高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何章末綜合檢測(cè)1 北師大版選修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5第二章第二章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何(時(shí)間：100 分鐘，滿分：120 分)一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下列命題中正確的是()a若a ab b，b bc c，則a a與c c所在直線平行b向量a a，b b，c c共面即它們所在直線共面c空間任意兩個(gè)向量共面d若a ab b，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使a ab b解析：選 c.對(duì)于 a

3、：當(dāng)b b0 0 時(shí)，a a與c c所在直線可重合、平行、相交或異面；當(dāng)b b0 0時(shí)，a a與c c所在直線可重合，排除 a；對(duì)于 b：它們所在直線可異面，排除 b；對(duì)于 d：b b0 0時(shí)不滿足，排除d.2 已知兩非零向量e e1 1，e e2 2不共線， 設(shè)a ae e1 1e e2 2(，r r 且，0)， 則()aa ae e1 1ba ae e2 2ca a與e e1 1，e e2 2共面d以上三種情況均有可能解析：選 c.對(duì)于 a：a ae e1 1，所以a ake e1 1，得0，k，與已知矛盾對(duì)于 b：a ae e2 2，所以a ake e2 2，得k，0，與已知矛盾故選 c

4、.3已知a(0，0，0)，b(1，1，1)，c(1，2，1)，下列四個(gè)點(diǎn)中在平面abc內(nèi)的點(diǎn)是()a(2，3，1)b(1，1，2)c(1，2，1)d(1，0，3)解析：選 d.設(shè)該點(diǎn)為d.當(dāng)d的坐標(biāo)為(1，0，3)時(shí)，ad(1，0，3)2abac，其他三個(gè)坐標(biāo)均不符合要求4若向量a a(1，2)，b b(2，1，2)且a a與b b的夾角的余弦值為89，則等于()a2b2c2 或255d2 或255解析：選 c.cosa a，b ba ab b|a a|b b|632589，得2 或255.5向量a a(2，3，1)，b b(2，0，4)，c c(4，6，2)，下列結(jié)論正確的是()aa ab

5、b，a ab bba ab b，a ac cca ac c，a ab bd以上都不對(duì)解析：選 c.a ab b4040，所以a ab b，又c c2a a，所以a ac c，故選 c.6已知向量m m、n n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若 cosm m，n n12，則l與所成的角為()a30b60c120d150解析：選 a.設(shè)l與所成角為，所以 sin|cosm m，n n|12，0，90，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

6、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以30.選 a.7已知點(diǎn)m

7、在平面abc內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)o，有omxoa13ob13oc，則x的值為()a1b0c3d.13解析：選 d.因?yàn)辄c(diǎn)m在平面abc內(nèi)，所以am1ab2ac，即：omoa1(oboa)2(ocoa)，om(112)oa1ob2oc，由omxoa13ob13oc，得x1131313.8已知向量a a，b b，c c是空間的一基底，向量a ab b，a ab b，c c是空間的另一基底，一向量p p在基底a a，b b，c c下的坐標(biāo)為(1，2，3)，則向量p p在基底a ab b，a ab b，c c下的坐標(biāo)為()a.12，32，3b.32，12，3c.3，12，32d.12，32，3解析：

8、選 b.設(shè)p p在基底a ab b，a ab b，c c下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p px(a ab b)y(a ab b)zc c(xy)a a(xy)b bzc c得xy1，xy2，z3，即x32，y12，z3.9已知a a(1，2，y)，b b(x，1，2)，且(a a2b b)(2a ab b)，則()ax13，y1bx12，y4cx2，y14dx1，y1解析：選 b.a a2b b(12x，4，4y)，2a ab b(2x，3，2y2)因?yàn)?a a2b b)(2a ab b)，所以a a2b b(2a ab b)，可得43，x12，y4.10.如圖所示，正方體abcda1b1c1d

9、1的棱長(zhǎng)為 1，線段b1d1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)e，f且ef22，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()aacbebef平面abcdc三棱錐abef的體積為定值d異面直線ae，bf所成的角為定值解析：選 d.建立如圖坐標(biāo)系，b1(0，1，1)，d1(1，0，1)，b(0，1，0)，ac是平面b1bdd1的法向量，be平面b1bdd1， 故acbe， 故 a 正確；bb1是平面abcd的法向量，bb1(0，0，1)，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5

10、f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5ef22d1b1|d1b1|(12，1

11、2，0)，efbb10，故efbb1，故ef平面abcd，故 b 正確；vabef13sbefh1312|ef|bb1|12|ac|112|ef|bb1|ac|112，故 c 正確二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案填在題中橫線上)11已知空間向量a a(0，1，1)，b b(x，0，1)，若a a，b b的夾角為3，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)解析：cosa a，b ba ab b|a a|b b|0 x10112x21cos3，得x1.答案：112在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別為ab，b1c的中點(diǎn)用ab，ad，aa1表示向量mn，則mn_解析：mnmbb

12、ccn12abad12cb112abad12(cbbb1)12ab12ad12aa1.答案：12ab12ad12aa113.如圖所示，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為棱aa1，bb1的中點(diǎn)，g為棱a1b1上的一點(diǎn)，且a1g(01)，則點(diǎn)g到平面d1ef的距離為_(kāi)解析：因?yàn)閍1b1平面d1ef，所以g到平面d1ef之距等于a1點(diǎn)到平面d1ef之距，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，f(1，1，12)，e(1，0，12)，設(shè)平面d1ef的法向量為n n(x，y，z)，由n nef0，n ned10，易求得平面d1ef的一個(gè)法向量n

13、 n(1，0，2)，a1e(0，0，12)，所以d|a1en n|n n|55.答案：5514直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，bccacc1，則bm與an所成角的余弦值為_(kāi)解析：法一：由于bca90，三棱柱為直三棱柱，且bccacc1，可將三棱柱補(bǔ)成6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3

14、 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5正方體，建立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2，則可得a(0，0，0)，b(2，2，0)，m(1，1，2)，n(0，1，2)

15、，所以bm(1，1，2)(2，2，0)(1，1，2)，an(0，1，2)所以 cosbm，anbman|bm|an|14（1）2（1）222 02122236 53010.法二：如圖(2)，取bc的中點(diǎn)d，連接mn，nd，ad，由于mn綊12b1c1綊bd，因此有nd綊bm， 則nd與na所成角即為異面直線bm與an所成角 設(shè)bc2， 則bmnd 6，an 5，ad 5，因此 cosandnd2na2ad22ndna3010.答案：301015給出命題：在abcd中，abadac；在abc中，若abac0，則abc是銳角三角形；在梯形abcd中，e，f分別是兩腰bc，da的中點(diǎn)，則fe12(a

16、bdc)；在空間四邊形abcd中，e，f分別是邊bc，da的中點(diǎn)，則fe12(abdc)以上命題中，正確命題的序號(hào)是_解析：對(duì)于：acabbcabad，故正確；對(duì)于：abac|ab|ac|cosa0，得a為銳角，但abc不一定為銳角三角形，故不正確；對(duì)于：fefaabbe，fefddcce，兩式相加得：fe12(abdc)，故正確；對(duì)于：取bd中點(diǎn)為h，則fh12ab，he12dc，fefhhe12(abdc)，故正確答案：三、解答題(本大題共 5 小題，共 55 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16(本小題滿分 10 分)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量oa(1，2，3)，ob(2，1，2)

17、，op(1，1，2)，點(diǎn)q在直線op上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)qaqb取得最小值時(shí)，求點(diǎn)q的坐標(biāo)解：設(shè)oqop，所以qaoaoqoaop(1，2，3)(1，1，2)(1，2，32)，qboboqobop(2，1，2)(1，1，2)(2，1，22)，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5

18、 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5則qaqb(1，2，32)(2，1，22)(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610，所以當(dāng)43時(shí)，qaqb取得最小值又oqop43(1，1，2)43，43，83 .所以點(diǎn)q的坐標(biāo)為43，4

19、3，83 .17(本小題滿分 10 分)在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是矩形，側(cè)棱dd1平面abcd，且adaa11，ab2.(1)求證：平面bcd1平面dcc1d1；(2)求異面直線cd1與a1d所成角的余弦值解：(1)證明：在四棱柱abcda1b1c1d1中，dd1平面abcd，所以dd1bc.因?yàn)榈酌鎍bcd是矩形，所以dcbc.又dd1dcd，所以bc平面dcc1d1.又bc平面bcd1，所以平面bcd1平面dcc1d1.(2)取da，dc，dd1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示因?yàn)閍daa11，ab2，則d(0，0，0)，c(0，2，0)，d1

20、(0，0，1)，a1(1，0，1)所以cd1(0，2，1)，da1(1，0，1)，所以 coscd1，da1cd1da1|cd1|da1|15 21010.所以異面直線cd1與a1d所成角的余弦值是1010.18(本小題滿分 10 分)如圖所示，直三棱柱abca1b1c1中，cacb1，bca90，棱aa12，m、n分別是a1b1、a1a的中點(diǎn)(1)求|bn|的長(zhǎng)；6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4

21、3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(2)求 cosba1，cb1的值；(3)求證：a1bc1m.解：

22、如圖，建立空間直角坐標(biāo)系(1)依題意得b(0，1，0)、n(1，0，1)，所以|bn| （10）2（01）2（10）2 3.(2)依題意得a1(1，0，2)、b(0，1，0)、c(0，0，0)、b1(0，1，2)，所以ba1(1，1，2)，cb1(0，1，2)，ba1cb13，|ba1| 6，|cb1| 5，所以 cosba1，cb1ba1cb1|ba1|cb1|11030.(3)證明：依題意，得c1(0，0，2)、m12，12，2，a1b(1，1，2)，c1m12，12，0，所以a1bc1m121200，所以a1bc1m，所以a1bc1m.19(本小題滿分 12 分)在空間直角坐標(biāo)系中(o為

23、坐標(biāo)原點(diǎn))，已知a(2，0，0)，b(2，2，0)，d(0，0，2)，e(0，2，1)(1)求證：直角be平面ado；(2)求直線ob和平面abd所成的角；(3)在直線be上是否存在點(diǎn)p， 使得直線ap與直線bd垂直？若存在， 求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：由題意，點(diǎn)a，d，o所在的平面就是xoz平面，取其法向量為n n(0，1，0)，而be(2，0，1)，所以ben n0，即ben n，又顯然點(diǎn)b，e不在平面ado上，所以be平面ado.(2)設(shè)平面abd的法向量為m m(a，b，c)，因?yàn)閍b(0，2，0)，ad(2，0，2)，所以abm m2b0，adm m2a2c

24、0，所以可取m m(1，0，1)又ob(2，2，0)，設(shè)ob與平面abd所成的角為，所以 sin|cosob，m m|obm m|ob|m m|222 212.所以直線ob和平面abd所成的角為6.(3)假設(shè)存在點(diǎn)p(x，y，z)，使得直線ap與直線bd垂直6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5設(shè)bpbe，即(x2，y2，z)(2，0，)所以x22，y2，z，所以ap(2，2，