談微元法在高中物理解題中的應(yīng)用

1、談微元法在高中物理解題中的應(yīng)用高中物理中，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的局限，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分計(jì)算的一些問(wèn)題，在高中很難解決。例如對(duì)于求變力做功或者對(duì)物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)某恒力所做功的計(jì)算；又如求某做曲線運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，這些問(wèn)題對(duì)于中學(xué)生來(lái)講，成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好的解決這類問(wèn)題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法，這個(gè)方法充分體現(xiàn)了微積分思想。高中物理的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等等，都是用這種方法定義的。微元法是分析、

2、解決物理問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思維的處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解，使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。 一、用微元法解題的基本方法和步驟例1：如圖所示，水平放置的導(dǎo)體，電阻為r，r與兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌間距為l，其間有垂直導(dǎo)軌平面的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。導(dǎo)軌上有一

3、導(dǎo)體棒ab，質(zhì)量為m，以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)過(guò)程的總位移？解析： 根據(jù)牛頓第二定律，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到安培力的作用，導(dǎo)體棒做非勻減速運(yùn)動(dòng)， 在某一時(shí)刻取一個(gè)微元 變式兩邊求和 因 故 得小結(jié)：處理非勻變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法。地使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需疳其分解為眾多微小的“元過(guò)程”， 每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律相同，這樣，只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法（累計(jì)求和）進(jìn)而使問(wèn)題求解。解題過(guò)程中，常常遇到非勻變速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求位移，電量，能量等問(wèn)題，靈活運(yùn)用微元的思想，可以幫助我們更深刻的理解物理過(guò)程。微元法的解

4、題思路：選取“微元”，將瞬時(shí)變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平均變化問(wèn)題（避免直接求瞬時(shí)問(wèn)題的困難）；利用數(shù)學(xué)“微積分”知識(shí)將平均變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)變化問(wèn)題（充分利用數(shù)學(xué)工具，既完成問(wèn)題“轉(zhuǎn)化”又保證問(wèn)題的性質(zhì)不變，又能簡(jiǎn)單地求得結(jié)果） 微元法的解題步驟：確定研究對(duì)象，選取“微元”；列出微元的方程；對(duì)相關(guān)微元進(jìn)行累積求和或求導(dǎo)。二、微元法的應(yīng)用1利用“微元”中變力做功的特點(diǎn)推導(dǎo)出力所做的功例2：如圖（1）a所示，某個(gè)力f=10n作用于半徑r=1m的轉(zhuǎn)盤(pán)的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向保持任何時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周，這個(gè)力f做的功為多少？ 解析：由于力f的方向與作用點(diǎn)的速度方向一致，因此力f做功

5、來(lái)為零，且此力不為恒力?？梢钥紤]把圓周劃分為很多“微元”來(lái)研究。如圖（1）b所示。當(dāng)各小段的弧長(zhǎng)足夠?。ǎr(shí)，在這段內(nèi)f的方向幾乎與該小段的位移重合，則f做的總功為。 這等效于將本是曲線的圓周拉直。在這里，力f所做的功相當(dāng)于力和物體運(yùn)動(dòng)路程的乘積。2. “微元法”應(yīng)用于求非勻變速運(yùn)動(dòng)中的速度例3：（08·江蘇）如圖所示，間距為l的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì).場(chǎng)強(qiáng)為b的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，間距為d2，兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均勻?yàn)閞的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.（設(shè)重力加速度為g）（1）若d進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)

6、區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能；（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域;此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域.且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等.求a穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱q； （3）對(duì)于第（2）問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v.解析：(1)因?yàn)閍和b產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等，按回路方向相反，所以感應(yīng)電流為0，所以a和b均不受安培力作用，由機(jī)械能守恒知， （2）設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v1，剛離開(kāi)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v2，即導(dǎo)體棒剛進(jìn)入

7、磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v2，剛離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v1，由能量守恒知，在磁場(chǎng)區(qū)域中， 在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中， 解得 q=mg(d1+d2)sin （3）設(shè)導(dǎo)體棒在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域和有磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都為t，在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律v2-v1=gtsin 且平均速度 有磁場(chǎng)區(qū)域棒a受到合力f=mgsin-bil 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)=blv 感應(yīng)電流i= 解得 f=mgsin-v 因?yàn)樗俣葀是變量，用微元法根據(jù)牛頓第二定律，在t到t+時(shí)間內(nèi) 則有 解得 v1-v2=gtsin-d1 聯(lián)列式，得3“微元法”應(yīng)用于求非勻速運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間例4：（09江蘇）如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距

8、為l、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b、方向與導(dǎo)軌平面垂直長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上導(dǎo)體棒中通以大小恒為i的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫(huà)出）線框的邊長(zhǎng)為d（dl），電阻為r，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直重力加速度為g求：（1）裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱q；（2）線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1；（3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離m解析：（1

9、）設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中，作用在線框上的安培力做功為w。         由動(dòng)能定理   且q=-w        解得  （2）設(shè)線框剛離開(kāi)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d,        由動(dòng)能定理得：    裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)收到的合力 

10、0;      感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)           感應(yīng)電流              安培力              由牛頓第二定律，在t到t+t時(shí)間內(nèi)，有   

11、0;      則有解得  （3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離xm之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)       由動(dòng)能定理         得     4. 應(yīng)用“微元法”求非勻變速運(yùn)動(dòng)中的位移例5：從地面上以初速度v0豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，t1時(shí)刻到達(dá)最

12、高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為v1，且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)求：（1）球從拋出到落地過(guò)程中克服空氣阻力所做的功；（2）球拋出瞬間的加速度大??；（3）球上升的最大高度h。解：（1）由動(dòng)能定理得克服空氣阻力做功（2）空氣阻力 落地前勻速運(yùn)動(dòng)，則剛拋出時(shí)加速度大小為a0，則解得（3）上升時(shí)加速度為a， 取極短t時(shí)間，速度變化v，有：又上升全程 則  5. “微元法”求變化電量的運(yùn)用例6：如圖，水平放置的導(dǎo)體電阻為r，r與兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌間距為l，其間有垂直導(dǎo)軌平面的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。導(dǎo)軌上有一ab質(zhì)量為m導(dǎo)體棒以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)。（1）導(dǎo)體棒將做什么運(yùn)動(dòng)？（2）

13、能否求出全過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)體某個(gè)橫截面的電量？解析：（1）加速度越來(lái)越小的減速運(yùn)動(dòng)最終靜止。（2）在某一時(shí)刻取一個(gè)微元 根據(jù)牛頓第二定律，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到安培力，導(dǎo)體棒做勻減速運(yùn)動(dòng) 兩邊求和 因此 總之，“微元法”是分析、解決高中物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法，更是近幾年高考提倡的處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，是高考的熱點(diǎn)。結(jié)合“微元法”可以考查電磁感應(yīng)、力學(xué)等方面的知識(shí)，運(yùn)用這一方法不僅豐富了處理問(wèn)題的手段，拓展了我們的思維，還為高中階段的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了思維基礎(chǔ)。因此，高三學(xué)生就當(dāng)熟練掌握。用微元法巧解a-t圖象圖象問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).在全國(guó)各地的高考試題中,均有一定數(shù)量的圖形考題出現(xiàn),且占有較大的分值比例,有關(guān)圖象試題的設(shè)計(jì)意圖,明顯由“注重對(duì)狀態(tài)的分析”轉(zhuǎn)化為“注重對(duì)過(guò)程的理解和處理.處理該類問(wèn)題過(guò)程中往往要借助于物理圖象的斜率,物理圖象的斜