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文檔簡(jiǎn)介
1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文題 目 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué) 生 李小琴指導(dǎo)老師 穆強(qiáng)年 級(jí) 2005 級(jí)專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)07 年 6 月矩陣的及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用李小琴摘 要:復(fù)數(shù)域上的每一 n階矩陣都與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似,本文論證了矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用.關(guān)鍵詞:若爾當(dāng)線性變換矩陣標(biāo)準(zhǔn)°°.°°、1X°.°°定義1設(shè)人是一個(gè)復(fù)數(shù),矩陣°1.°°(1 )<0°°° 1其中主對(duì)角上的元素都
2、是緊鄰主對(duì)角線下方的元素都是1,其余位置都是零,叫做屬于的一個(gè)若爾當(dāng)(或若爾當(dāng)塊)當(dāng) =0時(shí),就是所謂的幕零若爾當(dāng)矩陣定理1設(shè)二是n維向量空間V的一個(gè)線性變換,U2,.,'k都是二的一切互不相同的本征值,那么存在V的一個(gè)基,似的二關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀B2Ji1<°°Bk丿這里Bi =J i2,而Jii, Ji2,.,Jisi都是屬于'i的若爾當(dāng)塊, U1,2,k.4J isi證 設(shè)二的最小多項(xiàng)式是 P(x) =(x - )r1.(x - 'k)rk,而P(x)在復(fù)數(shù)域上是不可約的因式分解,這里、,-,.咔是互不相同的本征值,r1,r2,.,r
3、k是正整數(shù),又設(shè)y =ker 仟- V | (二-丿 =0, i =1,2,.,k,所以空間 V 有直和分解對(duì)于每一 i,令i是二一'i在Vi上的限制,那么 “是子空間Vi的一個(gè)幕零線性變換,而子空間Vi可以分解為i一循環(huán)子空間的直和:V二Wii二二Ws在每一循環(huán)子空間Wj =(j =1,2,s)里,取一個(gè)循環(huán)基,湊成Vi的一個(gè)基,那么i關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀Ni =NiNi2這里Nij(j -1,2,.,Si)是幕零若爾當(dāng)塊令i =二| Vi,那么二i = i + i,于是對(duì)于Vi加上基來(lái)說(shuō),g的矩陣是0、0Jii0、九i+Ni2+=J i2+0九i j3MsiI 0J iSi jB
4、iV的基,那么匚關(guān)于這個(gè)基這里Ji1, Ji2,.,JiSi都是屬于j的若爾當(dāng)塊對(duì)于每一子空間 Vi,按以上方式選取一個(gè)基,湊起來(lái)成為的矩陣就是有定理所求的形式(2)注意 在矩陣(2)里,主對(duì)角上的第i塊B,是二i|Vi的矩陣.而子空間Vi,.,Vk顯然由唯一確定,而出現(xiàn)在每一Bi里的若爾當(dāng)塊JM, Ji2,., Jis里由二i唯一確定的,因而是由匚唯一確定.Ji定義2形式如0的n階矩陣,其中每一 J都是一個(gè)若爾當(dāng)塊,叫做一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式20000'20000、20000 'i20000i000ii000例如:00i0000i0000i0000ii0000i0000i0<
5、;000ii<00002<00002;2Jm都是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式定理2復(fù)數(shù)域上每n階矩陣都與一個(gè)當(dāng)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似,除了各若爾當(dāng)塊排列的次序外,與 A相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式是由A唯一確定的證 在一個(gè)對(duì)角線分塊矩陣?yán)铮?重新排列各個(gè)小塊矩陣的次序顯然得到矩陣,在由若爾 當(dāng)塊唯一性得到證明定理3( 1)設(shè)V為K上的n維線性空間,線性變換 T : V > V的特征多項(xiàng)式分解為 K 上 的一次 式的積 TWNtajR.jt ajn jT (t d)".(tajr,a,,,ar K, a-aj (i = j), . i < n這里,V是弱特征空間(ai)的直和V =(a,)
6、-莎(a,又 (aj 二x V |(T -alvF X = 0,dim(aj = nJ 在 ©)上的限制 T |)的特 征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式為(ai)ni ,(ai)i.(2)設(shè)矩陣A ( n , n , K )的特征多項(xiàng)式分解為K上一次式的積.det (tEn A) =(t ajn1.(t ar)n,iA =(t - a )1 .(t - ar) r, d ,.,ar 二 Kaj= a(i = j),1 _ : i _ nj.這時(shí),存在正貝U矩陣 P (n,n, K),PAP = J(aJ 二二 J (ar)J (aj) = J (ai,: i) :;. :; J (aj, : i
7、) :; J (ai,: i -1) :; .:; J (aj, : i -1)至少1個(gè)0個(gè)以上二 J(aj,1)二二 J(ai,1)=!=*0個(gè)以上方陣J (aj的結(jié)束等于ni,構(gòu)成J (aj的若爾當(dāng)?shù)膫€(gè)數(shù)等于屬于ai的特征空間多項(xiàng)式的維數(shù)(1 G乞r).若爾當(dāng)塊矩陣P ' A P稱(chēng)為矩陣A的若爾當(dāng).注意 PAP = J(aq)二二J(ar)中的J (aj,其j階若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)又 A唯一確 疋.例1 證明對(duì)a , be( n, n, C ),存在正則矩陣P,使pap = b= a和b 具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.證 設(shè)A和B具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J ,則存在正則矩陣 P , P2,使RA
8、RnJ ,1 1 1P2 B P2 = J,令PP2=P,貝y P正則接P A P = B .反之,設(shè)已存在正則矩陣P,使P A P= B,設(shè)QAQ二J是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,則 (PQ),A(PQ) = J,故A的若爾當(dāng)標(biāo) 準(zhǔn)型也是J .501、:13-2035、例2求矩陣C =-151,D =-3151-84L106><-2236-60的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,求實(shí)矩陣Q使QDQ成為若爾當(dāng)矩陣解(1)|tE3 -C| = t3 -15t2 75t125 = (t -5)3,rank(C_5E3)=1,故特征空間2,C的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為D +2 E3) x=0的通解為V (5)的維數(shù)是3 -rank
9、 ( C -5 E3 )=2,于是機(jī)若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)為(2)|tE3 D |=t3 -4t2 -3t 18 =(t -3)2(t 2).方程(r-rP1 =u=u1J-1例如,令u =1,得p1 =,dim= V ( -2) =1, ( D-3 E3) x =0,的通解是,所以屬于特征值3的特征空間V (3)的維數(shù)是1故屬于特征值3的若例如,令v=1,得-17,方程(D -3E3)x=q1的通解是co24I1+o177丿q =例如,令-10,-1得 q2 = 10 , DPi = - 2 Pi,Dq2 = 3q,D q2 = q+3q2故若令Q =<6q2 ),則 D Q = ( DP1
10、D q1D q2)=(-2 口 3q1q1 +3 q2)=Q01、J 2、所以Q =0710,Q AQ =2 1J46< °參考文獻(xiàn):1 張禾瑞、郝炳新:高等代數(shù),高等教育出版社, 1999年第四版. 2 有馬哲、淺枝陽(yáng):線性代數(shù)講解,四川人民出版社, 1987年版.Matrix And JordanSummary: Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard formlikeness,thistext argument matrixes of if Jordan be standardtype and in briefapplied.Keyword : The Jordanthe line tran sformatio nmatrix sta ndard8學(xué)年論文
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