矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡單應(yīng)用

1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文題 目 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡單應(yīng)用學(xué) 生 李小琴指導(dǎo)老師 穆強(qiáng)年 級 2005 級專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)07 年 6 月矩陣的及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡單應(yīng)用李小琴摘 要：復(fù)數(shù)域上的每一 n階矩陣都與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似，本文論證了矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡單應(yīng)用.關(guān)鍵詞:若爾當(dāng)線性變換矩陣標(biāo)準(zhǔn)°°.°°、1X°.°°定義1設(shè)人是一個復(fù)數(shù)，矩陣°1.°°(1 )<0°°° 1其中主對角上的元素都

2、是緊鄰主對角線下方的元素都是1,其余位置都是零，叫做屬于的一個若爾當(dāng)(或若爾當(dāng)塊)當(dāng) =0時，就是所謂的幕零若爾當(dāng)矩陣定理1設(shè)二是n維向量空間V的一個線性變換，U2,.,'k都是二的一切互不相同的本征值，那么存在V的一個基，似的二關(guān)于這個基的矩陣有形狀B2Ji1<°°Bk丿這里Bi =J i2，而Jii, Ji2,.,Jisi都是屬于'i的若爾當(dāng)塊， U1,2,k.4J isi證 設(shè)二的最小多項(xiàng)式是 P(x) =(x - )r1.(x - 'k)rk，而P(x)在復(fù)數(shù)域上是不可約的因式分解，這里、，-，.咔是互不相同的本征值，r1,r2,.,r

3、k是正整數(shù)，又設(shè)y =ker 仟- V | (二-丿 =0, i =1,2,.,k,所以空間 V 有直和分解對于每一 i，令i是二一'i在Vi上的限制，那么 “是子空間Vi的一個幕零線性變換,而子空間Vi可以分解為i一循環(huán)子空間的直和：V二Wii二二Ws在每一循環(huán)子空間Wj =(j =1,2,s)里，取一個循環(huán)基,湊成Vi的一個基，那么i關(guān)于這個基的矩陣有形狀Ni =NiNi2這里Nij(j -1,2,.,Si)是幕零若爾當(dāng)塊令i =二| Vi，那么二i = i + i，于是對于Vi加上基來說，g的矩陣是0、0Jii0、九i+Ni2+=J i2+0九i j3MsiI 0J iSi jB

4、iV的基，那么匚關(guān)于這個基這里Ji1, Ji2,.,JiSi都是屬于j的若爾當(dāng)塊對于每一子空間 Vi，按以上方式選取一個基，湊起來成為的矩陣就是有定理所求的形式(2)注意 在矩陣(2)里，主對角上的第i塊B，是二i|Vi的矩陣.而子空間Vi,.,Vk顯然由唯一確定，而出現(xiàn)在每一Bi里的若爾當(dāng)塊JM, Ji2,., Jis里由二i唯一確定的，因而是由匚唯一確定.Ji定義2形式如0的n階矩陣，其中每一 J都是一個若爾當(dāng)塊,叫做一個若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式20000'20000、20000 'i20000i000ii000例如：00i0000i0000i0000ii0000i0000i0<

5、;000ii<00002<00002;2Jm都是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式定理2復(fù)數(shù)域上每n階矩陣都與一個當(dāng)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似，除了各若爾當(dāng)塊排列的次序外，與 A相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式是由A唯一確定的證 在一個對角線分塊矩陣?yán)铮?重新排列各個小塊矩陣的次序顯然得到矩陣，在由若爾 當(dāng)塊唯一性得到證明定理3( 1)設(shè)V為K上的n維線性空間，線性變換 T : V > V的特征多項(xiàng)式分解為 K 上 的一次 式的積 TWNtajR.jt ajn jT (t d)".(tajr，a,，,ar K， a-aj (i = j), . i < n這里，V是弱特征空間(ai)的直和V =(a,)

6、-莎(a，又 (aj 二x V |(T -alvF X = 0，dim(aj = nJ 在 ©)上的限制 T |)的特 征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式為(ai)ni ,(ai)i.(2)設(shè)矩陣A ( n , n , K )的特征多項(xiàng)式分解為K上一次式的積.det (tEn A) =(t ajn1.(t ar)n，iA =(t - a )1 .(t - ar) r, d ,.,ar 二 Kaj= a(i = j),1 _ ： i _ nj.這時，存在正貝U矩陣 P (n,n, K)，PAP = J(aJ 二二 J (ar)J (aj) = J (ai,： i) ：；. ：； J (aj, ： i

7、) ：； J (ai，: i -1) ：； .：； J (aj, ： i -1)至少1個0個以上二 J(aj,1)二二 J(ai,1)=!=*0個以上方陣J (aj的結(jié)束等于ni,構(gòu)成J (aj的若爾當(dāng)?shù)膫€數(shù)等于屬于ai的特征空間多項(xiàng)式的維數(shù)(1 G乞r).若爾當(dāng)塊矩陣P ' A P稱為矩陣A的若爾當(dāng).注意 PAP = J(aq)二二J(ar)中的J (aj，其j階若爾當(dāng)塊的個數(shù)又 A唯一確 疋.例1 證明對a , be( n, n, C ),存在正則矩陣P，使pap = b= a和b 具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.證 設(shè)A和B具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J ,則存在正則矩陣 P , P2，使RA

8、RnJ ,1 1 1P2 B P2 = J，令PP2=P，貝y P正則接P A P = B .反之，設(shè)已存在正則矩陣P，使P A P= B，設(shè)QAQ二J是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則 (PQ)，A(PQ) = J，故A的若爾當(dāng)標(biāo) 準(zhǔn)型也是J .501、:13-2035、例2求矩陣C =-151，D =-3151-84L106><-2236-60的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，求實(shí)矩陣Q使QDQ成為若爾當(dāng)矩陣解(1)|tE3 -C| = t3 -15t2 75t125 = (t -5)3，rank(C_5E3)=1,故特征空間2，C的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為D +2 E3) x=0的通解為V (5)的維數(shù)是3 -rank

9、 ( C -5 E3 )=2，于是機(jī)若爾當(dāng)塊的個數(shù)為(2)|tE3 D |=t3 -4t2 -3t 18 =(t -3)2(t 2).方程(r-rP1 =u=u1J-1例如，令u =1，得p1 =，dim= V ( -2) =1， ( D-3 E3) x =0，的通解是，所以屬于特征值3的特征空間V (3)的維數(shù)是1故屬于特征值3的若例如，令v=1，得-17，方程(D -3E3)x=q1的通解是co24I1+o177丿q =例如，令-10，-1得 q2 = 10 ， DPi = - 2 Pi，Dq2 = 3q，D q2 = q+3q2故若令Q =<6q2 )，則 D Q = ( DP1

10、D q1D q2)=(-2 口 3q1q1 +3 q2)=Q01、J 2、所以Q =0710，Q AQ =2 1J46< °參考文獻(xiàn)：1 張禾瑞、郝炳新：高等代數(shù)，高等教育出版社， 1999年第四版. 2 有馬哲、淺枝陽：線性代數(shù)講解，四川人民出版社， 1987年版.Matrix And JordanSummary: Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard formlikeness,thistext argument matrixes of if Jordan be standardtype and in briefapplied.Keyword : The Jordanthe line tran sformatio nmatrix sta ndard8學(xué)年論文