《微積分數(shù)列的極限》ppt課件

1、二、收斂數(shù)列的性質二、收斂數(shù)列的性質 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第一章函數(shù)與極限“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 邊形的面積邊形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第第二二天天

2、截截下下的的杖杖長長總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如,21,81,41,21)2(n21n ,12,46,34, 1)1(nn12 nn留意：留意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次

3、取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整數(shù)下標函數(shù)數(shù)列是整數(shù)下標函數(shù)).(nfxn ,)1( , 1 , 1, 1)4(1 n)1(1 n,)1(,34,21, 2)3(1nnn )1(1nnn ,2 , 8 , 4 , 2)5(n2n三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限,21,81,41,21)2(n ,12,46,34, 1)1(nn,)1(,34,21, 2)3(1nnn 0121x2x3x21x2x3x4xnx001x2x3x4xnx10數(shù)列數(shù)列(1)(2)(3)(1)(2)(3)有一個共性？有一個共性？1當當n n無限增大無限增大時時, , 與常數(shù)與常數(shù)a a無限

4、接近無限接近, ,雖雖然接近的方式然接近的方式不同。不同。nx數(shù)列極限的描畫性定義：數(shù)列極限的描畫性定義：axnn lim或或)( naxn我們研討數(shù)列就是研討它在自變量我們研討數(shù)列就是研討它在自變量 的動態(tài)變的動態(tài)變化過程中，化過程中， 能否漸趨穩(wěn)定，或是說，能否無限的能否漸趨穩(wěn)定，或是說，能否無限的接近某一定數(shù)接近某一定數(shù) ？假設能，？假設能， 就叫就叫 的極限。的極限。 naanxnx給定數(shù)列給定數(shù)列 ，當，當 無限增大時，無限增大時， 無限的接近無限的接近 ，那么稱，那么稱 為為 趨于無窮時數(shù)列的極限。記做：趨于無窮時數(shù)列的極限。記做：nnaanxnx越越來來越越小小無無限限接接近近，

5、接接近近的的程程度度軸軸上上看看，它它和和，從從數(shù)數(shù)），其其通通項項對對于于數(shù)數(shù)列列（1)1(31nnxnn . 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時即，當即，當nxnnn 問題問題:“無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數(shù)學言語如何用數(shù)學言語刻劃它刻劃它. 給出數(shù)列極限的準確的定義呢？給出數(shù)列極限的準確的定義呢？能否給出數(shù)列能否給出數(shù)列3 3收斂的描畫性的定義？收斂的描畫性的定義？記作記作1)1(lim1 nnnn或或)( n此時稱該數(shù)列此時稱該數(shù)列3的極限為的極限為1 , 1)1(1 nnn,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011

6、 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx 1nxnnn11) 1(1 討論數(shù)列討論數(shù)列3 3假設數(shù)列沒有極限假設數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.留意：留意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有內，只有有限個內

7、，只有有限個都落在都落在所有的點所有的點時時從數(shù)軸上看，當從數(shù)軸上看，當NaaxNnn :定義定義N 其中其中 ， 每每一一個個或或任任給給的的: 至至少少有有一一個個或或存存在在: ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有時時使使在平面上在平面上.)(),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有內，只有有限個內，只有有限個帶形區(qū)域帶形區(qū)域都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn O1231Na a aNn).(nfxn a a數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 ,

8、 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n即即所以所以, ,1 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即留意：留意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設設證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以, ,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 闡明闡明: 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結小結: 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是恣意給關鍵是恣意給定定 尋覓尋覓N,但不用要求最小的但不用要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明

9、證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 01 a對對于于給給定定的的.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時時恒恒有有使使得得當當axn 從從而而有有aaxn a1 , 0 任任給給axaxnn 四、數(shù)列極限的性質四、數(shù)列極限的性質1.有界性有界性定定義義: 對對數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)M, 使使得得一一切切自自然然數(shù)數(shù)

10、n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無無界界.例如例如, ,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆皆有有則則對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx留意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件留意：有界性是數(shù)列收斂的

11、必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.獨一性獨一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只需一個極限每個收斂的數(shù)列只需一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使使得得., 021NN ;21 axNnn時時恒恒有有當當;22 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .22 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限獨一故收斂數(shù)列極限獨一.例例5.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成

12、成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不能夠同時位于長度為不能夠同時位于長度為1 1的區(qū)間內的區(qū)間內. ., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx反證法反證法證證: :0 a對對 , , 取取,2a ,N 則則,時時當當Nn axn2a nx02 aa推論推論: :假設數(shù)列從某項起假設數(shù)列從某項起0nx,limaxnn 且且0 a則則)0( . )0( ( (用反證法證明用反證法證明) )定理定理3: 3: 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.

13、.假設假設,limaxnn 且且, 0 N則則Nn 當當時時, , 有有0 nx, )0( . )0( 0 aax2a2a0 a a3.保號性保號性定理定理4:4:假設數(shù)列收斂于假設數(shù)列收斂于a,a,那么其任一子列也一那么其任一子列也一定定收斂于收斂于a.a.knx數(shù)列數(shù)列nx的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列*nKnnxKnx4.子列的極限子列的極限* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *,axkn證證: : 設數(shù)列設數(shù)列knx 是數(shù)列是數(shù)列nx的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列 . .假設假設,limaxnn那么那么,0,N當當 Nn 時時, , 有有axn現(xiàn)取正

14、整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K , K , 使使,NnK于是當于是當Kk 時時, , 有有knKnN從而有從而有由此證明由此證明 .limaxknk* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *NKnNxKnx11111111212 kkxx，即即：.不不收收斂斂從從而而可可知知數(shù)數(shù)列列)1(n 例例6 6)1(n 證明數(shù)列證明數(shù)列 不收斂不收斂 證證: : 數(shù)列數(shù)列)1(n 定理闡明：假設一數(shù)列有兩個子列收斂于不同的定理闡明：假設一數(shù)列有兩個子列收斂于不同的數(shù)數(shù), ,那么此數(shù)列一定發(fā)散那么此數(shù)列一定發(fā)散. . 如如數(shù)列數(shù)列)1(n , 0lim,. 7 nnnny

15、yx有極限有極限數(shù)列數(shù)列有界有界設數(shù)列設數(shù)列例例. 0lim: nnnyx證明證明 對對于于所所有有則則存存在在正正數(shù)數(shù)有有界界由由條條件件證證,:MxnNnNyMxnnnn 當當有有由由的的, 0, 0lim;, .,Myn 時時時時，當當從從而而，NnN , 0 nnnnyxyx , MM. 0lim nnnyx證證得得231213lim:8. nnn證證明明例例 12236262312n13n: nnn證證nn1121 1221 n,231213, 0 nn欲使欲使, 0, 從而從而 231213nn,1 N,時時當當Nn .結結論論得得證證.1,1 nn即即只只需需要要小結小結重點重點

16、: :數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質難點難點: :數(shù)列極限定義的了解，證明數(shù)列的極限數(shù)列極限定義的了解，證明數(shù)列的極限. .主要內容：數(shù)列及數(shù)列極限的定義主要內容：數(shù)列及數(shù)列極限的定義,幾何意義幾何意義,收收斂數(shù)列的性質斂數(shù)列的性質:有界性、獨一性、保號性、子數(shù)有界性、獨一性、保號性、子數(shù)列極限列極限思索題思索題1. 如何判別極限不存在如何判別極限不存在?方法方法1. 找一個趨于找一個趨于的子數(shù)列的子數(shù)列;方法方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.方法方法3., 0, 0 axNnNn總總有有時時當當1 1、割圓術：、割圓術：“割之彌

17、細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣劉徽劉徽一、概念的引入1 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么與圓周割，那么與圓周合體而無所失矣合體而無所失矣1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的