角形問題中，涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數(shù)思想的應用當 堂 達 標·固 雙 基1(2018·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若abc的面積為，則c()a.b.c. d.c因為sabcab

11、sin c，所以absin c由余弦定理a2b2c22abcos c，得2abcos c2absin c，即cos csin c，所以在abc中，c.故選c.2在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，a1，b45°，sabc2，則abc的外接圓直徑為()a4b60 c5d6csabcac·sin bc·sin 45°c2，c4，b2a2c22accos 45°25，b5.abc的外接圓直徑為5.3設a是abc中最小的內(nèi)角，則sin acos a的取值范圍是() 【導學號：91432081】a(，) b，c(1，) d(1，dsin acos asin.a為abc中最小內(nèi)角，a，a，sin，sin acos a(1，4在abc中，已知b，d是bc邊上一點，ad10，ac14，dc6，則ab的長為_5在adc中，ad10，ac14，dc6，cosadc.又adc(0，)，adc，adb.在abd中，由正弦定理得，ab5.5已知a，b，c分別為abc內(nèi)角a，b，c的對邊，sin2b2sin asin c.(1)若ab，求cos b；(2)設b90°，且a，求abc的面積. 【導學號：91432082】解(1)由題設及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos b.(2)由(1)知b2